Corrigé du bac de maths 2023 : France, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, France, jour 2) 5 points

Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale

Traduisons d'abord les données : \( P(A) = \dfrac{2}{5} \), \( P_A(G) = \dfrac{7}{10} \) et \( P(G) = \dfrac{12}{25} \). Comme un joueur choisit forcément l'un des deux mondes, \( B = \overline{A} \), donc \( P(B) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5} \).

1. Probabilité de choisir A et de gagner.

Ensuite, on cherche \( P(A \cap G) \). Par définition d'une probabilité conditionnelle, \( P(A \cap G) = P(A) \times P_A(G) \), ce qui correspond au chemin A puis G dans l'arbre pondéré : \( \dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{10} = \dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25} \).

En conclusion : \( P(A \cap G) = \dfrac{7}{25} \), réponse c.

2. Calcul de \( P_B(G) \).

Les événements \( A \) et \( B \) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne \( P(G) = P(A \cap G) + P(B \cap G) \), d'où \( P(B \cap G) = \dfrac{12}{25} - \dfrac{7}{25} = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} \).

Par ailleurs, on divise ensuite par \( P(B) \) : \( P_B(G) = \dfrac{P(B \cap G)}{P(B)} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{3} \).

En conclusion : \( P_B(G) = \dfrac{1}{3} \), réponse b.

Pour les trois dernières questions, notons \( X \) le nombre de parties gagnées sur les 10. Les parties sont identiques et indépendantes (tirage avec remise), chacune ayant deux issues, gagner avec la probabilité \( p = \dfrac{12}{25} = 0{,}48 \) ou perdre. \( X \) suit donc la loi binomiale \( \mathcal{B}\left(10\,;\,0{,}48\right) \).

Question 3

3. Probabilité de gagner exactement 6 parties.

Puis on applique la formule de la loi binomiale : \( P(X = 6) = \dbinom{10}{6} \times 0{,}48^6 \times 0{,}52^4 = 210 \times 0{,}48^6 \times 0{,}52^4 \approx 0{,}18779 \). Arrondi au millième, cela donne \( 0{,}188 \) (et non \( 0{,}187 \), qui serait une troncature).

En conclusion : \( P(X = 6) \approx 0{,}188 \), réponse c.

4. Valeur de \( n \) telle que \( P(X \leqslant n) \approx 0{,}207 \).

La calculatrice (fonction de répartition binomiale) fournit les probabilités cumulées suivantes :

Seule la valeur \( n = 3 \) donne \( 0{,}207 \) au millième près. Par ailleurs, on remarque au passage que \( 0{,}671 \) et \( 0{,}859 \), proposés à la question 3, sont en réalité \( P(X \leqslant 5) \) et \( P(X \leqslant 6) \) : ce sont des pièges.

En conclusion : \( n = 3 \), réponse b.

5. Probabilité de gagner au moins une partie.

L'événement contraire de « gagner au moins une partie » est « perdre les 10 parties », c'est-à-dire \( X = 0 \). Chaque partie est perdue avec la probabilité \( 1 - \dfrac{12}{25} = \dfrac{13}{25} \), et les parties sont indépendantes, donc \( P(X = 0) = \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \). Ainsi \( P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \approx 0{,}9986 \).

En conclusion : \( P(X \geqslant 1) = 1 - \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \), réponse d.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, France, jour 2) 5 points

Suite géométrique, logarithme, suite récurrente, raisonnement par récurrence, convergence monotone, algorithme de seuil

Partie A

1. Justifier la forme explicite de \( u_n \).

Une hausse de 60 % revient à appliquer le coefficient multiplicateur \( 1 + \dfrac{60}{100} = 1{,}6 \). Chaque mois, on a donc \( u_{n+1} = 1{,}6\,u_n \) : la suite \( (u_n) \) est géométrique de raison \( q = 1{,}6 \) et de premier terme \( u_0 = 0{,}1 \). Le terme général d'une suite géométrique est \( u_n = u_0 \times q^n \).

En conclusion : pour tout entier naturel \( n \), \( u_n = 0{,}1 \times 1{,}6^n \).

2. Limite de \( (u_n) \).

La raison vérifie \( 1{,}6 \gt 1 \), donc \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} 1{,}6^n = +\infty \). En multipliant par le réel strictement positif \( 0{,}1 \), la limite reste \( +\infty \).

En conclusion : \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \).

