Corrigé du bac de maths 2023 : Centres étrangers, jour 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Fonction logarithme, limites, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, fonction auxiliaire, position relative de deux courbes

Partie A

1. Limites de \(g\) en 0 et en \(+\infty\).

Pour \(x \gt 0\), la propriété \(\ln(a^n) = n\ln a\) permet d'écrire \(g(x) = 2\ln x + x - 2\), ce qui simplifie l'étude.

En 0 (par valeurs positives) : \(\lim\limits_{x \to 0} \ln x = -\infty\), donc \(2\ln x \to -\infty\), tandis que \(x - 2 \to -2\). Par somme, \(\lim\limits_{x \to 0} g(x) = -\infty\).

En \(+\infty\) : \(2\ln x \to +\infty\) et \(x - 2 \to +\infty\). Par somme, \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

En conclusion : \(\lim\limits_{x \to 0} g(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).

2. Variations de \(g\).

Ensuite, on dérive terme à terme la forme \(g(x) = 2\ln x + x - 2\) :

\[g'(x) = \dfrac{2}{x} + 1 = \dfrac{x + 2}{x}.\]

Sur \(]0\,;\,+\infty[\), le dénominateur \(x\) est strictement positif et le numérateur \(x + 2\) aussi (il dépasse 2). Donc \(g'(x) \gt 0\) pour tout \(x \gt 0\).

En conclusion : \(g\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).

3. a. Existence et unicité de \(\alpha\).

Alors, on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) sur \(]0\,;\,+\infty[\) :

• \(g\) est dérivable, donc continue, sur cet intervalle ;
• \(g\) y est strictement croissante (question 2) ;
• ses limites aux bornes sont \(-\infty\) et \(+\infty\) (question 1), et 0 est compris entre les deux.

L'équation \(g(x) = 0\) admet donc exactement une solution sur \(]0\,;\,+\infty[\).

En conclusion : il existe un unique réel \(\alpha \gt 0\) tel que \(g(\alpha) = 0\).

Question 3 b

3. b. Encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\).

Ensuite, on procède par balayage à la calculatrice (tableau de valeurs de \(g\)), en réduisant le pas :

Comme \(g(1{,}37) \lt 0 \lt g(1{,}38)\) et que \(g\) est strictement croissante, la valeur qui annule \(g\) se trouve entre ces deux nombres. Attention : \(g(1{,}37)\) est très proche de 0, il faut bien vérifier son signe (négatif).

En conclusion : \(1{,}37 \lt \alpha \lt 1{,}38\) (en fait \(\alpha \approx 1{,}3702\)).

4. Tableau de signe de \(g\).

Puisque \(g\) est strictement croissante et s'annule en \(\alpha\), elle est négative avant \(\alpha\) et positive après :

En conclusion : \(g(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(g(\alpha) = 0\) et \(g(x) \gt 0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\).

Partie B

1. a. Limite de \(f\) en 0.

Par ailleurs, on regarde les deux facteurs de \(f(x) = \dfrac{x-2}{x} \times \ln x\) quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives.

Le numérateur \(x - 2\) tend vers \(-2\) et le dénominateur \(x\) tend vers \(0^+\) : le quotient \(\dfrac{x-2}{x}\) tend vers \(-\infty\). De plus \(\ln x \to -\infty\). Le produit de deux facteurs tendant vers \(-\infty\) tend vers \(+\infty\).

En conclusion : \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty\).

1. b. Interprétation graphique.

Une limite infinie en un réel fini traduit l'existence d'une asymptote verticale.

En conclusion : la droite d'équation \(x = 0\) (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).

2. Limite de \(f\) en \(+\infty\).

Pour lever l'indétermination du quotient, on le décompose : \(\dfrac{x-2}{x} = 1 - \dfrac{2}{x}\). Comme \(\dfrac{2}{x} \to 0\), ce quotient tend vers 1. Par ailleurs \(\ln x \to +\infty\). Par produit, \(f(x)\) tend vers \(+\infty\).

En conclusion : \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

3. Montrer que \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\).

Le plus simple est de développer d'abord : \(f(x) = \left(1 - \dfrac{2}{x}\right)\ln x = \ln x - \dfrac{2\ln x}{x}\).

