Sujet du bac de maths 2023 : France, septembre, jour 1
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2023
France, Antilles-Guyane — Sujet 1 (J1) — 11 septembre 2023
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2023, France, septembre, jour 1) 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
1. Désormais, on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = x\,\text{e}^{x^2 - 3}.\]
Une des primitives \(F\) de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est définie par :
| a. \(F(x) = 2x\,\text{e}^{x^2 - 3}\) | b. \(F(x) = \left(2x^2 + 1\right)\text{e}^{x^2 - 3}\) |
| c. \(F(x) = \dfrac12 x\,\text{e}^{x^2 - 3}\) | d. \(F(x) = \dfrac12 \text{e}^{x^2 - 3}\) |
2. Ensuite, on considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :
\[u_n = \text{e}^{2n+1}.\]
La suite \(\left(u_n\right)\) est :
| a. arithmétique de raison 2 ; | b. géométrique de raison e ; |
| c. géométrique de raison \(\text{e}^2\) ; | d. convergente vers e. |
Pour les questions 3. et 4., on considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par :
\[u_0 = 15 \quad \text{et pour tout entier naturel } n : \quad u_{n+1} = 1{,}2u_n + 12.\]
3. La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l'entier \(n\) telle que \(u_n \gt 10\,000\).
def seuil() :
n=0
u=15
while ......:
n=n+1
u=1,2*u+12
return(n)
À la ligne 4, on complète par :
| a. u \(\leqslant 10\,000\) ; | b. u \(= 10\,000\) ; | c. u \(\gt 10\,000\) ; | d. \(n \leqslant 10\,000\). |
4. Puis on considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(v_n = u_n + 60\).
La suite \(\left(v_n\right)\) est :
| a. une suite décroissante ; | b. une suite géométrique de raison 1,2 ; |
| c. une suite arithmétique de raison 60 ; | d. une suite ni géométrique ni arithmétique. |
Exercice 2 (sujet de bac 2023, France, septembre, jour 1) 5 points
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O} ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}, \overrightarrow{k}\right)\).
Désormais, on considère les points \(\text{A}(1 ; 0 ; -1)\), \(\text{B}(3 ; -1 ; 2)\), \(\text{C}(2 ; -2 ; -1)\) et \(\text{D}(4 ; -1 ; -2)\).
Ensuite, on note \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique
\[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 0\\ y &=& 2 + t\\ z &=& -1 + t \end{array}\right. , \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.\]
1. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera \(\mathcal{P}\).
b. Montrer que la droite (CD) est orthogonale au plan \(\mathcal{P}\).
Sur le plan \(\mathcal{P}\), que représente le point C par rapport à D ?
c. Montrer qu'une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) est : \(2x + y - z - 3 = 0\).
2. a. Calculer la distance CD.
b. Existe-t-il un point M du plan \(\mathcal{P}\) différent de C vérifiant \(\text{MD} = \sqrt{6}\) ? Justifier la réponse.
3. a. Montrer que la droite \(\Delta\) est incluse dans le plan \(\mathcal{P}\).
Soit H le projeté orthogonal du point D sur la droite \(\Delta\).
b. Montrer que H est le point de \(\Delta\) associé à la valeur \(t = -2\) dans la représentation paramétrique de \(\Delta\) donnée ci-dessus.
c. En déduire la distance du point D à la droite \(\Delta\).
Exercice 3 (sujet de bac 2023, France, septembre, jour 1) 4 points
Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à \(10^{-3}\) près.
Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.
Dans une population, ce test donne les résultats suivants :
- Si un individu est allergique, le test est positif dans 97 % des cas ;
- Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas.
Par ailleurs, 20 % des individus de la population concernée présentent un test positif.
Puis on choisit au hasard un individu dans la population, et on note :
- \(A\) l'évènement « l'individu est allergique » ;
- \(T\) l'évènement « l'individu présente un test positif ».
