Corrigé du bac de maths 2023 : France, septembre, jour 2

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, France, septembre, jour 2) 5 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec le logarithme

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

L'énoncé donne \(P(I) = 0{,}004\) (0,4 % des vaches sont infectées), \(P_I(T) = 0{,}992\) et \(P_{\overline{I}}(\overline{T}) = 0{,}984\). Les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à 1, ce qui donne les probabilités manquantes :

• \(P(\overline{I}) = 1 - 0{,}004 = 0{,}996\) ;
• \(P_I(\overline{T}) = 1 - 0{,}992 = 0{,}008\) ;
• \(P_{\overline{I}}(T) = 1 - 0{,}984 = 0{,}016\).

L'arbre complété se lit ainsi :

• \(I\) avec la probabilité \(0{,}004\)
  • puis \(T\) avec \(0{,}992\)
  • puis \(\overline{T}\) avec \(0{,}008\)
• \(\overline{I}\) avec la probabilité \(0{,}996\)
  • puis \(T\) avec \(0{,}016\)
  • puis \(\overline{T}\) avec \(0{,}984\)

Probabilités ajoutées : \(0{,}996\) ; \(0{,}992\) et \(0{,}008\) après \(I\) ; \(0{,}016\) et \(0{,}984\) après \(\overline{I}\).

2. a) Probabilité que la vache soit saine et testée négative.

Ensuite, on cherche \(P(\overline{I} \cap \overline{T})\). Sur l'arbre, c'est le produit des probabilités le long du chemin \(\overline{I}\) puis \(\overline{T}\) :

\[P(\overline{I} \cap \overline{T}) = P(\overline{I}) \times P_{\overline{I}}(\overline{T}) = 0{,}996 \times 0{,}984 = 0{,}980\,064.\]

En conclusion : \(P(\overline{I} \cap \overline{T}) \approx 0{,}980\) à \(10^{-3}\) près.

2. b) Montrer que \(P(T) \approx 0{,}020\).

Les évènements \(I\) et \(\overline{I}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, on additionne les deux chemins qui aboutissent à \(T\) :

\[P(T) = P(I)\,P_I(T) + P(\overline{I})\,P_{\overline{I}}(T) = 0{,}004 \times 0{,}992 + 0{,}996 \times 0{,}016.\]

Alors, on obtient \(0{,}003\,968 + 0{,}015\,936 = 0{,}019\,904\).

En conclusion : \(P(T) = 0{,}019\,904 \approx 0{,}020\) à \(10^{-3}\) près.

2. c) Valeur prédictive positive du test.

Il s'agit de la probabilité conditionnelle \(P_T(I)\) : on sait que le test est positif et on veut la probabilité que la vache soit réellement infectée. Par définition,

\[P_T(I) = \frac{P(I \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}004 \times 0{,}992}{0{,}019\,904} = \frac{0{,}003\,968}{0{,}019\,904} \approx 0{,}199\,36.\]

Puis on utilise ici la valeur exacte de \(P(T)\) trouvée à la question précédente. Si l'on divise par la valeur arrondie \(0{,}02\), on trouve \(0{,}198\,4\), soit \(0{,}198\) : l'écart vient uniquement de l'arrondi intermédiaire, d'où l'intérêt de garder les valeurs exactes jusqu'au bout.

Ce résultat est frappant : moins d'une vache testée positive sur cinq est réellement malade. La maladie étant rare (0,4 %), les faux positifs parmi les nombreuses vaches saines pèsent plus lourd que les vrais positifs.

En conclusion : la valeur prédictive positive vaut \(P_T(I) \approx 0{,}199\) à \(10^{-3}\) près.

Question 2 d

2. d) Probabilité d'une information erronée.

