Sujet du bac de maths 2023 : France, jour 1
La solution rédigée question par question se trouve sur la page du corrigé ; gardez-la pour après votre propre recherche. D'autres épreuves attendent sur la page des sujets du bac de maths.
Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2023
France, Antilles-Guyane, Maroc — Sujet 1 — 20 mars 2023
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2023, France, jour 1) 5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Les questions sont indépendantes.
Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.
Par ailleurs, on sait que :
- 20 % des machines sont sous garantie ;
- 0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;
- 8,2 % des machines sont défectueuses.
Le technicien teste une machine au hasard.
Ensuite, on considère les évènements suivants :
- \(G\) : « la machine est sous garantie » ;
- \(D\) : « la machine est défectueuse » ;
- \(\overline{G}\) et \(\overline{D}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(G\) et \(D\).
Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s'aider de l'arbre proposé ci-contre.
1. La probabilité \(p_G(D)\) de l'évènement \(D\) sachant que \(G\) est réalisé est égale à :
| a. 0,002 | b. 0,01 | c. 0,024 | d. 0,2 |
2. La probabilité \(p\left(\overline{G} \cap D\right)\) est égale à :
| a. 0,01 | b. 0,08 | c. 0,1 | d. 0,21 |
3. La machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est environ égale, à \(10^{-3}\) près, à :
| a. 0,01 | b. 0,024 | c. 0,082 | d. 0,1 |
Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante \(n\) machines de l'entreprise, où \(n\) désigne un entier naturel non nul.
Ensuite, on assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque lot de \(n\) machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.
En outre, on admet que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p = 0{,}082\).
Question 4
4. Dans cette question, on prend \(n = 50\).
La valeur de la probabilité \(p(X \gt 2)\), arrondie au millième, est de :
| a. 0,136 | b. 0,789 | c. 0,864 | d. 0,924 |
5. Ensuite, on considère un entier \(n\) pour lequel la probabilité que toutes les machines d'un lot de taille \(n\) fonctionnent correctement est supérieure à \(0{,}4\).
La plus grande valeur possible pour \(n\) est égale à :
| a. 5 | b. 6 | c. 10 | d. 11 |
Exercice 2 (sujet de bac 2023, France, jour 1) 5 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par
\[f(x) = x^2 - 8\ln(x)\]
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
En outre, on admet que \(f\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\), on note \(f'\) sa fonction dérivée.
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).
2. Par ailleurs, on admet que, pour tout \(x \gt 0\), \(f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)\).
En déduire la limite : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
3. Montrer que, pour tout réel \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), \(f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}\).
4. Étudier les variations de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) et dresser son tableau de variations complet.
En outre, on précisera la valeur exacte du minimum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
5. Démontrer que, sur l'intervalle \(]0\,;\,2]\), l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de \(\alpha\)).
6. Par ailleurs, on admet que, sur l'intervalle \([2\,;\,+\infty[\), l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\beta\) (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de \(\beta\)).
En déduire le signe de \(f\) sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).
7. Pour tout nombre réel \(k\), on considère la fonction \(g_k\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :
\[g_k(x) = x^2 - 8\ln(x) + k.\]
En s'aidant du tableau de variations de \(f\), déterminer la plus petite valeur de \(k\) pour laquelle la fonction \(g_k\) est positive sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).
Exercice 3 (sujet de bac 2023, France, jour 1) 5 points
Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.
Désormais, on étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.
Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on admet que, chaque mois :
- 90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
- 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.
Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées.
Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le \(n\)-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite \(\left(u_n\right)\) définie par :
\[u_1 = 3 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n \geqslant 1,\ u_{n+1} = 0{,}9u_n + 1{,}3.\]
1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) :
\[u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n.\]
3. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.
4. Ensuite, on considère le programme ci-dessous, écrit en langage Python.
def seuil(p) :
n=1
u=3
while u<=p :
n=n+1
u=0.9*u+1.3
return n
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
Partie B : Une autre modélisation
Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite \(\left(v_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) par :
\[v_n = 9 - 6 \times \text{e}^{-0{,}19\times(n - 1)}.\]
Le terme \(v_n\) est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le \(n\)-ième mois sur la FAQ.
1. Préciser les valeurs arrondies au centième de \(v_1\) et \(v_2\).
2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de \(n\) telle que \(v_n \gt 8{,}5\).
Partie C : Comparaison des deux modèles
1. L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.
Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?
Justifier votre réponse.
2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ?
Exercice 4 5 points
On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1.
Puis on appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).
L'espace est rapporté au repère orthonormé \(\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)\).
![Cube ABCDEFGH avec la diagonale [EC] et les segments [DG] et [BD] en pointillés, le segment [BG] en trait plein, le point I sur [EC] et le point J milieu de [BD]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/09/bac-2023-metropole-j1-ex4-cube.webp)
1. Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
3. Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
4. a. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :
\[x + y - z - 1 = 0.\]
b. Montrer que le point I a pour coordonnées \(\left(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac13\right)\).
c. En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à \(\dfrac{2\sqrt 3}{3}\).
5. a. Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.
b. Calculer l'aire du triangle BDG.
Ensuite, on pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].
6. Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à \(\dfrac13\).
En outre, on rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par \(V = \dfrac13 Bh\) où \(B\) est l'aire d'une base du tétraèdre et \(h\) est la hauteur relative à cette base.
Présentation du sujet de bac 2023, France, jour 1
L'énoncé du sujet de bac 2023, France, jour 1 du 20 mars 2023 compte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) porte sur : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale, inéquation avec logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) aborde : fonction logarithme, limites, dérivée, tableau de variations, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Puis, l'exercice 3 (5 points) traite : suite arithmético-géométrique, raisonnement par récurrence, algorithme de seuil en Python, fonction exponentielle, limites de suites. Enfin, l'exercice 4 (5 points) porte sur : géométrie dans l'espace : coordonnées, représentation paramétrique, orthogonalité droite-plan, équation cartésienne, distance d'un point à un plan, volume d'un tétraèdre.
En pratique, chronométrez-vous dès le départ, car le temps file vite. Par exemple, l'exercice 1 vaut 5 points, donc il mérite environ 60 minutes. Par ailleurs, une question admise peut toujours servir pour la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2023, France, jour 1
Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Après votre recherche, vérifiez votre copie grâce à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
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