Exercice 1 : fréquence et probabilité
L’expérience a été réalisée 1000 fois et le tableau des fréquences observées est le suivant :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Numéro} 1 2 3 \\
\hline
\text{Fréquence} 0,521 0,171 0,308 \\
\hline
\end{array}
\]
\[\]Commentaires des affirmations de William et Zoé :\[\]
1. \[\]Affirmation de William :\[\] « La roue ne semble pas équilibrée. »
Pour évaluer l’équilibre de la roue, nous pouvons comparer les fréquences observées avec les probabilités théoriques si la roue était parfaitement équilibrée. Dans ce cas, les trois secteurs auraient une probabilité égale de \( \frac{1}{3} \) chacun.
Si la roue était équilibrée, la fréquence théorique pour chaque numéro serait :
\[
\frac{1}{3} \approx 0,333
\]
En comparant les fréquences observées :
\[
0,521 \;\text{(numéro 1)}, \; 0,171 \;\text{(numéro 2)}, \; 0,308 \;\text{(numéro 3)}
\]
Nous observons que les fréquences observées sont sensiblement différentes de \( 0,333 \). En particulier, la fréquence du numéro 1 est beaucoup plus élevée et celle du numéro 2 est beaucoup plus faible. Cela suggère effectivement que la roue n’est pas équilibrée. William a raison dans son observation.
2. \[\]Affirmation de Zoé :\[\] « La probabilité d’obtenir 1 peut être estimée à \( \frac{1}{2} \). »
Pour estimer la probabilité d’obtenir le numéro 1, nous utilisons la fréquence observée après 1000 tirages :
\[
P(1) = 0,521
\]
Zoé suggère que la probabilité d’obtenir 1 pourrait être \( \frac{1}{2} = 0,5 \). En comparant cette estimation avec la fréquence observée \( 0,521 \), nous constatons que les valeurs sont proches, mais pas exactement identiques. Toutefois, estimer la probabilité à \( \frac{1}{2} \) n’est pas totalement incorrect, mais une estimation plus précise serait \( 0,521 \) d’après les résultats expérimentaux. Zoé n’a pas tort, mais son estimation pourrait être affinée.
Exercice 2 : tirage d’un boule dans une urne
1. On s’intéresse à la couleur de la boule tirée.
a. Quelles sont les issues de l’expérience ?
Les issues possibles de l’expérience sont : rose, bleu.
b. Indiquer la probabilité de chacune d’elles.
Total de boules = 8 (4 roses et 4 bleues).
Probabilité de tirer une boule rose :
\[
P(rose) = \frac{\text{Nombre de boules roses}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
Probabilité de tirer une boule bleue :
\[
P(bleu) = \frac{\text{Nombre de boules bleues}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
2. On s’intéresse maintenant au nombre inscrit sur la boule.
a. Quelles sont les issues de l’expérience ?
Les issues possibles de l’expérience sont : 1, 2, 3, 4, 5.
b. Indiquer la probabilité de chacune d’elles.
Total de boules = 8.
Probabilité de tirer une boule avec le chiffre 1 :
\[
P(1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]
Probabilité de tirer une boule avec le chiffre 2 :
\[
P(2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]
Probabilité de tirer une boule avec le chiffre 3 :
\[
P(3) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]
Probabilité de tirer une boule avec le chiffre 4 :
\[
P(4) = \frac{1}{8}
\]
Probabilité de tirer une boule avec le chiffre 5 :
\[
P(5) = \frac{1}{8}
\]
3. Vérifier que pour chacune des deux expériences, la somme des probabilités des issues est égale à 1.
Pour la couleur :
\[
P(rose) + P(bleu) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]
Pour le numéro :
\[
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1
\]
Ainsi, pour chacune des deux expériences, la somme des probabilités des issues est égale à 1.