3. Plus petit \( n \) tel que \( u_n \gt 0{,}4 \).

Ensuite, on divise par \( 0{,}1 \) : \( u_n \gt 0{,}4 \iff 1{,}6^n \gt 4 \). La fonction \( \ln \) est strictement croissante sur \( ]0\,;\,+\infty[ \), on peut donc l'appliquer aux deux membres sans changer le sens : \( n\ln(1{,}6) \gt \ln(4) \). Comme \( \ln(1{,}6) \gt 0 \) (car \( 1{,}6 \gt 1 \)), on obtient \( n \gt \dfrac{\ln(4)}{\ln(1{,}6)} \approx 2{,}95 \).

Vérification : \( u_2 = 0{,}1 \times 1{,}6^2 = 0{,}256 \) et \( u_3 = 0{,}1 \times 1{,}6^3 = 0{,}4096 \).

En conclusion : \( u_n \gt 0{,}4 \) à partir de \( n = 3 \).

Question 4

4. L'équilibre est-il préservé avec ce modèle ?

Au bout de 3 mois, le modèle prévoit environ 409 600 insectes, ce qui dépasse le seuil de 400 000 ; comme la suite est croissante et tend vers \( +\infty \), la population reste ensuite au-dessus de ce seuil.

En conclusion : selon ce premier modèle, l'équilibre du milieu naturel ne serait pas préservé (dès le 3e mois).

Partie B

1. Nombre d'insectes au bout d'un mois.

Puis on applique la relation de récurrence avec \( n = 0 \) : \( v_1 = 1{,}6 \times 0{,}1 - 1{,}6 \times 0{,}1^2 = 0{,}16 - 0{,}016 = 0{,}144 \). L'unité étant le million d'insectes, \( 0{,}144 \) million correspond à 144 000 insectes.

En conclusion : au bout d'un mois, il y a 144 000 insectes.

2. a) Résoudre \( f(x) = x \).

Ensuite, on regroupe tout dans un membre puis on factorise : \( 1{,}6x - 1{,}6x^2 = x \iff 0{,}6x - 1{,}6x^2 = 0 \iff x\,(0{,}6 - 1{,}6x) = 0 \). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : \( x = 0 \) ou \( x = \dfrac{0{,}6}{1{,}6} = \dfrac{3}{8} \). Ces deux valeurs appartiennent bien à \( \left[0\,;\,\dfrac{1}{2}\right] \).

En conclusion : l'ensemble des solutions est \( \left\{0\,;\,\dfrac{3}{8}\right\} \).

2. b) Montrer que \( f \) est croissante sur \( \left[0\,;\,\dfrac{1}{2}\right] \).

\( f \) est un polynôme, donc dérivable, et \( f'(x) = 1{,}6 - 3{,}2x = 1{,}6\,(1 - 2x) \). Pour \( 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{2} \), on a \( 2x \leqslant 1 \), donc \( 1 - 2x \geqslant 0 \) et \( f'(x) \geqslant 0 \) (la dérivée ne s'annule qu'en \( \dfrac{1}{2} \)).

En conclusion : \( f' \geqslant 0 \) sur \( \left[0\,;\,\dfrac{1}{2}\right] \), donc \( f \) est croissante sur cet intervalle.

Question 3 a

3. a) Récurrence : \( 0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2} \).

Pour tout entier naturel \( n \), notons \( \mathcal{R}(n) \) la propriété « \( 0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2} \) ». Remarquons que \( v_{n+1} = f(v_n) \).

Initialisation. \( v_0 = 0{,}1 \) et \( v_1 = 0{,}144 \) : on a bien \( 0 \leqslant 0{,}1 \leqslant 0{,}144 \leqslant 0{,}5 \), donc \( \mathcal{R}(0) \) est vraie.

Hérédité. Soit \( k \) un entier naturel tel que \( \mathcal{R}(k) \) soit vraie : \( 0 \leqslant v_k \leqslant v_{k+1} \leqslant \dfrac{1}{2} \). Ces quatre nombres sont dans \( \left[0\,;\,\dfrac{1}{2}\right] \), intervalle sur lequel \( f \) est croissante (question 2. b) ; appliquer \( f \) conserve donc l'ordre : \( f(0) \leqslant f(v_k) \leqslant f(v_{k+1}) \leqslant f\left(\dfrac{1}{2}\right) \).

