Corrigé du bac de maths 2023 : France, jour 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, France, jour 1) 5 points

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale, inéquation avec logarithme

Ensuite, on traduit d'abord l'énoncé : \(p(G) = 0{,}2\), \(p(G \cap D) = 0{,}002\) et \(p(D) = 0{,}082\). L'arbre complété (les valeurs sont justifiées dans les questions 1 et 2) est le suivant :

• \(G\) avec la probabilité \(0{,}2\) : puis \(D\) avec \(p_G(D) = 0{,}01\), \(\overline{D}\) avec \(0{,}99\) ;
• \(\overline{G}\) avec la probabilité \(0{,}8\) : puis \(D\) avec \(p_{\overline{G}}(D) = \dfrac{0{,}08}{0{,}8} = 0{,}1\), \(\overline{D}\) avec \(0{,}9\).

1. Calculer \(p_G(D)\).

Par définition d'une probabilité conditionnelle, on divise la probabilité de l'intersection par celle de la condition : \(p_G(D) = \dfrac{p(G \cap D)}{p(G)} = \dfrac{0{,}002}{0{,}2} = 0{,}01\). Autrement dit, 1 % des machines sous garantie sont défectueuses.

Réponse b : \(p_G(D) = 0{,}01\).

2. Calculer \(p\left(\overline{G} \cap D\right)\).

Les évènements \(G\) et \(\overline{G}\) forment une partition de l'univers, donc la formule des probabilités totales donne \(p(D) = p(G \cap D) + p\left(\overline{G} \cap D\right)\). Par ailleurs, on isole le terme cherché : \(p\left(\overline{G} \cap D\right) = 0{,}082 - 0{,}002 = 0{,}08\).

Réponse b : \(p\left(\overline{G} \cap D\right) = 0{,}08\).

3. Sachant la machine défectueuse, probabilité qu'elle soit sous garantie.

Ici la condition est \(D\) : on cherche \(p_D(G) = \dfrac{p(G \cap D)}{p(D)} = \dfrac{0{,}002}{0{,}082} = \dfrac{1}{41} \approx 0{,}0244\). Attention à ne pas confondre avec \(p_G(D)\) de la question 1 : l'ordre de la condition change tout.

Réponse b : \(p_D(G) \approx 0{,}024\).

4. Avec \(n = 50\), calculer \(p(X \gt 2)\).

\(X\) prend des valeurs entières, donc l'évènement \(X \gt 2\) est le contraire de \(X \leqslant 2\) : \(p(X \gt 2) = 1 - p(X \leqslant 2)\). Ensuite, on écrit \(p(X \leqslant 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2)\) avec \(p(X = k) = \dbinom{50}{k} 0{,}082^k \times 0{,}918^{50-k}\), soit environ \(0{,}01387 + 0{,}06195 + 0{,}13559 \approx 0{,}2114\), valeur que la calculatrice donne aussi directement avec la fonction de répartition de la loi binomiale, d'où \(p(X \gt 2) \approx 0{,}7886\).

Réponse b : \(p(X \gt 2) \approx 0{,}789\).

Question 5

5. Plus grande valeur de \(n\) pour laquelle la probabilité qu'aucune machine ne soit défectueuse dépasse 0,4.

« Toutes les machines fonctionnent » signifie \(X = 0\), et \(p(X = 0) = (1 - 0{,}082)^n = 0{,}918^n\). Ensuite, on résout \(0{,}918^n \gt 0{,}4\). La fonction ln est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc l'inéquation équivaut à \(n\ln(0{,}918) \gt \ln(0{,}4)\). Comme \(\ln(0{,}918) \lt 0\), on change le sens de l'inégalité en divisant : \(n \lt \dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)} \approx 10{,}71\).

Le plus grand entier qui convient est donc 10. Contrôle : \(0{,}918^{10} \approx 0{,}425 \gt 0{,}4\) alors que \(0{,}918^{11} \approx 0{,}390 \lt 0{,}4\).

Réponse c : \(n = 10\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, France, jour 1) 5 points

Fonction logarithme, limites, dérivée, tableau de variations, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

1. Limite de \(f\) en 0.

Quand \(x\) tend vers 0 (avec \(x \gt 0\)), \(x^2\) tend vers 0 et \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\), donc \(-8\ln(x)\) tend vers \(+\infty\). Par somme, il n'y a aucune forme indéterminée : \(f(x)\) tend vers \(+\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty\).

2. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Écrite telle quelle, \(x^2 - 8\ln(x)\) donne la forme indéterminée « \(+\infty - \infty\) », d'où la factorisation proposée. Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = 0\) (on peut aussi écrire \(\dfrac{\ln(x)}{x^2} = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}\), produit de deux quantités qui tendent vers 0). Ainsi la parenthèse \(1 - 8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\) tend vers 1, et comme \(x^2\) tend vers \(+\infty\), le produit tend vers \(+\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

3. Calcul de \(f'(x)\).

Alors, on dérive terme à terme, en se souvenant que la dérivée de \(\ln\) est \(x \mapsto \dfrac1x\) : \(f'(x) = 2x - \dfrac{8}{x}\). Par ailleurs, on met au même dénominateur \(x\) : \(f'(x) = \dfrac{2x^2 - 8}{x} = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}\).

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}\).

4. Variations de \(f\) et valeur exacte du minimum.

Ensuite, on factorise \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), donc \(f'(x) = \dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}\). Sur \(]0\,;\,+\infty[\), les facteurs \(2\), \(x + 2\) et \(x\) sont strictement positifs : le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x - 2\). Ainsi \(f'(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2) = 0\) et \(f'(x) \gt 0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).

La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]0\,;\,2]\) puis strictement croissante sur \([2\,;\,+\infty[\). Son minimum est atteint en 2 et vaut \(f(2) = 4 - 8\ln(2) \approx -1{,}55\).

En conclusion : \(f\) décroît sur \(]0\,;\,2]\), croît sur \([2\,;\,+\infty[\) et son minimum vaut \(4 - 8\ln(2)\).

Question 5

5. Unicité d'une solution \(\alpha\) de \(f(x) = 0\) sur \(]0\,;\,2]\).

Alors, on vérifie les hypothèses du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) :

• \(f\) est dérivable, donc continue, sur \(]0\,;\,2]\) ;
• \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,2]\) (question 4) ;
• \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty\) et \(f(2) = 4 - 8\ln(2) \lt 0\) car \(8\ln(2) \approx 5{,}55 \gt 4\).

Ainsi \(f\) prend sur \(]0\,;\,2]\) toutes les valeurs de \([4 - 8\ln(2)\,;\,+\infty[\), intervalle qui contient 0, et chacune une seule fois. L'équation \(f(x) = 0\) a donc une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,2]\) (et même \(\alpha \lt 2\) puisque \(f(2) \neq 0\) ; la calculatrice donne \(\alpha \approx 1{,}20\)).

En conclusion : l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur \(]0\,;\,2]\).

6. Signe de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Ensuite, on combine les variations et les deux annulations \(\alpha \lt 2 \lt \beta\) (numériquement \(\beta \approx 2{,}93\)). Sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f\) est strictement décroissante, donc \(f(x) \gt f(\alpha) = 0\). De même, sur \(]\alpha\,;\,2]\), toujours par décroissance, \(f(x) \lt f(\alpha) = 0\). Sur \([2\,;\,\beta[\), \(f\) est strictement croissante, donc \(f(x) \lt f(\beta) = 0\). Enfin sur \(]\beta\,;\,+\infty[\), \(f(x) \gt f(\beta) = 0\).

En conclusion : \(f(x) \gt 0\) sur \(]0\,;\,\alpha[ \cup ]\beta\,;\,+\infty[\), \(f(x) \lt 0\) sur \(]\alpha\,;\,\beta[\), et \(f\) s'annule en \(\alpha\) et \(\beta\).

7. Plus petite valeur de \(k\) rendant \(g_k\) positive.

Pour tout \(x \gt 0\), \(g_k(x) = f(x) + k\) : la courbe de \(g_k\) est celle de \(f\) translatée verticalement de \(k\). La fonction \(g_k\) a donc les mêmes variations que \(f\) et son minimum sur \(]0\,;\,+\infty[\) vaut \(f(2) + k = 4 - 8\ln(2) + k\).

Une fonction est positive sur un intervalle exactement quand son minimum y est positif. Par ailleurs, on veut donc \(4 - 8\ln(2) + k \geqslant 0\), c'est-à-dire \(k \geqslant 8\ln(2) - 4\). La valeur \(k = 8\ln(2) - 4 \approx 1{,}55\) convient (le minimum vaut alors exactement 0) et toute valeur plus petite rend \(g_k(2)\) strictement négatif.

En conclusion : la plus petite valeur est \(k = 8\ln(2) - 4\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, France, jour 1) 5 points

Suite arithmético-géométrique, raisonnement par récurrence, algorithme de seuil en Python, fonction exponentielle, limites de suites

Partie A : Première modélisation

1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\) et interpréter.