L'information est erronée dans deux cas incompatibles : vache saine testée positive (\(\overline{I} \cap T\)) ou vache infectée testée négative (\(I \cap \overline{T}\)). Les deux évènements étant disjoints, leurs probabilités s'ajoutent :

\[P(\overline{I} \cap T) + P(I \cap \overline{T}) = 0{,}996 \times 0{,}016 + 0{,}004 \times 0{,}008 = 0{,}015\,936 + 0{,}000\,032 = 0{,}015\,968.\]

En conclusion : le test se trompe avec une probabilité d'environ \(0{,}016\) à \(10^{-3}\) près.

Partie B

3. a) Loi de \(X\) et ses paramètres.

Pour chaque vache de l'échantillon, on observe une épreuve à deux issues : « test positif », considéré comme le succès, de probabilité \(p = 0{,}02\), ou « test négatif ». Le choix de l'échantillon étant assimilé à un tirage avec remise, les 100 épreuves sont identiques et indépendantes : c'est un schéma de Bernoulli. \(X\) compte le nombre de succès parmi ces 100 épreuves.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100\,;\,0{,}02)\).

3. b) Probabilité d'exactement 3 tests positifs.

La formule de la loi binomiale donne

\[P(X = 3) = \binom{100}{3} \times 0{,}02^{3} \times 0{,}98^{97}.\]

Avec \(\binom{100}{3} = 161\,700\), la calculatrice fournit \(P(X=3) \approx 0{,}182\,28\).

En conclusion : \(P(X = 3) \approx 0{,}182\) à \(10^{-3}\) près.

3. c) Probabilité d'au plus 3 tests positifs.

« Au plus 3 » signifie \(X \leqslant 3\), c'est-à-dire \(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\). Ensuite, on utilise la fonction de répartition de la loi binomiale de la calculatrice (paramètres 100 et 0,02, borne 3) : \(P(X \leqslant 3) \approx 0{,}858\,96\).

En conclusion : \(P(X \leqslant 3) \approx 0{,}859\) à \(10^{-3}\) près.

4. Taille minimale \(n\) pour avoir au moins un test positif avec une probabilité d'au moins 0,99.

Notons \(Y\) le nombre de vaches testées positives dans un échantillon de \(n\) vaches. Par le même raisonnement qu'en 3. a), \(Y\) suit la loi \(\mathcal{B}(n\,;\,0{,}02)\).

Ensuite, on passe par l'évènement contraire : « au moins une vache positive » est le contraire de « aucune vache positive ». Donc \(P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0{,}98^{n}\).

Puis on résout alors :

\[1 - 0{,}98^{n} \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}98^{n} \leqslant 0{,}01 \iff n \ln(0{,}98) \leqslant \ln(0{,}01).\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), ce qui justifie le passage au logarithme sans changer le sens. Comme \(\ln(0{,}98) \lt 0\) (car \(0{,}98 \lt 1\)), la division par ce nombre inverse l'inégalité :

\[n \geqslant \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}98)} \approx 227{,}95.\]

Vérification : \(0{,}98^{227} \approx 0{,}010\,19 \gt 0{,}01\) tandis que \(0{,}98^{228} \approx 0{,}009\,99 \leqslant 0{,}01\).

En conclusion : il faut prélever au minimum \(n = 228\) vaches.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, France, septembre, jour 2) 5 points

Fonction logarithme, lecture graphique de la dérivée, limites, dérivée d'un produit, variations, convexité et point d'inflexion

1. a) Coefficient directeur de la tangente à \(C\) au point d'abscisse 1.

Le coefficient directeur de la tangente à \(C\) au point d'abscisse \(a\) est le nombre dérivé \(f'(a)\). Il suffit donc de lire l'ordonnée du point de \(C'\) d'abscisse 1 : la courbe rouge passe à la hauteur 2 pour \(x = 1\).

En conclusion : le coefficient directeur vaut environ \(f'(1) \approx 2\).

1. b) Plus grand intervalle de convexité, lu sur le graphique.

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle exactement lorsque sa dérivée \(f'\) y est croissante. Sur le graphique, \(C'\) descend jusqu'au point où elle touche sa tangente horizontale (T), d'abscisse voisine de 7,4, puis remonte jusqu'au bout du tracé.