Or \( f(0) = 0 \), \( f(v_k) = v_{k+1} \), \( f(v_{k+1}) = v_{k+2} \) et \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0{,}8 - 0{,}4 = 0{,}4 \). Alors, on obtient \( 0 \leqslant v_{k+1} \leqslant v_{k+2} \leqslant 0{,}4 \leqslant \dfrac{1}{2} \) : \( \mathcal{R}(k+1) \) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \( n \).

En conclusion : pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( 0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2} \).

Question 3 b

3. b) Convergence de \( (v_n) \).

L'encadrement précédent contient deux informations : \( v_n \leqslant v_{n+1} \) pour tout \( n \), donc la suite est croissante ; \( v_n \leqslant \dfrac{1}{2} \) pour tout \( n \), donc elle est majorée par \( \dfrac{1}{2} \). Le théorème de la convergence monotone affirme qu'une suite croissante et majorée converge.

En conclusion : la suite \( (v_n) \) converge vers un réel \( \ell \).

3. c) Valeur de \( \ell \) et préservation de l'équilibre.

D'après l'énoncé, \( \ell \) est solution de \( f(x) = x \), donc \( \ell = 0 \) ou \( \ell = \dfrac{3}{8} \). Comme la suite est croissante, tous ses termes sont inférieurs ou égaux à sa limite, et en particulier \( \ell \geqslant v_0 = 0{,}1 \). La valeur 0 est donc exclue, et \( \ell = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \).

Pour tout \( n \), \( v_n \leqslant 0{,}375 \lt 0{,}4 \) : la population ne dépasse jamais 375 000 insectes, et reste donc sous le seuil de 400 000.

En conclusion : \( \ell = \dfrac{3}{8} \) ; selon ce second modèle, l'équilibre du milieu naturel est préservé.

4. a) Que se passe-t-il avec seuil(0.4) ?

La fonction part de \( v = v_0 \) et \( n = 0 \), puis calcule les termes successifs tant que \( v \lt a \) ; elle renvoie le premier rang \( n \) pour lequel \( v_n \geqslant a \). Avec \( a = 0{,}4 \), la condition \( v_n \lt 0{,}4 \) est toujours vraie puisque \( v_n \leqslant 0{,}375 \) pour tout \( n \) (question 3. c).

En conclusion : la boucle while ne s'arrête jamais ; seuil(0.4) tourne indéfiniment sans rien renvoyer.

Question 4 b

4. b) Valeur renvoyée par seuil(0.35) et interprétation.

Puis on calcule les termes à la calculatrice (valeurs arrondies) :

Ainsi, on a \( v_5 \approx 0{,}338 \lt 0{,}35 \) et \( v_6 \approx 0{,}358 \geqslant 0{,}35 \) : la boucle s'arrête quand \( n \) vaut 6. Comme la suite est croissante, les termes suivants restent au-dessus de \( 0{,}35 \).

En conclusion : seuil(0.35) renvoie 6 ; c'est à partir du 6e mois que la population dépasse 350 000 insectes.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, France, jour 2) 5 points

Géométrie dans l'espace : vecteurs normaux, plans perpendiculaires, intersection de plans, distance, projeté orthogonal

1. a) Un vecteur normal à \( \mathcal{P}_1 \).

Un plan d'équation \( ax + by + cz + d = 0 \) admet le vecteur de coordonnées \( (a\,;\,b\,;\,c) \) comme vecteur normal. Ici on lit directement les coefficients de \( x \), \( y \) et \( z \).

En conclusion : \( \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} \) est normal à \( \mathcal{P}_1 \).

1. b) Montrer que \( \mathcal{P}_1 \perp \mathcal{P}_2 \).

Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire avec les coordonnées : \( \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 2 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times 1 = 2 - 1 - 1 = 0 \). Les deux vecteurs normaux sont orthogonaux.

En conclusion : d'après le rappel de l'énoncé, les plans \( \mathcal{P}_1 \) et \( \mathcal{P}_2 \) sont perpendiculaires.

2. a) Équation cartésienne de \( \mathcal{P}_2 \).

Un point \( M(x\,;\,y\,;\,z) \) appartient à \( \mathcal{P}_2 \) si et seulement si \( \overrightarrow{\text{B}M} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \), c'est-à-dire \( (x - 1) - (y - 1) + (z - 2) = 0 \), soit \( x - y + z - 2 = 0 \). Contrôle : B donne \( 1 - 1 + 2 - 2 = 0 \).