La dérivée de \(\ln x\) est \(\dfrac{1}{x}\). Pour \(\dfrac{\ln x}{x}\), la formule du quotient donne \(\dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\). Donc :

\[f'(x) = \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x}{x^2} + \dfrac{-2 + 2\ln x}{x^2} = \dfrac{2\ln x + x - 2}{x^2}.\]

Or \(2\ln x = \ln(x^2)\) pour \(x \gt 0\), donc le numérateur est exactement \(g(x)\).

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\).

Question 4

4. Variations de \(f\).

Comme \(x^2 \gt 0\), \(f'(x)\) a le même signe que \(g(x)\), déjà connu grâce à la partie A, question 4 :

En conclusion : \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,\alpha]\) et strictement croissante sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) ; elle atteint son minimum en \(\alpha\).

Partie C

Position relative de \(\mathcal{C}_f\) et de la courbe de \(\ln\).

Méthode classique : on étudie le signe de la différence \(d(x) = f(x) - \ln x\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). En mettant \(\ln x\) en facteur :

\[d(x) = \ln x \left(\dfrac{x-2}{x} - 1\right) = \ln x \times \dfrac{x - 2 - x}{x} = -\dfrac{2\ln x}{x}.\]

Le facteur \(-\dfrac{2}{x}\) est strictement négatif sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc \(d(x)\) est du signe contraire de \(\ln x\) :

Là où \(d(x) \gt 0\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de celle de \(\ln\) ; là où \(d(x) \lt 0\), elle est en dessous. Pour \(x = 1\), \(f(1) = \ln 1 = 0\) : les deux courbes se coupent au point de coordonnées \((1\,;\,0)\).

En conclusion : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la courbe de \(\ln\) sur \(]0\,;\,1[\), les deux courbes se coupent au point \((1\,;\,0)\), et \(\mathcal{C}_f\) est en dessous sur \(]1\,;\,+\infty[\).

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Arbres pondérés, probabilités totales, probabilité conditionnelle, suite arithmético-géométrique, raisonnement par récurrence, limite de suite géométrique

1. Compléter l'arbre des jours 2 et 3.

Ensuite, on traduit l'énoncé : après un jour en transports, \(P_{T_n}(T_{n+1}) = 0{,}8\) donc \(P_{T_n}(V_{n+1}) = 0{,}2\) ; après un jour à vélo, \(P_{V_n}(V_{n+1}) = 0{,}4\) donc \(P_{V_n}(T_{n+1}) = 0{,}6\). Le jour 1 étant certain (\(T_1\)), les branches issues de \(T_1\) portent 0,8 et 0,2.

• \(T_1\) → \(T_2\) : 0,8
  • \(T_2\) → \(T_3\) : 0,8
  • \(T_2\) → \(V_3\) : 0,2
• \(T_1\) → \(V_2\) : 0,2
  • \(V_2\) → \(T_3\) : 0,6
  • \(V_2\) → \(V_3\) : 0,4

En conclusion : branches \(0{,}8\) / \(0{,}2\) au premier niveau ; \(0{,}8\) / \(0{,}2\) après \(T_2\) et \(0{,}6\) / \(0{,}4\) après \(V_2\).

2. Calculer \(p_3\).

\(T_2\) et \(V_2\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne :

\[p_3 = P(T_2 \cap T_3) + P(V_2 \cap T_3) = 0{,}8 \times 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}64 + 0{,}12.\]

En conclusion : \(p_3 = 0{,}76\).

3. Sachant \(V_3\), probabilité de \(T_2\).

Puis on cherche \(P_{V_3}(T_2)\) : le conditionnement est « à l'envers » de l'arbre, on revient donc à la définition \(P_{V_3}(T_2) = \dfrac{P(T_2 \cap V_3)}{P(V_3)}\).

Le chemin \(T_2\) puis \(V_3\) donne \(P(T_2 \cap V_3) = 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16\). L'évènement \(V_3\) est le contraire de \(T_3\), donc \(P(V_3) = 1 - 0{,}76 = 0{,}24\).

\[P_{V_3}(T_2) = \dfrac{0{,}16}{0{,}24} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}.\]

En conclusion : la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille vaut \(\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\).