En conclusion : graphiquement, \(f\) est convexe sur \([7{,}4\,;\,+\infty[\) environ.

2. a) Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\), donc \(2 - \ln x\) tend vers \(-\infty\). Le produit d'un facteur tendant vers \(-\infty\) par un facteur tendant vers \(+\infty\) tend vers \(-\infty\) (règle des signes sur les limites de produits).

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

2. b) Limite de \(f\) en 0 et interprétation.

Quand \(x\) tend vers 0 (avec \(x \gt 0\)), \(\ln x\) tend vers \(-\infty\), donc \(2 - \ln x\) tend vers \(+\infty\). Le produit d'un facteur tendant vers \(+\infty\) par un facteur tendant vers \(-\infty\) tend vers \(-\infty\).

Graphiquement, lorsque \(x\) se rapproche de 0, les points de \(C\) descendent indéfiniment le long de l'axe des ordonnées.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty\), donc la droite d'équation \(x = 0\) (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(C\).

Question 3

3. Points d'intersection de \(C\) avec l'axe des abscisses.

Un point de \(C\) est sur l'axe des abscisses lorsque son ordonnée est nulle : on résout \(f(x) = 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

\[(2 - \ln x)\ln x = 0 \iff \ln x = 2 \ \text{ou}\ \ln x = 0 \iff x = \text{e}^{2} \ \text{ou}\ x = 1.\]

Les deux valeurs appartiennent bien à \(]0\,;\,+\infty[\) et sont distinctes ; l'équation n'a pas d'autre solution, donc il y a exactement deux points d'intersection.

En conclusion : \(C\) coupe l'axe des abscisses aux points \((1\,;\,0)\) et \((\text{e}^{2}\,;\,0)\), avec \(\text{e}^{2} \approx 7{,}39\).

4. a) Calcul de \(f'(x)\).

Ensuite, on dérive le produit \(u \times v\) avec \(u(x) = 2 - \ln x\) et \(v(x) = \ln x\), d'où \(u'(x) = -\dfrac{1}{x}\) et \(v'(x) = \dfrac{1}{x}\). La formule \((uv)' = u'v + uv'\) donne :

\[f'(x) = -\frac{1}{x}\ln x + (2 - \ln x)\frac{1}{x} = \frac{-\ln x + 2 - \ln x}{x} = \frac{2 - 2\ln x}{x}.\]

En factorisant le numérateur par 2 :

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}\).

4. b) Tableau de variations de \(f\).

Sur \(]0\,;\,+\infty[\), le dénominateur \(x\) est strictement positif, donc \(f'(x)\) a le signe de \(1 - \ln x\). Or \(1 - \ln x \gt 0 \iff \ln x \lt 1 \iff x \lt \text{e}\), par stricte croissance de \(\ln\). Ainsi \(f'\) est positive sur \(]0\,;\,\text{e}[\), nulle en \(\text{e}\), négative sur \(]\text{e}\,;\,+\infty[\).

Valeur du maximum : \(f(\text{e}) = (2 - \ln \text{e}) \times \ln \text{e} = (2-1) \times 1 = 1\). Les limites aux bornes viennent de la question 2.

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,\text{e}]\), strictement décroissante sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\), avec un maximum égal à 1 atteint en \(x = \text{e}\).

Question 5

5. Convexité par le calcul et point d'inflexion.

\(f\) est convexe là où \(f''(x) \geqslant 0\). Comme \(x^{2} \gt 0\) et \(2 \gt 0\), \(f''(x)\) a le signe de \(\ln x - 2\) :

\[f''(x) \geqslant 0 \iff \ln x \geqslant 2 \iff x \geqslant \text{e}^{2}.\]

Donc \(f''\) est négative sur \(]0\,;\,\text{e}^{2}]\) (\(f\) concave) et positive sur \([\text{e}^{2}\,;\,+\infty[\) (\(f\) convexe). La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en \(x = \text{e}^{2}\) : la courbe traverse sa tangente en ce point, qui est un point d'inflexion. Son ordonnée est \(f(\text{e}^{2}) = (2 - 2) \times 2 = 0\), ce qui rejoint la question 3.