Exercice 3 : pedro et des lancers
a. Calcul de la fréquence d’apparition de « pile » en cumulant les résultats :
– Après 20 lancers :
\[ \text{Fréquence} = \frac{13}{20} = 0,65 \]
– Après 40 lancers, en cumulant les lancers de Lucien et Léonard :
\[ \text{Nombre total de « pile »} = 11 + 13 = 24 \]
\[ \text{Fréquence} = \frac{24}{40} = 0,60 \]
– Après 60 lancers, en ajoutant les lancers de Louis :
\[ \text{Nombre total de « pile »} = 24 + 8 = 32 \]
\[ \text{Fréquence} = \frac{32}{60} \approx 0,53 \]
– Après 80 lancers, en ajoutant les lancers de Sergio :
\[ \text{Nombre total de « pile »} = 32 + 7 = 39 \]
\[ \text{Fréquence} = \frac{39}{80} = 0,49 \]
– Après 100 lancers, en ajoutant les 20 lancers de Pedro :
\[ \text{Nombre total de « pile »} = 39 + 13 = 52 \]
\[ \text{Fréquence} = \frac{52}{100} = 0,52 \]
Tableau complété :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Au bout de … lancers} 20 40 60 80 100 \\
\hline
\text{Nombre de « pile »} 13 24 32 39 52 \\
\hline
\text{Fréquence d’apparition} 0.65 0.60 0.53 0.49 0.52 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Utilisation du tableau pour construire le graphique :
Pour les fréquences trouvées précédemment, on a :
– Après 20 lancers : 0.65
– Après 40 lancers : 0.60
– Après 60 lancers : 0.53
– Après 80 lancers : 0.49
– Après 100 lancers : 0.52
D’après le graphique, on peut constater que la fréquence d’apparition de « pile » tend à se stabiliser autour de 0.5 au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente. Cela semble indiquer que la pièce de Pedro est équilibrée, c’est-à-dire qu’elle n’est pas biaisée puisqu’elle tend vers une probabilité de 0.5 pour chaque face (pile ou face).
Exercice 4 : un dé cubique à six faces
La probabilité théorique d’obtenir chaque couleur lors d’un lancer de dé peut être déterminée comme suit :
\[
P(\text{Bleu}) = P(\text{Rouge}) = P(\text{Jaune}) = P(\text{Vert}) = \frac{1}{6}
\]
Et
\[
P(\text{Noir}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]
Puisque nous avons lancé le dé 100 fois, les effectifs théoriques pour chaque couleur peuvent être calculés comme suit :
\[
\text{Effectif théorique de bleu} = 100 \times P(\text{Bleu}) = 100 \times \frac{1}{6} \approx 16,67
\]
\[
\text{Effectif théorique de rouge} = 100 \times P(\text{Rouge}) = 100 \times \frac{1}{6} \approx 16,67
\]
\[
\text{Effectif théorique de jaune} = 100 \times P(\text{Jaune}) = 100 \times \frac{1}{6} \approx 16,67
\]
\[
\text{Effectif théorique de vert} = 100 \times P(\text{Vert}) = 100 \times \frac{1}{6} \approx 16,67
\]
\[
\text{Effectif théorique de noir} = 100 \times P(\text{Noir}) = 100 \times \frac{1}{3} \approx 33,33
\]
En observant le graphique, nous obtenons les effectifs expérimentaux suivants :
\[
\text{Effectif observé de bleu} = 15
\]
\[
\text{Effectif observé de rouge} = 17
\]
\[
\text{Effectif observé de jaune} = 20
\]
\[
\text{Effectif observé de vert} = 18
\]
\[
\text{Effectif observé de noir} = 30
\]
Pour résumer les résultats dans un tableau comparatif des effectifs théoriques et observés :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Couleur} \text{Effectif théorique} \text{Effectif observé} \\
\hline
\text{Bleu} 16,67 15 \\
\hline
\text{Rouge} 16,67 17 \\
\hline
\text{Jaune} 16,67 20 \\
\hline
\text{Vert} 16,67 18 \\
\hline
\text{Noir} 33,33 30 \\
\hline
\end{array}
\]
En conclusion, les effectifs observés sont assez proches des effectifs théoriques, ce qui confirme la répartition aléatoire des couleurs lors des lancers du dé.
Exercice 5 : deux dés tétraédriques
a. La formule à utiliser pour programmer la cellule B2 est :
\[ \text{=ENT(ALEA()*4)+1} \]
b. La formule à utiliser pour programmer la cellule C2 est :
\[ \text{=ENT(ALEA()*4)+1} \]
c. La formule à utiliser pour programmer la cellule D2 est :
\[ \text{=B2+C2} \]
d. Les différentes possibilités obtenues dans la colonne D sont les sommes des résultats de deux dés tétraédriques, dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Les valeurs possibles sont :
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
2 + 4 = 6
3 + 1 = 4
3 + 2 = 5
3 + 3 = 6
3 + 4 = 7
4 + 1 = 5
4 + 2 = 6
4 + 3 = 7
4 + 4 = 8
Les valeurs possibles dans la colonne D sont donc : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Exercice 6 : déterminer la probabilité
La liste de lecture de Louise contient 8 chansons. Par conséquent, la probabilité que Louise écoute une chanson se calcule comme suit :
\[ P(\text{écouter une chanson de Maen}) = \frac{\text{Nombre de chansons de Maen}}{\text{Nombre total de chansons}} \]
La liste contient 3 chansons de Maen : « La ficelle », « Fou fou fou », et « Nina ».
\[ P(\text{écouter une chanson de Maen}) = \frac{3}{8} \]
La probabilité que Louise écoute une chanson de Maen est donc :
\[ \boxed{\frac{3}{8}} \]
Exercice 7 : un jeu de société et probabilités
a. Quelle est la probabilité d’obtenir la lettre I ?
