Corrigé du bac de maths 2023 : Amérique du Nord, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, Amérique du Nord, jour 2) 5 points

Lecture graphique de la dérivée, limites avec l'exponentielle, variations, tangente, convexité

Partie A

1. Sens de variation de \(f\) lu sur la courbe de \(f'\).

Le sens de variation de \(f\) dépend du signe de \(f'\), c'est-à-dire de la position de la courbe tracée par rapport à l'axe des abscisses. La courbe est au-dessus de l'axe à gauche, le coupe une première fois vers \(x\approx 0{,}4\), reste en dessous jusqu'à un second point de coupure vers \(x\approx 2{,}6\), puis repasse au-dessus.

En conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty~;~0{,}4]\), décroissante sur \([0{,}4~;~2{,}6]\) et croissante sur \([2{,}6~;~+\infty[\) (valeurs approchées).

2. Intervalles où \(f\) semble convexe.

Une fonction dérivable est convexe là où sa dérivée est croissante. Sur le graphique, \(f'\) monte jusqu'à son maximum atteint en \(x=-1\), descend ensuite jusqu'à son minimum en \(x=2\), puis remonte.

En conclusion : \(f\) semble convexe sur \(]-\infty~;~-1]\) et sur \([2~;~+\infty[\).

Partie B

1. a) Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Le polynôme \(x^2-5x+6\) a la même limite que son terme de plus haut degré \(x^2\), soit \(+\infty\). De plus \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\). Le produit de deux facteurs qui tendent vers \(+\infty\) tend vers \(+\infty\).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

1. b) Limite de \(f\) en \(-\infty\).

Ici on tombe sur une forme indéterminée « \(+\infty\times 0\) ». Ensuite, on développe : \(f(x)=x^2\text{e}^x-5x\text{e}^x+6\text{e}^x\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2\text{e}^x=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\text{e}^x=0\) ; enfin \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\). Par somme, chaque terme tend vers 0.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) : l'axe des abscisses est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\).

2. Calcul de \(f'(x)\).

Alors, on dérive le produit \(uv\) avec \(u(x)=x^2-5x+6\), \(u'(x)=2x-5\), \(v(x)=\text{e}^x\), \(v'(x)=\text{e}^x\). La formule \((uv)'=u'v+uv'\) donne :

\[f'(x)=(2x-5)\text{e}^x+(x^2-5x+6)\text{e}^x=\left(x^2-5x+6+2x-5\right)\text{e}^x=\left(x^2-3x+1\right)\text{e}^x.\]

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\left(x^2-3x+1\right)\text{e}^x\).

3. Sens de variation de \(f\).

Comme \(\text{e}^x\gt 0\) pour tout \(x\), \(f'(x)\) a le signe du trinôme \(x^2-3x+1\). Son discriminant vaut \(\Delta=(-3)^2-4\times1\times1=5\gt 0\), d'où deux racines :

\[x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62.\]

Le coefficient de \(x^2\) est positif : le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

Ensuite, on retrouve bien les valeurs approchées 0,4 et 2,6 lues dans la partie A.

En conclusion : \(f\) est croissante sur \(\left]-\infty~;~\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right]\), décroissante sur \(\left[\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}~;~\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right]\) et croissante sur \(\left[\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}~;~+\infty\right[\).

4. Équation réduite de la tangente en 0.

La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\). Or \(f(0)=6\times\text{e}^0=6\) et \(f'(0)=1\times\text{e}^0=1\).

En conclusion : \((\mathcal{T})\ :\ y=x+6\).

Question 5 a

5. a) Convexité de \(f\).

La convexité se lit sur le signe de \(f''(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^x\). L'exponentielle est strictement positive, donc tout dépend du produit \((x+1)(x-2)\), qui s'annule en \(-1\) et en 2 et qui, comme trinôme de coefficient dominant positif, est positif à l'extérieur de ses racines.

En conclusion : \(f\) est convexe sur \(]-\infty~;~-1]\) et sur \([2~;~+\infty[\), concave sur \([-1~;~2]\) ; la courbe a deux points d'inflexion, d'abscisses \(-1\) et 2 (ce qui confirme la lecture de la partie A).

5. b) Montrer que \(f(x)\leqslant x+6\) sur \([-1~;~2]\).

Sur un intervalle où une fonction est concave, sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes en des points de cet intervalle. Le point d'abscisse 0 appartient à \([-1~;~2]\), et la tangente en ce point est \((\mathcal{T})\ :\ y=x+6\) d'après la question 4. Donc, pour tout \(x\) de \([-1~;~2]\), le point de \(\mathcal{C}\) d'abscisse \(x\) est sous la droite \((\mathcal{T})\), c'est-à-dire \(f(x)\leqslant x+6\).