En conclusion : \( \mathcal{P}_2 : x - y + z - 2 = 0 \).

Question 2 b

2. b) Montrer que \( \Delta = \mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 \).

Les plans sont perpendiculaires, donc non parallèles : leur intersection est une droite. Il suffit de vérifier que tout point de \( \Delta \) appartient aux deux plans. Soit \( M(0\,;\,-2+t\,;\,t) \) un point de \( \Delta \).

Dans l'équation de \( \mathcal{P}_1 \) : \( 2 \times 0 + (-2 + t) - t + 2 = 0 \). Dans celle de \( \mathcal{P}_2 \) : \( 0 - (-2 + t) + t - 2 = 0 \). Les deux égalités sont vraies quel que soit \( t \).

Ainsi la droite \( \Delta \) est contenue dans la droite \( \mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 \) ; deux droites dont l'une est incluse dans l'autre sont confondues.

En conclusion : la droite \( \Delta \) est l'intersection des plans \( \mathcal{P}_1 \) et \( \mathcal{P}_2 \).

3. a) Expression de la distance \( \text{A}M_t \).

Alors, on a \( \overrightarrow{\text{A}M_t}\begin{pmatrix}-1\\t-3\\t-1\end{pmatrix} \), donc dans le repère orthonormé : \( \text{A}M_t^2 = (-1)^2 + (t - 3)^2 + (t - 1)^2 = 1 + t^2 - 6t + 9 + t^2 - 2t + 1 = 2t^2 - 8t + 11 \). Une distance étant positive, on prend la racine carrée.

En conclusion : pour tout réel \( t \), \( \text{A}M_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11} \).

Question 3 b

3. b) En déduire \( \text{AH} = \sqrt{3} \).

Le projeté orthogonal H de A sur \( \Delta \) est le point de \( \Delta \) le plus proche de A : AH est la plus petite des distances \( \text{A}M_t \). La fonction racine carrée étant croissante, il suffit de minimiser le trinôme \( g(t) = 2t^2 - 8t + 11 \).

Par ailleurs, on le met sous forme canonique : \( g(t) = 2(t^2 - 4t) + 11 = 2(t - 2)^2 - 8 + 11 = 2(t - 2)^2 + 3 \). Comme \( 2(t - 2)^2 \geqslant 0 \), on a \( g(t) \geqslant 3 \), avec égalité uniquement pour \( t = 2 \), ce qui correspond au point \( (0\,;\,0\,;\,2) \).

En conclusion : la distance minimale vaut \( \text{AH} = \sqrt{3} \).

4. a) Représentation paramétrique de \( \mathcal{D}_1 \).

La droite \( \mathcal{D}_1 \) est orthogonale à \( \mathcal{P}_1 \), donc le vecteur normal \( \overrightarrow{n_1}(2\,;\,1\,;\,-1) \) la dirige ; elle passe par \( \text{A}(1\,;\,1\,;\,1) \).

En conclusion : \( \mathcal{D}_1 : \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = 1 + s \\ z = 1 - s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R} \).

4. b) Coordonnées de \( \text{H}_1 \).

Le point \( \text{H}_1 \) est à la fois sur \( \mathcal{D}_1 \) (la perpendiculaire à \( \mathcal{P}_1 \) issue de A) et sur \( \mathcal{P}_1 \) : c'est leur point d'intersection. Ensuite, on injecte la représentation paramétrique dans l'équation du plan : \( 2(1 + 2s) + (1 + s) - (1 - s) + 2 = 0 \), soit \( 6s + 4 = 0 \), d'où \( s = -\dfrac{2}{3} \).

Alors, on en déduit \( x = 1 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{1}{3} \), \( y = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \) et \( z = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3} \).

En conclusion : \( \text{H}_1\left(-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{5}{3}\right) \).

Question 5

5. Montrer que \( \text{AH}_1\text{HH}_2 \) est un rectangle.

Méthode : on montre d'abord que c'est un parallélogramme (égalité de deux vecteurs), puis qu'il possède un angle droit (produit scalaire nul).