Le nombre total de jetons est de 100 et il y a 8 jetons marqués avec la lettre I. La probabilité d’obtenir la lettre I est donnée par :
\[ P(I) = \frac{\text{Nombre de jetons I}}{\text{Nombre total de jetons}} = \frac{8}{100} = \frac{2}{25} \]
b. Quelle est la probabilité d’obtenir une voyelle ?
Le nombre total de jetons marqués avec des voyelles (A, E, I, O, U, Y) est :
\[ 9 + 15 + 8 + 6 + 6 + 1 = 45 \]
La probabilité d’obtenir une voyelle est donnée par :
\[ P(\text{voyelle}) = \frac{\text{Nombre de jetons voyelles}}{\text{Nombre total de jetons}} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} \]
c. Quelle est la probabilité d’obtenir une consonne ?
Le nombre de jetons marqués avec des consonnes est le complémentaire du nombre de jetons marqués avec des voyelles. Ainsi, le nombre de jetons marqués avec des consonnes est :
\[ 100 – 45 = 55 \]
La probabilité d’obtenir une consonne est donc :
\[ P(\text{consonne}) = \frac{\text{Nombre de jetons consonnes}}{\text{Nombre total de jetons}} = \frac{55}{100} = \frac{11}{20} \]
Exercice 8 : nOTOUS et probabilités
a. Les issues de cette expérience sont les lettres inscrites sur les faces du dé. Le mot « NOTOUS » est inscrit sur les faces du dé, donc les issues possibles sont \( N, O, T, O, U, S \).
b. \( E1 \) : « On obtient la lettre O. »
\[
P(E1) = \frac{\text{Nombre de faces avec la lettre O}}{\text{Nombre total de faces}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]
c. \( E2 \) : évènement contraire de \( E1 \).
\[
P(E2) = 1 – P(E1) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
d. \( E3 \) : « On obtient une consonne. »
Les consonnes dans le mot « NOTOUS » sont \( N, T, S \). Il y a 3 consonnes.
\[
P(E3) = \frac{\text{Nombre de consonnes}}{\text{Nombre total de faces}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]
e. \( E4 \) : « On obtient une lettre du mot KIWI. »
Les lettres du mot KIWI sont \( K, I, W \) et aucune de celles-ci ne figure dans « NOTOUS ».
\[
P(E4) = \frac{\text{Nombre de lettres du mot KIWI}}{\text{Nombre total de faces}} = \frac{0}{6} = 0
\]
f. \( E5 \) : « On obtient une lettre du mot CAGOUS. »
Les lettres du mot CAGOUS sont \( C, A, G, O, U, S \). Les lettres « O », « U » et « S » figurent dans « NOTOUS ». Il y a 3 lettres correspondantes.
\[
P(E5) = \frac{\text{Nombre de faces correspondant aux lettres du mot CAGOUS}}{\text{Nombre total de faces}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]
Exercice 9 : la roue des euros et probabilités
a. La roue a 24 sections au total, avec 4 sections de 800 €. La probabilité de gagner 800 € est donc :
\[ P(800\,\text{€}) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \]
b. Il n’y a aucune section de 1500 € sur la roue. Donc, la probabilité de gagner 1500 € est :
\[ P(1500\,\text{€}) = 0 \]
c. Il n’y a aucune section de 3000 € sur la roue. Donc, la probabilité de gagner 3000 € est :
\[ P(3000\,\text{€}) = 0 \]
d. Les sections de 1000 € et plus sont : 1000 € (3 sections), 2000 € (3 sections) et 5000 € (3 sections). Donc, il y a 9 sections au total de 1000 € et plus. La probabilité de gagner 1000 € et plus est :
\[ P(1000\,\text{€ et plus}) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \]
e. Les sections où l’on gagne de l’argent sont toutes sauf celle où il est indiqué 0 €. Il y a 1 section avec 0 € sur 24 au total. La probabilité de ne pas perdre est donc :
\[ P(\text{ne pas perdre}) = 1 – P(0\,\text{€}) = 1 – \frac{1}{24} = \frac{23}{24} \]
Exercice 10 : une bouteille opaque
Pour vérifier si les résultats donnés permettent d’affirmer que la bouteille contient exactement 9 billes rouges, 4 billes bleues et 7 billes vertes, nous allons utiliser l’hypothèse des proportions basées sur le nombre de tirages observés et sur la loi des grands nombres.