En conclusion : pour tout \(x\in[-1~;~2]\), \(f(x)\leqslant x+6\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, Amérique du Nord, jour 2) 5 points

Suite arithmético-géométrique, récurrence, convergence monotone, suite géométrique, algorithme de seuil

1. Effectifs des deux clubs en 2024.

Entre 2023 et 2024, le club A perd 15 % de ses 1 700 membres, soit \(0{,}15\times1\,700=255\) personnes, et reçoit 10 % des 1 300 membres du club B, soit \(0{,}1\times1\,300=130\) personnes. Le club B fait le mouvement inverse.

\[a_1=1\,700-255+130=1\,575\qquad b_1=1\,300-130+255=1\,425.\]

En conclusion : en 2024, le club A compte 1 575 membres et le club B 1 425 membres.

2. Relation entre \(a_n\) et \(b_n\).

Aucun sportif ne quitte le groupe et aucun n'y entre : les 3 000 sportifs se répartissent chaque année entre les deux clubs. Ensuite, on vérifie d'ailleurs \(1\,575+1\,425=3\,000\).

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(a_n+b_n=3\,000\).

3. Montrer que \(a_{n+1}=0{,}75a_n+300\).

D'une année à la suivante, le club A garde 85 % de ses membres et récupère 10 % de ceux du club B : \(a_{n+1}=0{,}85a_n+0{,}1b_n\). En remplaçant \(b_n\) par \(3\,000-a_n\) (question 2) :

\[a_{n+1}=0{,}85a_n+0{,}1\left(3\,000-a_n\right)=0{,}85a_n-0{,}1a_n+300=0{,}75a_n+300.\]

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1}=0{,}75a_n+300\).

4. a) Récurrence : \(1\,200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1\,700\).

Notons \(P(n)\) la propriété « \(1\,200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1\,700\) ».

Initialisation. Avec \(a_0=1\,700\) et \(a_1=1\,575\), on a bien \(1\,200\leqslant 1\,575\leqslant 1\,700\leqslant 1\,700\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie. La fonction \(g : x\mapsto 0{,}75x+300\) est affine de coefficient positif, donc croissante : elle conserve l'ordre. En l'appliquant aux quatre membres de l'encadrement \(1\,200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1\,700\), on obtient \(g(1\,200)\leqslant g(a_{n+1})\leqslant g(a_n)\leqslant g(1\,700)\).

Or \(g(1\,200)=900+300=1\,200\), \(g(a_{n+1})=a_{n+2}\), \(g(a_n)=a_{n+1}\) et \(g(1\,700)=1\,275+300=1\,575\). Donc \(1\,200\leqslant a_{n+2}\leqslant a_{n+1}\leqslant 1\,575\), et comme \(1\,575\leqslant 1\,700\), \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(1\,200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1\,700\).

Question 4 b

4. b) Convergence de \((a_n)\).

L'inégalité \(a_{n+1}\leqslant a_n\) pour tout \(n\) signifie que \((a_n)\) est décroissante, et \(a_n\geqslant 1\,200\) signifie qu'elle est minorée par 1 200. D'après le théorème de la limite monotone, toute suite décroissante et minorée converge.

En conclusion : la suite \((a_n)\) est convergente (vers une limite supérieure ou égale à 1 200).

5. a) La suite \((v_n)\) est géométrique.

Pour tout entier naturel \(n\), on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\), en utilisant \(a_n=v_n+1\,200\) :

\[v_{n+1}=a_{n+1}-1\,200=0{,}75a_n+300-1\,200=0{,}75\left(v_n+1\,200\right)-900=0{,}75v_n+900-900=0{,}75v_n.\]

Son premier terme vaut \(v_0=a_0-1\,200=500\).

En conclusion : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=0{,}75\) et de premier terme \(v_0=500\).

5. b) Expression de \(v_n\).

Le terme général d'une suite géométrique est \(v_n=v_0\times q^n\).

En conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(v_n=500\times0{,}75^n\).

5. c) Expression de \(a_n\).

De \(v_n=a_n-1\,200\) on tire \(a_n=v_n+1\,200\), puis on remplace \(v_n\).

En conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(a_n=500\times0{,}75^n+1\,200\).

6. a) Limite de \((a_n)\).

Comme \(0\lt 0{,}75\lt 1\), la suite géométrique \(\left(0{,}75^n\right)\) tend vers 0. Par produit par 500 puis somme avec 1 200 :

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=1\,200\).