Question 4

4. Compléter l'arbre des jours \(n\) et \(n+1\).

La branche \(V_n\) porte la probabilité contraire \(1 - p_n\) ; les probabilités conditionnelles ne dépendent pas du jour.

• \(T_n\) : \(p_n\)
  • \(T_n\) → \(T_{n+1}\) : 0,8
  • \(T_n\) → \(V_{n+1}\) : 0,2
• \(V_n\) : \(1 - p_n\)
  • \(V_n\) → \(T_{n+1}\) : 0,6
  • \(V_n\) → \(V_{n+1}\) : 0,4

En conclusion : \(P(V_n) = 1 - p_n\) ; branches \(0{,}8\) / \(0{,}2\) après \(T_n\), \(0{,}6\) / \(0{,}4\) après \(V_n\).

5. Relation \(p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6\).

Ensuite, on applique à nouveau les probabilités totales avec la partition \(\{T_n, V_n\}\) :

\[p_{n+1} = P(T_n \cap T_{n+1}) + P(V_n \cap T_{n+1}) = 0{,}8\,p_n + 0{,}6\,(1 - p_n).\]

En développant : \(0{,}8p_n + 0{,}6 - 0{,}6p_n = 0{,}2p_n + 0{,}6\).

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6\).

6. Récurrence : \(p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}\).

Notons \(\mathcal{H}_n\) la propriété « \(p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}\) ».

Initialisation (\(n = 1\)) : \(0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{0} = 0{,}75 + 0{,}25 = 1 = p_1\). \(\mathcal{H}_1\) est vraie.

Hérédité : on suppose \(\mathcal{H}_n\) vraie pour un entier \(n \geqslant 1\) fixé. D'après la question 5 :

\[p_{n+1} = 0{,}2\left(0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}\right) + 0{,}6 = 0{,}15 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n} + 0{,}6 = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{(n+1)-1}.\]

L'étape clé est \(0{,}2 \times 0{,}2^{n-1} = 0{,}2^{n}\). La propriété \(\mathcal{H}_{n+1}\) est donc vraie.

Conclusion : vraie au rang 1 et héréditaire, la propriété est vraie pour tout entier \(n \geqslant 1\) d'après le principe de récurrence.

En conclusion : pour tout \(n \geqslant 1\), \(p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}\).

Question 7

7. Limite de \((p_n)\) et interprétation.

La raison 0,2 vérifie \(-1 \lt 0{,}2 \lt 1\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}2^{n-1} = 0\). Par produit par 0,25 puis somme avec 0,75, la suite converge vers 0,75.

Interprétation : à long terme, la probabilité que Monsieur Durand prenne les transports en commun un jour donné se stabilise vers 0,75, soit environ trois matins sur quatre ; il prend son vélo environ un matin sur quatre.

En conclusion : \(\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = 0{,}75\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, Centres étrangers, jour 1) 5 points

QCM : primitive par dérivation, ensemble de définition d'un logarithme, convexité par la dérivée seconde, limite et minorant, suite définie par récurrence

1. Primitive de \(x\text{e}^x\).

Plutôt que de chercher la primitive, on dérive les propositions. Avec \(F(x) = (x-1)\text{e}^x\), la dérivée d'un produit donne \(F'(x) = 1 \times \text{e}^x + (x-1)\text{e}^x = x\text{e}^x\). Par ailleurs, on peut éliminer c : la dérivée de \((x+1)\text{e}^x\) vaut \((x+2)\text{e}^x\).

Réponse b : \(F(x) = (x-1)\text{e}^x\).

2. Ensemble de définition de \(g(x) = \ln\left(\dfrac{x-1}{2x+4}\right)\).

Il faut \(2x + 4 \neq 0\) et \(\dfrac{x-1}{2x+4} \gt 0\). Ensuite, on dresse le tableau de signes : \(x - 1\) s'annule en 1, \(2x + 4\) s'annule en \(-2\). Le quotient est strictement positif quand les deux facteurs ont le même signe, c'est-à-dire pour \(x \lt -2\) (tous deux négatifs) ou \(x \gt 1\) (tous deux positifs). Par exemple, \(x = 0\) donne \(-\dfrac{1}{4} \lt 0\), ce qui exclut les propositions \(\mathbb{R}\), \(]-2\,;\,+\infty[\) et \(]-2\,;\,1[\), qui contiennent toutes 0.