Parallélogramme. Puis on calcule \( \overrightarrow{\text{AH}_1}\left(-\dfrac{4}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right) \) et \( \overrightarrow{\text{H}_2\text{H}}\left(0 - \dfrac{4}{3}\,;\,0 - \dfrac{2}{3}\,;\,2 - \dfrac{4}{3}\right) = \left(-\dfrac{4}{3}\,;\,-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{2}{3}\right) \). Ces vecteurs sont égaux, donc \( \text{AH}_1\text{HH}_2 \) est un parallélogramme (les points ne sont pas alignés, puisque \( \overrightarrow{\text{AH}_1} \) et \( \overrightarrow{\text{AH}_2} \) ne sont pas colinéaires).

Angle droit en A. Ainsi, on a \( \overrightarrow{\text{AH}_2}\left(\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right) \), d'où \( \overrightarrow{\text{AH}_1} \cdot \overrightarrow{\text{AH}_2} = -\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = 0 \). Les côtés \( [\text{AH}_1] \) et \( [\text{AH}_2] \) sont perpendiculaires, ce qui était prévisible : l'un est dirigé par \( \overrightarrow{n_1} \), l'autre par \( \overrightarrow{n_2} \) (ici \( \overrightarrow{\text{AH}_1} = -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{n_1} \) et \( \overrightarrow{\text{AH}_2} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{n_2} \)), vecteurs orthogonaux d'après la question 1. b.

En conclusion : \( \text{AH}_1\text{HH}_2 \) est un parallélogramme ayant un angle droit, c'est donc un rectangle.

Corrigé de l’exercice 4 5 points

Fonction logarithme composée, limites, dérivée, tangente, convexité, coefficient directeur

1. a) Limite de \( f \) en \( -\infty \).

Alors, on étudie la fonction de l'intérieur vers l'extérieur. Quand \( x \to -\infty \), \( -x \to +\infty \), donc \( \text{e}^{-x} \to +\infty \) et \( 1 + \text{e}^{-x} \to +\infty \). Par composition avec \( \displaystyle\lim_{X \to +\infty} \ln X = +\infty \), on obtient la limite de \( f \).

En conclusion : \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \).

1. b) Limite en \( +\infty \) et interprétation.

Quand \( x \to +\infty \), \( -x \to -\infty \), donc \( \text{e}^{-x} \to 0 \) et \( 1 + \text{e}^{-x} \to 1 \). La fonction \( \ln \) est continue en 1 avec \( \ln(1) = 0 \), donc par composition \( f(x) \to 0 \).

En conclusion : \( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \) ; l'axe des abscisses (droite \( y = 0 \)) est asymptote horizontale à \( \mathcal{C} \) en \( +\infty \).

1. c) Calcul de \( f'(x) \).

Par ailleurs, on écrit \( f = \ln(u) \) avec \( u(x) = 1 + \text{e}^{-x} \), fonction strictement positive et dérivable, de dérivée \( u'(x) = -\text{e}^{-x} \). La formule \( (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \) donne \( f'(x) = \dfrac{-\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}} \).

Pour faire apparaître la forme demandée, on multiplie numérateur et dénominateur par \( \text{e}^{x} \gt 0 \) : \( f'(x) = \dfrac{-\text{e}^{-x} \times \text{e}^{x}}{\text{e}^{x} + \text{e}^{-x} \times \text{e}^{x}} = \dfrac{-1}{\text{e}^{x} + 1} \).

En conclusion : pour tout réel \( x \), \( f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \text{e}^x} \).

Question 1 d

1. d) Tableau de variations.

Pour tout réel \( x \), \( 1 + \text{e}^x \gt 1 \gt 0 \), donc \( f'(x) \lt 0 \) : \( f \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \). Avec les limites trouvées en 1. a et 1. b :

En conclusion : \( f \) décroît strictement de \( +\infty \) vers 0 sur \( \mathbb{R} \) (sans jamais atteindre 0, puisque \( 1 + \text{e}^{-x} \gt 1 \) donne \( f(x) \gt 0 \)).

2. a) Équation de \( T_0 \).

La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \( y = f'(0)(x - 0) + f(0) \). Ensuite, on calcule \( f(0) = \ln(1 + 1) = \ln(2) \) et \( f'(0) = \dfrac{-1}{1 + 1} = -\dfrac{1}{2} \).

En conclusion : \( T_0 : y = -\dfrac{1}{2}x + \ln(2) \).

2. b) Convexité de \( f \).