Alors, on applique la relation de récurrence : \(u_2 = 0{,}9 \times 3 + 1{,}3 = 2{,}7 + 1{,}3 = 4\), puis \(u_3 = 0{,}9 \times 4 + 1{,}3 = 3{,}6 + 1{,}3 = 4{,}9\). Les termes étant exprimés en centaines, le modèle prévoit environ 400 questions sur la FAQ le deuxième mois et 490 le troisième mois.

En conclusion : \(u_2 = 4\) et \(u_3 = 4{,}9\), soit 400 puis 490 questions.

2. Démontrer par récurrence la forme explicite de \(u_n\).

Pour \(n \geqslant 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\) ».

Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9 = 13 - \dfrac{90}{9} = 13 - 10 = 3 = u_1\). La propriété \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n \geqslant 1\) un entier tel que \(\mathcal{P}(n)\) soit vraie. Alors \(u_{n+1} = 0{,}9u_n + 1{,}3 = 0{,}9\left(13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\right) + 1{,}3 = 11{,}7 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^{n+1} + 1{,}3\). Comme \(11{,}7 + 1{,}3 = 13\), on obtient \(u_{n+1} = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^{n+1}\) : c'est \(\mathcal{P}(n+1)\).

Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier \(n \geqslant 1\).

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\).

Question 3

3. Montrer que \((u_n)\) est croissante.

Puis on étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs à l'aide de la forme explicite : \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^{n+1} = \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n \times (1 - 0{,}9) = \dfrac{10}{9} \times 0{,}9^n\). Ce nombre est strictement positif car une puissance de 0,9 est positive.

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(u_{n+1} - u_n \gt 0\), donc la suite \((u_n)\) est (strictement) croissante.

4. Valeur renvoyée par seuil(8.5) et interprétation.

Le programme part de \(n = 1\) et \(u = u_1 = 3\), puis calcule les termes successifs tant que \(u \leqslant p\). Il s'arrête au premier rang où \(u_n \gt p\) et renvoie ce rang. Avec \(p = 8{,}5\), on cherche donc le plus petit \(n\) tel que \(u_n \gt 8{,}5\).

Par le calcul : \(u_n \gt 8{,}5 \iff \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n \lt 4{,}5 \iff 0{,}9^n \lt 0{,}405 \iff n\ln(0{,}9) \lt \ln(0{,}405) \iff n \gt \dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)}\), le sens s'inversant car \(\ln(0{,}9) \lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)} \approx 8{,}58\), donc le premier entier convenable est 9.

Ensuite, on peut le confirmer en faisant tourner la boucle : \(u_8 \approx 8{,}22 \leqslant 8{,}5\) et \(u_9 \approx 8{,}70 \gt 8{,}5\).

En conclusion : seuil(8.5) renvoie 9 ; selon ce modèle, la FAQ dépasse 850 questions pour la première fois au 9^e mois.

Partie B : Une autre modélisation

1. Valeurs de \(v_1\) et \(v_2\) au centième.

\(v_1 = 9 - 6\,\text{e}^{0} = 9 - 6 = 3\) et \(v_2 = 9 - 6\,\text{e}^{-0{,}19} \approx 9 - 6 \times 0{,}8270 \approx 4{,}04\). Les deux modèles partent donc du même nombre de 300 questions le premier mois.

En conclusion : \(v_1 = 3{,}00\) et \(v_2 \approx 4{,}04\).

2. Plus petit \(n\) tel que \(v_n \gt 8{,}5\).

Par ailleurs, on isole l'exponentielle : \(v_n \gt 8{,}5 \iff 6\,\text{e}^{-0{,}19(n-1)} \lt 0{,}5 \iff \text{e}^{-0{,}19(n-1)} \lt \dfrac{1}{12}\). La fonction ln étant strictement croissante, cela équivaut à \(-0{,}19(n-1) \lt \ln\left(\dfrac{1}{12}\right) = -\ln(12)\), soit \(n - 1 \gt \dfrac{\ln(12)}{0{,}19}\), c'est-à-dire \(n \gt 1 + \dfrac{\ln(12)}{0{,}19} \approx 14{,}08\).

Vérification : \(v_{14} \approx 8{,}49 \leqslant 8{,}5\) et \(v_{15} \approx 8{,}58 \gt 8{,}5\).

En conclusion : la plus petite valeur est \(n = 15\).

Partie C : Comparaison des deux modèles

1. Quel modèle impose le plus tôt la modification du site ?

« Plus de 850 questions » se traduit par un terme strictement supérieur à 8,5 (en centaines). D'après la partie A, le premier modèle franchit ce seuil au 9^e mois ; d'après la partie B, le second le franchit au 15^e mois. Comme les deux suites sont croissantes (pour \((v_n)\), \(\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\) diminue quand \(n\) augmente), le seuil n'est plus jamais redescendu une fois atteint.