Désormais, on notera \(\overline{A}\) et \(\overline{T}\) les évènements contraires de \(A\) et \(T\). Ensuite, on appelle par ailleurs \(x\) la probabilité de l'évènement \(A\) : \(x = p(A)\).
Partie A
1. Reproduire et compléter l'arbre ci-dessous décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
2. a. Démontrer l'égalité : \(p(T) = 0{,}927x + 0{,}043\).
b. En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.
3. Justifier par un calcul l'affirmation suivante :
« Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80 % de chances que cet individu soit allergique ».
Partie B
On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant 150 habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
Par ailleurs, on sait que la probabilité qu'un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à \(0{,}08\).
Désormais, on note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de 150 habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\) ?
Préciser ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les 150 interrogées soient allergiques.
3. Déterminer la probabilité qu'au moins 10 % des personnes parmi les 150 interrogées soient allergiques.
Exercice 4 (sujet de bac 2023, France, septembre, jour 1) 7 points
Partie A
On définit sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\) la fonction \(g\) par :
\[g(x) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \ln x \quad \text{où ln désigne la fonction logarithme népérien.}\]
Par ailleurs, on admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0 ; +\infty[ = I\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée.
1. Montrer que pour \(x \gt 0\), le signe de \(g'(x)\) est celui du trinôme du second degré \(\left(x^2 - 2x + 2\right)\).
2. En déduire que la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\).
3. Montrer que l'équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution sur l'intervalle \([0{,}5 ; 1]\), que l'on notera \(\alpha\).
4. En outre, on donne le tableau de signes de \(g\) sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[ = I\) :
| \(x\) | 0 | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | || | \(-\) | 0 | \(+\) |
Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
Partie B
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[ = I\) par :
\[f(x) = \text{e}^x \ln x.\]
Désormais, on note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
1. En outre, on admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0 ; +\infty[\), on note \(f'\) sa fonction dérivée, \(f''\) sa fonction dérivée seconde et on admet que :
pour tout nombre réel \(x \gt 0\), \(f'(x) = \text{e}^x \left(\dfrac{1}{x} + \ln x\right)\).
Démontrer que, pour tout nombre réel \(x \gt 0\), on a : \(f''(x) = \text{e}^x \left(\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \ln x\right)\).
2. Ensuite, on pourra remarquer que pour tout réel \(x \gt 0\), \(f''(x) = \text{e}^x \times g(x)\), où \(g\) désigne la fonction étudiée dans la partie A.
3. a. Dresser le tableau de signes de la fonction \(f''\) sur \(]0 ; +\infty[\). Justifier.
b. Justifier que la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un unique point d'inflexion A.
c. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\). Justifier.
4. a. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
b. Montrer que \(f'(\alpha) = \dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)\).
En outre, on rappelle que \(\alpha\) est l'unique solution de l'équation \(g(x) = 0\).
c. Démontrer que \(f'(\alpha) \gt 0\) et en déduire le signe de \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à \(]0 ; +\infty[\).
Question 4 d
d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction \(f\) sur \(]0 ; +\infty[\).
Comment aborder ce sujet de bac 2023, France, septembre, jour 1
L'énoncé du sujet de bac 2023, France, septembre, jour 1 du 11 septembre 2023 réunit quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (4 points) traite : qCM : primitive d'une fonction de la forme, suites géométriques, algorithme de seuil en Python. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : vecteur normal, équation cartésienne de plan, projeté orthogonal, distance d'un point à une droite. Puis, l'exercice 3 (4 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale. Enfin, l'exercice 4 (7 points) porte sur : fonction logarithme, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, dérivée seconde, convexité et point d'inflexion, limites.
Ainsi, avec quatre heures pour vingt points, comptez environ douze minutes par point. Par exemple, l'exercice 4, noté sur 7 points, mérite à peu près 85 minutes. Enfin, gardez un quart d'heure pour relire vos résultats.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2023, France, septembre, jour 1
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Une fois l'épreuve terminée, comparez vos réponses avec la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2023
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