Par ailleurs, on retrouve la lecture graphique de la question 1. b), puisque \(\text{e}^{2} \approx 7{,}39\) : c'est l'abscisse du point de contact de (T) avec \(C'\).

En conclusion : \(f\) est convexe sur \([\text{e}^{2}\,;\,+\infty[\) et le point d'inflexion de \(C\) est \((\text{e}^{2}\,;\,0)\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, France, septembre, jour 2) 5 points

Suite définie par récurrence, algorithme en Python, monotonie, convergence monotone, raisonnement par récurrence, croissances comparées

1. Valeurs exactes de \(u_2\) et \(u_3\).

Puis on applique la relation de récurrence avec \(n = 1\), puis avec \(n = 2\) :

\[u_{2} = \frac{1}{\text{e}}\left(1 + \frac{1}{1}\right) u_{1} = \frac{1}{\text{e}} \times 2 \times \frac{1}{\text{e}} = \frac{2}{\text{e}^{2}},\]

\[u_{3} = \frac{1}{\text{e}}\left(1 + \frac{1}{2}\right) u_{2} = \frac{1}{\text{e}} \times \frac{3}{2} \times \frac{2}{\text{e}^{2}} = \frac{3}{\text{e}^{3}}.\]

En conclusion : \(u_{2} = \dfrac{2}{\text{e}^{2}}\) et \(u_{3} = \dfrac{3}{\text{e}^{3}}\).

2. Compléter les lignes \(L_2\) et \(L_4\).

La ligne \(L_2\) doit initialiser la variable u avec le premier terme \(u_1 = \frac{1}{\text{e}}\). Dans la boucle, i prend les valeurs 1, 2, …, \(n-1\) : à chaque passage, on remplace \(u_i\) par \(u_{i+1} = \frac{1}{\text{e}}\left(1 + \frac{1}{i}\right)u_i\). Après \(n - 1\) passages, u contient \(u_n\). Pour disposer de e, on importe la fonction exp du module math.

from math import exp
def suite(n):
    u = 1 / exp(1)
    for i in range(1, n):
        u = 1 / exp(1) * (1 + 1 / i) * u
    return u

Par exemple, suite(3) renvoie environ 0,149 4, valeur approchée de \(\frac{3}{\text{e}^{3}}\).

En conclusion : \(L_2\) : u = 1/exp(1) et \(L_4\) : u = 1/exp(1)*(1+1/i)*u.

3. a) Montrer que \(1 + \frac{1}{n} \leqslant \text{e}\).

Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a \(0 \lt \frac{1}{n} \leqslant 1\), donc \(1 + \frac{1}{n} \leqslant 2\). Comme \(\text{e} \approx 2{,}718\), on a \(2 \lt \text{e}\), et par transitivité :

En conclusion : pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(1 + \dfrac{1}{n} \leqslant 2 \lt \text{e}\).

Question 3 b

3. b) En déduire que \((u_n)\) est décroissante.

En divisant l'inégalité précédente par \(\text{e} \gt 0\), on obtient \(\frac{1}{\text{e}}\left(1 + \frac{1}{n}\right) \leqslant 1\). Par ailleurs, on multiplie ensuite par \(u_n\), qui est strictement positif, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

\[u_{n+1} = \frac{1}{\text{e}}\left(1 + \frac{1}{n}\right) u_n \leqslant u_n.\]

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(u_{n+1} \leqslant u_n\) : la suite \((u_n)\) est décroissante.

3. c) La suite est-elle convergente ?

Tous les termes sont strictement positifs, donc la suite est minorée par 0. Elle est aussi décroissante d'après 3. b). Le théorème de convergence monotone affirme qu'une suite décroissante et minorée converge.

En conclusion : oui, \((u_n)\) est convergente (vers une limite positive ou nulle).

4. a) Démontrer par récurrence que \(u_n = \frac{n}{\text{e}^{n}}\).