En conclusion : c'est la première modélisation qui oblige à modifier le site le plus tôt (9^e mois contre 15^e).

2. Quel modèle donne le plus de questions à long terme ?

Puis on compare les limites des deux suites. Comme \(-1 \lt 0{,}9 \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}9^n = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 13\) : environ 1 300 questions à long terme.

Pour la seconde suite, \(-0{,}19(n-1)\) tend vers \(-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{X \to -\infty} \text{e}^{X} = 0\), donc par composition \(\text{e}^{-0{,}19(n-1)}\) tend vers 0 et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 9\) : environ 900 questions à long terme.

En conclusion : à long terme, c'est la première modélisation qui prévoit le plus de questions (1 300 contre 900).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2023, France, jour 1) 5 points

Géométrie dans l'espace : coordonnées, représentation paramétrique, orthogonalité droite-plan, équation cartésienne, distance d'un point à un plan, volume d'un tétraèdre

1. Coordonnées de E, C et G.

Dans le repère \(\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)\), on a \(\overrightarrow{\text{AE}} = 0\,\overrightarrow{\text{AB}} + 0\,\overrightarrow{\text{AD}} + 1\,\overrightarrow{\text{AE}}\), puis \(\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}}\) et \(\overrightarrow{\text{AG}} = \overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{CG}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{AE}}\).

En conclusion : \(\text{E}(0\,;\,0\,;\,1)\), \(\text{C}(1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\text{G}(1\,;\,1\,;\,1)\).

2. Représentation paramétrique de (EC).

La droite passe par E et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\text{EC}}\,(1-0\,;\,1-0\,;\,0-1)\), soit \(\overrightarrow{\text{EC}}\,(1\,;\,1\,;\,-1)\). Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à (EC) si et seulement s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{\text{E}M} = t\,\overrightarrow{\text{EC}}\).

En conclusion : (EC) a pour représentation paramétrique \(\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases}\) avec \(t \in \mathbb{R}\).

3. Montrer que (EC) est orthogonale au plan (GBD).

Méthode : une droite est orthogonale à un plan dès que son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Avec \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\text{D}(0\,;\,1\,;\,0)\), on obtient \(\overrightarrow{\text{BD}}\,(-1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{\text{BG}}\,(0\,;\,1\,;\,1)\), qui ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l'un est nulle, pas celle de l'autre).

Produits scalaires : \(\overrightarrow{\text{EC}} \cdot \overrightarrow{\text{BD}} = 1 \times (-1) + 1 \times 1 + (-1) \times 0 = 0\) et \(\overrightarrow{\text{EC}} \cdot \overrightarrow{\text{BG}} = 1 \times 0 + 1 \times 1 + (-1) \times 1 = 0\).

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{EC}}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{BD}}\) et à \(\overrightarrow{\text{BG}}\), donc la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

Question 4 a

4. a. Équation cartésienne du plan (GBD).

D'après la question 3, \(\overrightarrow{\text{EC}}\,(1\,;\,1\,;\,-1)\) est un vecteur normal au plan (GBD). Ce plan admet donc une équation de la forme \(x + y - z + d = 0\). Le point \(\text{D}(0\,;\,1\,;\,0)\) lui appartient : \(0 + 1 - 0 + d = 0\), donc \(d = -1\). Par ailleurs, on contrôle avec les deux autres points : B donne \(1 + 0 - 0 - 1 = 0\) et G donne \(1 + 1 - 1 - 1 = 0\).

En conclusion : le plan (GBD) a pour équation \(x + y - z - 1 = 0\).

4. b. Coordonnées du point I.

I est sur (EC), donc ses coordonnées s'écrivent \((t\,;\,t\,;\,1-t)\) pour un certain réel \(t\) ; I est aussi dans le plan, donc \(t + t - (1 - t) - 1 = 0\), soit \(3t - 2 = 0\) et \(t = \dfrac23\). Alors, on remplace : \(x = \dfrac23\), \(y = \dfrac23\), \(z = 1 - \dfrac23 = \dfrac13\).

En conclusion : \(\text{I}\left(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac13\right)\).

4. c. Distance de E au plan (GBD).

La droite (EC) passe par E, est perpendiculaire au plan (GBD) et le coupe en I : le point I est donc le projeté orthogonal de E sur ce plan, et la distance cherchée est la longueur EI. Puis on calcule \(\overrightarrow{\text{EI}}\left(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,-\dfrac23\right)\), d'où \(\text{EI}^2 = \dfrac49 + \dfrac49 + \dfrac49 = \dfrac{12}{9} = \dfrac43\) et \(\text{EI} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}\).