Alors, on dérive \( f'(x) = -(1 + \text{e}^x)^{-1} \) : \( f''(x) = (1 + \text{e}^x)^{-2} \times \text{e}^x = \dfrac{\text{e}^x}{(1 + \text{e}^x)^2} \). Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc \( f''(x) \gt 0 \) pour tout réel \( x \).

En conclusion : \( f'' \gt 0 \) sur \( \mathbb{R} \), donc \( f \) est convexe sur \( \mathbb{R} \).

Question 2 c

2. c) En déduire \( f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2}x + \ln(2) \).

Une fonction convexe a une courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. C'est en particulier le cas pour la tangente \( T_0 \), dont l'équation a été trouvée en 2. a : pour tout réel \( x \), le point de \( \mathcal{C} \) d'abscisse \( x \) est au-dessus du point de \( T_0 \) de même abscisse.

En conclusion : pour tout réel \( x \), \( f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2}x + \ln(2) \).

3. a) Montrer que \( f(x) - f(-x) = -x \).

Puis on factorise \( \text{e}^{-x} \) dans l'argument de \( f(x) \) : \( 1 + \text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(\text{e}^{x} + 1) \). Avec la propriété \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \) (pour \( a, b \gt 0 \)), on obtient \( f(x) = \ln\left(\text{e}^{-x}\right) + \ln\left(1 + \text{e}^{x}\right) = -x + \ln\left(1 + \text{e}^{x}\right) \).

Or \( f(-x) = \ln\left(1 + \text{e}^{x}\right) \). En soustrayant, les logarithmes s'éliminent : \( f(x) - f(-x) = -x \).

En conclusion : pour tout réel \( x \), \( f(x) - f(-x) = -x \).

3. b) Parallélisme de \( T_0 \) et \( (M_aN_a) \).

Comme \( a \neq 0 \), les abscisses \( -a \) et \( a \) sont différentes, donc la droite \( (M_aN_a) \) n'est pas verticale. Son coefficient directeur vaut \( \dfrac{f(a) - f(-a)}{a - (-a)} = \dfrac{-a}{2a} = -\dfrac{1}{2} \), en utilisant 3. a avec \( x = a \).

La tangente \( T_0 \) a aussi pour coefficient directeur \( -\dfrac{1}{2} \) (question 2. a). Deux droites non verticales de même coefficient directeur sont parallèles.

En conclusion : pour tout réel \( a \) non nul, les droites \( T_0 \) et \( (M_aN_a) \) sont parallèles.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Dans un QCM de probabilités, la formule des probabilités totales permet de remonter à \( P(B \cap G) \) puis à \( P_B(G) \) ; « au moins un » se traite toujours par l'événement contraire.
• Pour \( q^n \gt c \), on passe au logarithme en vérifiant le signe de \( \ln q \) avant de diviser, puis on contrôle les deux entiers voisins.
• Une récurrence avec une fonction croissante \( f \) telle que \( v_{n+1} = f(v_n) \) se rédige en appliquant \( f \) à toute la chaîne d'inégalités, sans oublier de calculer \( f(0) \) et \( f\left(\frac{1}{2}\right) \).
• Une suite croissante est toujours inférieure à sa limite : c'est ce qui permet d'écarter la solution parasite \( \ell = 0 \) et d'expliquer pourquoi une boucle de seuil peut ne jamais s'arrêter.
• Pour montrer qu'un quadrilatère de l'espace est un rectangle : égalité de deux vecteurs (parallélogramme) puis produit scalaire nul (angle droit).
• Convexité : signe de \( f'' \), puis « courbe au-dessus de ses tangentes » pour obtenir une inégalité sans étude de fonction supplémentaire.

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Ce que contient le corrigé du bac 2023, France, jour 2

Le corrigé du bac 2023, France, jour 2 du 21 mars 2023 détaille les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) aborde : probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, loi binomiale. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) porte sur : suite géométrique, logarithme, suite récurrente, raisonnement par récurrence, convergence monotone, algorithme de seuil. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) porte sur : géométrie dans l'espace : vecteurs normaux, plans perpendiculaires, intersection de plans, distance, projeté orthogonal. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : fonction logarithme composée, limites, dérivée, tangente, convexité, coefficient directeur.

Lisez chaque solution en vous demandant pourquoi telle méthode s'impose. En effet, c'est ce raisonnement qui resservira sur un autre sujet. Par ailleurs, refaites seul les calculs les plus longs sans regarder la rédaction.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, France, jour 2

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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