Pour tout entier \(n \geqslant 1\), notons \(\mathcal{H}_n\) la propriété « \(u_n = \frac{n}{\text{e}^{n}}\) ».

Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(\frac{1}{\text{e}^{1}} = \frac{1}{\text{e}} = u_1\). La propriété \(\mathcal{H}_1\) est vraie.

Hérédité. Soit \(k \geqslant 1\) un entier tel que \(\mathcal{H}_k\) soit vraie, c'est-à-dire \(u_k = \frac{k}{\text{e}^{k}}\). Alors, en écrivant \(1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}\) :

\[u_{k+1} = \frac{1}{\text{e}} \times \frac{k+1}{k} \times \frac{k}{\text{e}^{k}} = \frac{k+1}{\text{e}^{k+1}},\]

après simplification par \(k\). La propriété \(\mathcal{H}_{k+1}\) est donc vraie.

Conclusion de la récurrence. \(\mathcal{H}_1\) est vraie et \(\mathcal{H}\) est héréditaire à partir du rang 1 ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier \(n \geqslant 1\).

En conclusion : pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(u_n = \dfrac{n}{\text{e}^{n}}\).

Question 4 b

4. b) Limite de la suite.

Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{\text{e}^{n}}{n} = +\infty\). Le quotient \(u_n = \frac{n}{\text{e}^{n}}\) est l'inverse de cette expression, il tend donc vers 0. Cela confirme la convergence obtenue en 3. c) et précise sa limite.

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).

Corrigé de l’exercice 4 5 points

Géométrie dans l'espace : équation de plan, produit scalaire, vecteur normal et vecteur directeur, position relative de droites et plans

1. Quel point appartient au plan \(\mathcal{P}\) ?

Alors, on remplace les coordonnées de chaque point dans \(3x + 2y + z - 4\) et on cherche celui qui donne 0 :

• \(R\) : \(3 - 6 + 1 - 4 = -6\) ;
• \(S\) : \(3 + 4 - 1 - 4 = 2\) ;
• \(T\) : \(3 + 0 + 1 - 4 = 0\) ;
• \(U\) : \(6 - 2 + 1 - 4 = 1\).

Réponse c : \(T(1\,;\,0\,;\,1)\) appartient à \(\mathcal{P}\).

2. Nature du triangle ABC.

Puis on calcule \(\overrightarrow{\text{AB}}(2\,;\,0\,;\,4)\), \(\overrightarrow{\text{AC}}(2\,;\,2\,;\,-1)\) et \(\overrightarrow{\text{BC}}(0\,;\,2\,;\,-5)\).

Produit scalaire : \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 2 \times 2 + 0 \times 2 + 4 \times (-1) = 0\), donc le triangle est rectangle en A.

Longueurs : \(\text{AB}^{2} = 4 + 0 + 16 = 20\), \(\text{AC}^{2} = 4 + 4 + 1 = 9\), \(\text{BC}^{2} = 0 + 4 + 25 = 29\). Les trois longueurs sont différentes (\(\sqrt{20}\), 3 et \(\sqrt{29}\)), donc le triangle n'est pas isocèle. Ensuite, on vérifie au passage Pythagore : \(20 + 9 = 29\).

Réponse d : ABC est rectangle non isocèle.

3. Position de la droite \(\Delta\) par rapport à \(\mathcal{P}\).

Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\overrightarrow{v}(-1\,;\,0\,;\,3)\), lu sur les coefficients de \(t\), et un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\overrightarrow{n}(3\,;\,2\,;\,1)\), lu sur les coefficients de l'équation. Alors, on a \(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} = -3 + 0 + 3 = 0\) : la droite est parallèle au plan (ou contenue dedans). Cela élimine les réponses a et b.

Pour trancher, on teste un point de \(\Delta\) : pour \(t = 0\), on obtient \(K(1\,;\,2\,;\,-4)\), et \(3 + 4 - 4 - 4 = -1 \neq 0\). Le point \(K\) n'est pas dans \(\mathcal{P}\), donc \(\Delta\) n'est pas incluse dans \(\mathcal{P}\).