En conclusion : la distance de E au plan (GBD) vaut \(\dfrac{2\sqrt3}{3} \approx 1{,}15\).

Question 5 a

5. a. Le triangle BDG est équilatéral.

Ensuite, on calcule les trois longueurs avec les coordonnées : \(\text{BD}^2 = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = 2\), \(\text{BG}^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2\) et, avec \(\overrightarrow{\text{DG}}\,(1\,;\,0\,;\,1)\), \(\text{DG}^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2\). Géométriquement, ce sont les diagonales de trois faces carrées de côté 1 du cube.

En conclusion : \(\text{BD} = \text{BG} = \text{DG} = \sqrt2\), donc BDG est équilatéral.

5. b. Aire du triangle BDG.

J est le milieu de [BD], donc \(\text{J}\left(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,0\right)\). Dans un triangle équilatéral, la médiane issue de G est aussi la hauteur : [GJ] est perpendiculaire à [BD]. Alors, on a \(\overrightarrow{\text{JG}}\left(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,1\right)\), donc \(\text{GJ}^2 = \dfrac14 + \dfrac14 + 1 = \dfrac32\) et \(\text{GJ} = \dfrac{\sqrt6}{2}\).

L'aire vaut \(\mathcal{A} = \dfrac{\text{BD} \times \text{GJ}}{2} = \dfrac{\sqrt2 \times \frac{\sqrt6}{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12}}{4} = \dfrac{2\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{2}\). Ensuite, on retrouve la formule du triangle équilatéral de côté \(a\) : \(\dfrac{\sqrt3}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt3}{4} \times 2\).

En conclusion : l'aire du triangle BDG vaut \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) unité d'aire.

6. Volume du tétraèdre EGBD.

Par ailleurs, on prend pour base le triangle BDG et pour sommet E. La hauteur relative à cette base est la distance de E au plan (GBD), c'est-à-dire \(h = \text{EI} = \dfrac{2\sqrt3}{3}\). Donc \(V = \dfrac13 \times \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac13 \times \dfrac{2 \times 3}{6} = \dfrac13\).

Contrôle par une autre voie : le tétraèdre s'obtient en retirant au cube (volume 1) les quatre coins ABDE, BCDG, BEFG et DEGH, chacun de volume \(\dfrac13 \times \dfrac12 \times 1 = \dfrac16\) ; il reste \(1 - \dfrac46 = \dfrac13\).

En conclusion : le volume du tétraèdre EGBD vaut \(\dfrac13\) unité de volume.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Distinguer \(p_G(D)\) et \(p_D(G)\) : la condition est toujours au dénominateur, et la formule des probabilités totales relie les intersections à \(p(D)\).
• Dans une inéquation du type \(q^n \gt a\) avec \(0 \lt q \lt 1\), diviser par \(\ln(q) \lt 0\) retourne l'inégalité : c'est l'erreur la plus fréquente.
• Pour lever « \(+\infty - \infty\) » avec un logarithme, factoriser par le terme dominant et utiliser les croissances comparées.
• Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires exige trois vérifications : continuité, stricte monotonie, et 0 compris entre les valeurs extrêmes.
• Dans l'hérédité d'une récurrence, partir de \(u_{n+1}\), utiliser la relation de récurrence puis l'hypothèse, et arriver à la forme voulue au rang \(n+1\).
• Un vecteur directeur d'une droite orthogonale à un plan en est un vecteur normal : il donne l'équation du plan, et le point d'intersection est le projeté orthogonal qui fournit la distance.

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Ce que contient le corrigé du bac 2023, France, jour 1

Cette correction complète du bac 2023, France, jour 1 du 20 mars 2023 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) traite : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale, inéquation avec logarithme. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) aborde : fonction logarithme, limites, dérivée, tableau de variations, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) porte sur : suite arithmético-géométrique, raisonnement par récurrence, algorithme de seuil en Python, fonction exponentielle, limites de suites. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : coordonnées, représentation paramétrique, orthogonalité droite-plan, équation cartésienne, distance d'un point à un plan, volume d'un tétraèdre.

Lisez chaque solution en vous demandant pourquoi telle méthode s'impose. En effet, c'est ce raisonnement qui resservira sur un autre sujet. Par ailleurs, refaites seul les calculs les plus longs sans regarder la rédaction.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, France, jour 1

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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Enfin, pour approfondir la notion, tu peux aussi consulter Éduscol.

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