6. b) Interprétation.

Au fil des années, l'effectif du club A diminue et se stabilise autour de 1 200 membres. Puisque le total reste égal à 3 000, l'effectif du club B augmente et se rapproche de \(3\,000-1\,200=1\,800\) membres.

En conclusion : à long terme, le club A comptera environ 1 200 membres et le club B environ 1 800.

Question 7 a

7. a) Compléter le programme Python.

La boucle doit continuer tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte, donc tant que \(A\geqslant 1\,280\). À chaque passage, on avance d'une année et on applique la relation de récurrence de la question 3. Quand la boucle s'arrête, n est le premier rang pour lequel l'effectif est passé sous 1 280 : c'est lui qu'on renvoie.

def seuil() :
    n = 0
    A = 1700
    while A >= 1280 :
        n = n + 1
        A = 0.75 * A + 300
    return n

En conclusion : condition A >= 1280, mise à jour A = 0.75 * A + 300, et la fonction renvoie n.

7. b) Valeur renvoyée par seuil().

Alors, on cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(a_n\lt 1\,280\). Avec la forme explicite :

\[500\times0{,}75^n+1\,200\lt 1\,280\iff 0{,}75^n\lt \dfrac{80}{500}=0{,}16\iff n\ln(0{,}75)\lt \ln(0{,}16)\iff n\gt \dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}.\]

Le sens de l'inégalité change à la dernière étape car on divise par \(\ln(0{,}75)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}\approx 6{,}37\). Contrôle à la calculatrice : \(a_6\approx 1\,288{,}99\) et \(a_7\approx 1\,266{,}74\).

En conclusion : l'appel seuil() renvoie 7 ; c'est en 2030 que le club A passe pour la première fois sous 1 280 membres.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, Amérique du Nord, jour 2) 5 points

Vecteurs de l'espace, représentations paramétriques, produit scalaire, projeté orthogonal, plan, volume d'un tétraèdre

1. a) Coordonnées de \(\overrightarrow{\text{EF}}\) et \(\overrightarrow{\text{FG}}\).

Par ailleurs, on soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité :

\[\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}-1-3 \\ 2-(-2) \\ 1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix}\qquad\overrightarrow{\text{FG}}\begin{pmatrix}3-(-1) \\ 2-2 \\ -3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ -4\end{pmatrix}\]

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{EF}}(-4~;~4~;~2)\) et \(\overrightarrow{\text{FG}}(4~;~0~;~-4)\).

1. b) E, F, G ne sont pas alignés.

Si les deux vecteurs étaient colinéaires, il existerait un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{EF}}=k\,\overrightarrow{\text{FG}}\). La deuxième coordonnée donnerait \(4=k\times0\), ce qui est impossible. Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

En conclusion : les points E, F et G ne sont pas alignés ; ils définissent un plan.

2. a) Représentation paramétrique de (FG).

La droite (FG) passe par \(\text{F}(-1~;~2~;~1)\) et est dirigée par \(\overrightarrow{\text{FG}}(4~;~0~;~-4)\), ou plus simplement par le vecteur \(\dfrac14\overrightarrow{\text{FG}}(1~;~0~;~-1)\). En gardant \(\overrightarrow{\text{FG}}\) :

En conclusion : \((\text{FG}) : \begin{cases}x=-1+4t \\ y=2 \\ z=1-4t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}\).

2. b) H est le projeté orthogonal de E sur (FG).

Il faut vérifier deux choses : H est sur la droite (FG), et la droite (EH) est perpendiculaire à (FG).

Appartenance : \(-1+4t=2\) donne \(t=\dfrac34\) ; avec cette valeur, \(y=2\) et \(z=1-3=-2\). Ensuite, on retrouve bien \((2~;~2~;~-2)\), donc \(\text{H}\in(\text{FG})\).

Orthogonalité : \(\overrightarrow{\text{EH}}\) a pour coordonnées \((2-3~;~2+2~;~-2+1)=(-1~;~4~;~-1)\), et \(\overrightarrow{\text{EH}}\cdot\overrightarrow{\text{FG}}=(-1)\times4+4\times0+(-1)\times(-4)=-4+0+4=0\).

En conclusion : H appartient à (FG) et \(\overrightarrow{\text{EH}}\perp\overrightarrow{\text{FG}}\), donc H est le projeté orthogonal de E sur (FG).

Question 2 c

2. c) Aire du triangle EFG.