Soit \( n \) le nombre total de tirages (ici \( n = 40 \)) et \( N \) le nombre total de billes dans la bouteille (ici \( N = 20 \)).
Les proportions théoriques pour chaque couleur dans la bouteille sont :
– Pour les billes rouges: \( p_{\text{rouge}} = \frac{9}{20} \)
– Pour les billes bleues: \( p_{\text{bleue}} = \frac{4}{20} \)
– Pour les billes vertes: \( p_{\text{verte}} = \frac{7}{20} \)
Soit \( X_{\text{rouge}}, X_{\text{bleue}}, X_{\text{verte}} \) les variables aléatoires représentant le nombre de tirages où apparaissent respectivement une bille rouge, bleue, verte. Sous l’hypothèse de proportions respectées :
– Espérance de \( X_{\text{rouge}} \): \( E(X_{\text{rouge}}) = n \cdot p_{\text{rouge}} = 40 \cdot \frac{9}{20} = 18 \)
– Espérance de \( X_{\text{bleue}} \): \( E(X_{\text{bleue}}) = n \cdot p_{\text{bleue}} = 40 \cdot \frac{4}{20} = 8 \)
– Espérance de \( X_{\text{verte}} \): \( E(X_{\text{verte}}) = n \cdot p_{\text{verte}} = 40 \cdot \frac{7}{20} = 14 \)
Comparons maintenant les espérances avec les résultats observés :
– Nombre de tirages où une bille rouge est apparue : 18
– Nombre de tirages où une bille bleue est apparue : 8
– Nombre de tirages où une bille verte est apparue : 14
Ces résultats observés sont exactement égaux aux espérances calculées sous l’hypothèse que la bouteille contient 9 billes rouges, 4 billes bleues et 7 billes vertes. Ainsi, avec les données fournies, on peut raisonnablement affirmer, voire confirmer, cette composition des billes dans la bouteille.
Exercice 11 : une urne de 4 boules et probabilités
a. Faux. La probabilité d’obtenir une boule verte est de \(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\), tandis que la probabilité d’obtenir une boule rouge est de \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).
b. Faux. La probabilité d’obtenir une boule verte est de \(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\), ce qui correspond à 6 chances sur 10 et non 4 sur 10.
c. Vrai. En répétant l’expérience un grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’une boule verte devrait être proche de la probabilité théorique de \(\frac{6}{10} = 0,6\).
d. Vrai. La probabilité d’obtenir une boule verte est de \(\frac{6}{10}\) ou 6 chances sur 10.
e. Vrai. La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).
Exercice 12 : un jeu composé d’un plateau tournant
a. Quelle est la probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 8 ?
La probabilité que la boule s’arrête sur une case numérotée 8 est donnée par :
\[
P(\text{case } 8) = \frac{1}{13}
\]
Car il y a 13 cases et chaque case a la même probabilité d’être sélectionnée.
b. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur laquelle la boule s’arrête soit un nombre impair ?
Les chiffres impairs entre 0 et 12 sont : 1, 3, 5, 7, 9, et 11. Cela fait 6 chiffres.
Ainsi, la probabilité que la boule s’arrête sur une case numérotée par un nombre impair est :
\[
P(\text{nombre impair}) = \frac{6}{13}
\]
c. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur laquelle la boule s’arrête soit un nombre premier ?
Les nombres premiers entre 0 et 12 sont : 2, 3, 5, 7, 11. Cela fait 5 chiffres.
Ainsi, la probabilité que la boule s’arrête sur une case numérotée par un nombre premier est :
\[
P(\text{nombre premier}) = \frac{5}{13}
\]
d. Lors des deux derniers lancers, la boule s’est chaque fois sur la case numérotée 9, la boule est-elle plus susceptible de s’arrêter sur la case numérotée 9 plutôt que sur la case numérotée 7 ?
Non, la probabilité de chaque lancer est indépendante des résultats précédents selon le principe de probabilité des événements indépendants. Chaque lancer a donc la même probabilité :
\[
P(\text{case } 9) = \frac{1}{13}
\]
\[
P(\text{case } 7) = \frac{1}{13}
\]
La probabilité pour chaque case lors de chaque lancer reste toujours \(\frac{1}{13}\).