Réponse d : \(\Delta\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\).

Question 4

4. Mesure de l'angle \(\widehat{\text{ABC}}\).

Puis on utilise \(\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = \text{BA} \times \text{BC} \times \cos \widehat{\text{ABC}}\), avec \(\text{BA} = \sqrt{20}\) et \(\text{BC} = \sqrt{29}\) (question 2) :

\[\cos \widehat{\text{ABC}} = \frac{20}{\sqrt{20} \times \sqrt{29}} = \frac{20}{\sqrt{580}} \approx 0{,}830.\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{ABC}} \approx 33{,}85^{\circ}\). Par ailleurs, on pouvait aussi raisonner sans calcul : le triangle est rectangle en A, donc l'angle en B est aigu et non nul, ce qui exclut 120°, 90° et 0°.

Réponse a : \(\widehat{\text{ABC}} \approx 34^{\circ}\).

5. Intersection des plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\).

Un vecteur normal à \(\mathcal{Q}\) est \(\overrightarrow{n'}(-6\,;\,-4\,;\,-2)\), et \(\overrightarrow{n'} = -2\,\overrightarrow{n}\) : les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. Ils sont confondus seulement si un point de l'un appartient à l'autre. Le point \(T(1\,;\,0\,;\,1)\) est dans \(\mathcal{P}\) (question 1), mais \(-6 - 0 - 2 + 7 = -1 \neq 0\) : il n'est pas dans \(\mathcal{Q}\). Autre façon de voir : l'équation de \(\mathcal{Q}\) équivaut à \(3x + 2y + z - 3{,}5 = 0\), qui ne diffère de celle de \(\mathcal{P}\) que par la constante.

Réponse b : les plans sont strictement parallèles, leur intersection est l'ensemble vide.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Dans un test de dépistage, la valeur prédictive positive \(P_T(I)\) se calcule avec \(P(I \cap T)\) divisé par \(P(T)\) obtenue par les probabilités totales ; gardez les valeurs exactes pour ne pas fausser l'arrondi.
• « Au moins un » se traite par l'évènement contraire : \(1 - (1-p)^{n}\), puis on passe au logarithme en pensant à inverser l'inégalité quand on divise par \(\ln(0{,}98) \lt 0\).
• La courbe de \(f'\) renseigne sur \(f\) : son ordonnée donne la pente des tangentes, ses variations donnent la convexité de \(f\), son minimum signale un point d'inflexion.
• Pour étudier le signe d'une dérivée comme \(\frac{2(1-\ln x)}{x}\), isolez le facteur qui change de signe : le dénominateur positif ne compte pas.
• Suite décroissante et minorée : convergente ; la formule explicite \(\frac{n}{\text{e}^{n}}\) et les croissances comparées donnent ensuite la limite 0.
• En géométrie, droite et plan parallèles se reconnaissent à \(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} = 0\) ; un seul point testé distingue « inclus » de « strictement parallèle ».

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Présentation du corrigé du bac 2023, France, septembre, jour 2

Le corrigé du bac 2023, France, septembre, jour 2 du 12 septembre 2023 explique les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec le logarithme. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) aborde : fonction logarithme, lecture graphique de la dérivée, limites, dérivée d'un produit, variations, convexité et point d'inflexion. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) traite : suite définie par récurrence, algorithme en Python, monotonie, convergence monotone, raisonnement par récurrence, croissances comparées. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) porte sur : géométrie dans l'espace : équation de plan, produit scalaire, vecteur normal et vecteur directeur, position relative de droites et plans.

Pour tirer profit de cette correction, traitez d'abord le sujet en temps limité. Puis corrigez-vous au stylo d'une autre couleur, question par question. Ainsi, vous repérez vite les chapitres à retravailler.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, France, septembre, jour 2

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. Pour une question de géométrie dans l'espace, faites un croquis même approximatif. En effet, il aide à voir si un point, une droite ou un plan est bien placé.

Pour travailler dans l'ordre, ouvrez d'abord l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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