Puisque H est le pied de la perpendiculaire issue de E sur (FG), le segment [EH] est la hauteur du triangle relative au côté [FG]. Alors, on calcule les deux longueurs dans le repère orthonormé :

\[\text{FG}=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\qquad\text{EH}=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2.\]

\[\mathcal{A}_{\text{EFG}}=\dfrac{\text{FG}\times\text{EH}}{2}=\dfrac{4\sqrt2\times3\sqrt2}{2}=\dfrac{12\times2}{2}=12.\]

En conclusion : l'aire du triangle EFG vaut \(12\text{ cm}^2\).

3. a) \(\vec{n}(2~;~1~;~2)\) est normal au plan (EFG).

Un vecteur est normal à un plan dès qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Ensuite, on prend \(\overrightarrow{\text{EF}}\) et \(\overrightarrow{\text{FG}}\), non colinéaires d'après 1. b) :

\[\vec{n}\cdot\overrightarrow{\text{EF}}=2\times(-4)+1\times4+2\times2=-8+4+4=0\qquad\vec{n}\cdot\overrightarrow{\text{FG}}=2\times4+1\times0+2\times(-4)=8-8=0.\]

En conclusion : \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, c'est donc un vecteur normal à (EFG).

3. b) Équation cartésienne de (EFG).

Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(2~;~1~;~2)\) a une équation de la forme \(2x+y+2z+d=0\). Le point \(\text{E}(3~;~-2~;~-1)\) lui appartient : \(6-2-2+d=0\), d'où \(d=-2\). Contrôle avec G : \(6+2-6-2=0\), et avec F : \(-2+2+2-2=0\).

En conclusion : \((\text{EFG}) : 2x+y+2z-2=0\).

3. c) Représentation paramétrique de \((d)\).

Une droite orthogonale à un plan est dirigée par un vecteur normal à ce plan. La droite \((d)\) passe donc par \(\text{D}(3~;~1~;~5)\) avec \(\vec{n}(2~;~1~;~2)\) pour vecteur directeur.

En conclusion : \((d) : \begin{cases}x=3+2s \\ y=1+s \\ z=5+2s\end{cases}\quad s\in\mathbb{R}\).

3. d) Coordonnées du projeté orthogonal K.

Le point K est l'intersection de la droite \((d)\), perpendiculaire au plan et passant par D, avec le plan (EFG). Ensuite, on injecte la représentation de \((d)\) dans l'équation du plan :

\[2(3+2s)+(1+s)+2(5+2s)-2=0\iff 6+4s+1+s+10+4s-2=0\iff 9s+15=0\iff s=-\dfrac53.\]

Ensuite, on reporte cette valeur : \(x=3-\dfrac{10}{3}=-\dfrac13\), \(y=1-\dfrac53=-\dfrac23\), \(z=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac53\). Vérification : \(-\dfrac23-\dfrac23+\dfrac{10}{3}-2=0\).

En conclusion : \(\text{K}\left(-\dfrac13~;~-\dfrac23~;~\dfrac53\right)\).

Question 4 a

4. a) Distance DK.

Le vecteur \(\overrightarrow{\text{DK}}\) a pour coordonnées \(\left(-\dfrac{10}{3}~;~-\dfrac53~;~-\dfrac{10}{3}\right)\), c'est-à-dire \(-\dfrac53\vec{n}\). Donc :

\[\text{DK}=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}}=\sqrt{\dfrac{225}{9}}=\sqrt{25}=5.\]

En conclusion : \(\text{DK}=5\text{ cm}\).

4. b) Volume du tétraèdre DEFG.

Puis on choisit pour base le triangle EFG ; la hauteur associée est la distance de D au plan (EFG), c'est-à-dire DK, puisque K est le projeté orthogonal de D sur ce plan. Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur :

\[V=\dfrac13\times\mathcal{A}_{\text{EFG}}\times\text{DK}=\dfrac13\times12\times5=20.\]

En conclusion : le tétraèdre DEFG a un volume de \(20\text{ cm}^3\).

Corrigé de l’exercice 4 5 points

QCM : croissances comparées, théorème des valeurs intermédiaires, limites de suites, espérance, loi binomiale

1. Limite en \(+\infty\) de \(f(x)=0{,}05-\dfrac{\ln x}{x-1}\).

Pour \(x\gt 1\), on écrit \(\dfrac{\ln x}{x-1}=\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{x}{x-1}\). Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln x}{x}\) tend vers 0, et \(\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{1-\frac1x}\) tend vers 1. Le quotient tend donc vers \(0\times1=0\) et \(f(x)\) tend vers \(0{,}05\).