Exercice 13 : le baklava et probabilités
Soit \( \Omega \) l’ensemble des issues possibles.
\[\]a. Les issues de cette expérience :\[\]
Les issues possibles sont les lettres inscrites sur les gâteaux. On a donc :
\[ \Omega = \{ B, A, K, L, A, V, A \} \]
\[\]b. Probabilités :\[\]
1. La lettre tirée est un \( L \) :
Il y a un seul \( L \) dans le mot BAKLAVA. La probabilité de tirer cette lettre est donc :
\[ P(\text{tirer un } L) = \frac{1}{7} \]
2. La lettre tirée n’est pas un \( A \) :
Il y a 3 lettres \( A \) dans le mot BAKLAVA. Le nombre total de lettres qui ne sont pas des \( A \) est donc \( 7 – 3 = 4 \).
\[ P(\text{ne pas tirer un } A) = \frac{4}{7} \]
\[\]c. Enzo et les baklavas :\[\]
Enzo achète un sachet contenant 10 baklavas. Le contenu du sachet est le suivant :
– 2 baklavas à base de pistaches,
– 4 baklavas à base de noisettes,
– 4 baklavas à base de noix.
La probabilité que Enzo pioche un gâteau à base de noix est :
\[ P(\text{noix}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
La probabilité que Enzo pioche un gâteau à base de noisettes est :
\[ P(\text{noisettes}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
La probabilité que Enzo pioche un gâteau à base de pistaches est :
\[ P(\text{pistaches}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
L’affirmation de Laura est incorrecte. En effet :
– Avant d’avoir mangé un gâteau à base de pistaches, les chances de piocher un gâteau à base de noix étaient de \( \frac{2}{5} \).
– Après avoir mangé un gâteau à base de pistaches, il reste 2 baklavas à base de pistaches.
Les chances de tirer un gâteau à base de noix restent les mêmes tant que le tirage concerne un gâteau indivisible du point de vue du toucher, à savoir \( \frac{4}{9} \)
\[ \alpha = \] nombre initial de gâteaux (10)
\[ \beta = \] gâteaux restants (9)
Η devrait tirer un gâteau basé sur :
\[ P(\text{noix}) = \frac{4}{9} \].
Donc les chances de tirer un gâteau à base de noix sont de \(\frac{4}{9}\) après avoir mangé un gâteau à base de pistaches, légèrement augmentées après réduction du nombre de tirages dans l’ensemble global.
Laura n’a donc pas entièrement droit.
Exercice 14 : deux urnes et des boules numérotées
Correction de l’exercice :
### Question a
Pour former un nombre entier à deux chiffres, on tire une boule de l’urne \( D \) pour former la dizaine, puis une boule de l’urne \( U \) pour former l’unité.
– L’urne \( D \) contient les boules \( 2, 3, 1 \).
– L’urne \( U \) contient les boules \( 5, 2, 3 \).
En total, il y a \( 3 \times 3 = 9 \) combinaisons possibles de nombres.
Pour qu’un nombre soit \[\]pair\[\], l’unité (boule tirée de l’urne \( U \)) doit être un chiffre pair. Les chiffres pairs dans \( U \) sont \( 2 \) et \( 2 \).
Ainsi, les combinaisons formant un nombre \[\]pair\[\] sont :
– \( 12, 22, 32 \).
Pour qu’un nombre soit \[\]impair\[\], l’unité doit être un chiffre impair. Les chiffres impairs dans \( U \) sont \( 5, 3 \).
Ainsi, les combinaisons formant un nombre \[\]impair\[\] sont :
– \( 15, 25, 35, 13, 23, 33 \).
Il y a donc 3 nombres pairs et 6 nombres impairs. On a plus de chances de former un nombre impair qu’un nombre pair.
### Question b
Les nombres premiers à deux chiffres qu’on peut former avec les boules disponibles sont :
– \( 13, 23 \).
### Question c
Le nombre total de combinaisons est \( 9 \).
Les nombres premiers parmi ces combinaisons sont deux : \( 13 \) et \( 23 \).
La probabilité de former un nombre premier est donc :
\[
P = \frac{2}{9}
\]
qui n’est pas égale à \(\frac{1}{6}\). Donc l’affirmation donnée est incorrecte.
### Question d
Pour que l’événement ait une probabilité de réalisation égale à \(\frac{1}{3}\), \( \frac{1}{3} \times 9 = 3 \) combinaisons doivent répondre aux critères.
Un tel événement peut être par exemple « tirer une boule de dizaines égale à 2 ».
Les combinaisons correspondantes sont :
– \( 25, 22, 23 \).
La probabilité de cet événement est :
\[
P (\text{tirer une boule de dizaines égale à 2}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\]
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