Réponse b : la limite vaut \(0{,}05\).

2. Fonction \(h\) continue avec \(h(-1)=0\), \(h(1)=4\), \(h(3)=-1\).

Sur \([1~;~3]\), \(h\) est continue, et 1 est compris entre \(h(3)=-1\) et \(h(1)=4\). Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins un réel \(a\) de \([1~;~3]\) tel que \(h(a)=1\). Les autres propositions ne sont pas assurées : trois valeurs ne disent rien sur la monotonie ni sur le signe de \(h\) entre \(-1\) et 1 (la fonction peut descendre sous 0 puis remonter), et rien n'empêche \(h\) d'osciller et de prendre la valeur 1 plus de deux fois.

Réponse c.

3. Suites positives avec \(u_n\to+\infty\) et \(v_n\to0\).

Le numérateur \(v_n\) tend vers 0 et le dénominateur \(u_n\) tend vers \(+\infty\) : le quotient \(\dfrac{v_n}{u_n}\) tend vers 0, donc cette suite converge. Les autres réponses sont fausses : comme \(v_n\gt 0\) et \(v_n\to0\), \(\dfrac1{v_n}\) tend vers \(+\infty\) (réponse a) ; une suite peut tendre vers \(+\infty\) sans être croissante, par exemple \(u_n=n+(-1)^n\) (réponse c) ; enfin \((-u_n)^n\) change de signe selon la parité de \(n\) et n'a pas de limite (réponse d).

Réponse b.

Question 4

4. Gain moyen au jeu de dé.

Notons \(G\) le gain algébrique du joueur, mise de 4 € déduite. Le résultat 1 (probabilité \(\dfrac16\)) donne \(G=12-4=8\) ; un nombre pair, soit 2, 4 ou 6 (probabilité \(\dfrac36\)), donne \(G=3-4=-1\) ; les résultats 3 et 5 (probabilité \(\dfrac26\)) donnent \(G=-4\).

\[E(G)=8\times\dfrac16+(-1)\times\dfrac36+(-4)\times\dfrac26=\dfrac{8-3-8}{6}=-\dfrac36=-0{,}5.\]

Réponse d : en moyenne, le joueur perd 0,50 € par partie.

5. \(X\sim\mathcal{B}(3~;~p)\) avec \(P(X=0)=\dfrac1{125}\).

Obtenir zéro succès sur trois épreuves indépendantes a pour probabilité \(P(X=0)=(1-p)^3\). Donc \((1-p)^3=\dfrac{1}{125}=\left(\dfrac15\right)^3\), et comme la fonction cube est strictement croissante, \(1-p=\dfrac15\), soit \(p=\dfrac45\). Pour écarter b et d, on calcule \(P(X=1)=3\times\dfrac45\times\left(\dfrac15\right)^2=\dfrac{12}{125}\), qui ne vaut ni \(\dfrac{124}{125}\) ni \(\dfrac45\).

Réponse c : \(p=\dfrac45\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Sur la courbe de \(f'\) : son signe donne les variations de \(f\), ses variations donnent la convexité de \(f\) ; ne pas confondre les deux lectures.
• Une fonction concave sur un intervalle a sa courbe sous ses tangentes : c'est l'outil direct pour prouver une inégalité du type \(f(x)\leqslant\) équation de la tangente.
• Pour une récurrence d'encadrement avec \(u_{n+1}=g(u_n)\), on applique la fonction croissante \(g\) à toute la chaîne d'inégalités.
• Suite arithmético-géométrique : on passe par la suite géométrique \(v_n=a_n-\ell\), puis on résout \(q^n\lt c\) avec le logarithme en pensant à changer le sens quand \(\ln q\lt 0\).
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan : on coupe le plan par la droite passant par ce point et dirigée par un vecteur normal ; la distance obtenue sert de hauteur pour le volume \(\dfrac13\times\text{base}\times\text{hauteur}\).

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Présentation du corrigé du bac 2023, Amérique du Nord, jour 2

Cette correction complète du bac 2023, Amérique du Nord, jour 2 du 28 mars 2023 explique les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : lecture graphique de la dérivée, limites avec l'exponentielle, variations, tangente, convexité. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) aborde : suite arithmético-géométrique, récurrence, convergence monotone, suite géométrique, algorithme de seuil. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) aborde : vecteurs de l'espace, représentations paramétriques, produit scalaire, projeté orthogonal, plan, volume d'un tétraèdre. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : qCM : croissances comparées, théorème des valeurs intermédiaires, limites de suites, espérance, loi binomiale.

Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, Amérique du Nord, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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