Réponse c : \(]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[\) (dans le sujet, la lettre c est imprimée deux fois : il s'agit de la proposition de la colonne de droite, la première ligne).

3. Convexité de \(h(x) = (x+1)\text{e}^x\).

Ensuite, on dérive deux fois : \(h'(x) = \text{e}^x + (x+1)\text{e}^x = (x+2)\text{e}^x\), puis \(h''(x) = \text{e}^x + (x+2)\text{e}^x = (x+3)\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^x \gt 0\), \(h''(x)\) a le signe de \(x + 3\) : négatif sur \(]-\infty\,;\,-3]\) (\(h\) concave), positif sur \([-3\,;\,+\infty[\) (\(h\) convexe).

Réponse d : concave sur \(]-\infty\,;\,-3]\) et convexe sur \([-3\,;\,+\infty[\).

Question 4

4. Suite minorée par 3 et convergente.

Pour tout \(n\), \(u_n \geqslant 3\) ; le passage à la limite conserve les inégalités larges, donc \(\ell \geqslant 3\). Les autres propositions sont fausses en général : la suite \(u_n = 4 + \dfrac{1}{n+1}\) est minorée par 3, converge vers \(4 \neq 3\), et n'est pas constante à partir d'un certain rang ; la suite \(u_n = 4 - \dfrac{1}{n+1}\) converge aussi mais est croissante.

Réponse b : \(\ell \geqslant 3\).

5. Suite \(w_{n+1} = \dfrac{1}{n}w_n\) avec \(w_1 = 2\).

Calculons les premiers termes : \(w_2 = \dfrac{1}{1} \times 2 = 2\), \(w_3 = \dfrac{1}{2} \times 2 = 1\), \(w_4 = \dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{1}{3}\), \(w_5 = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}\). Donc c est fausse. Le quotient \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = \dfrac{1}{n}\) n'est pas constant : a est fausse.

En multipliant les relations de proche en proche, on obtient \(w_n = \dfrac{2}{(n-1)!}\) pour \(n \geqslant 1\) (où \(k! = 1 \times 2 \times \cdots \times k\) et \(0! = 1\)). Plus simplement : pour \(n \geqslant 2\), \(0 \lt w_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}w_n\), donc \(0 \lt w_n \leqslant 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}\) pour \(n \geqslant 2\), et le théorème des gendarmes donne \(\lim w_n = 0\).

Réponse d : la suite \((w_n)\) converge vers 0.

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2023, Centres étrangers, jour 1) 5 points

Géométrie dans l'espace : vecteurs colinéaires, produit scalaire, vecteur normal, équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan

1. A, B, C définissent un plan.

Il suffit de prouver que les trois points ne sont pas alignés, c'est-à-dire que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.

\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1)\\-2-(-3)\\6-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1-(-1)\\2-(-3)\\-4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}.\]

Si l'on avait \(\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}\), la première coordonnée imposerait \(k = \dfrac{1}{2}\) et la deuxième \(k = 5\) : c'est impossible.

En conclusion : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, A, B, C ne sont pas alignés et définissent un plan \(\mathcal{P}\).

2. a. \(\overrightarrow{n}\) est normal à \(\mathcal{P}\).

Un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Alors, on calcule les produits scalaires dans le repère orthonormé :

\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 13 \times 4 + (-16) \times 1 + (-9) \times 4 = 52 - 16 - 36 = 0,\]

\[\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 13 \times 2 + (-16) \times 5 + (-9) \times (-6) = 26 - 80 + 54 = 0.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\), non colinéaires : il est normal au plan \(\mathcal{P}\).

2. b. Équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).

Puisque \(\overrightarrow{n}(13\,;\,-16\,;\,-9)\) est normal à \(\mathcal{P}\), ce plan a une équation de la forme \(13x - 16y - 9z + d = 0\). Par ailleurs, on détermine \(d\) avec le point A, qui appartient au plan :

\[13 \times (-1) - 16 \times (-3) - 9 \times 2 + d = 0 \iff -13 + 48 - 18 + d = 0 \iff 17 + d = 0 \iff d = -17.\]

Contrôle avec les deux autres points : pour B, \(39 + 32 - 54 - 17 = 0\) ; pour C, \(13 - 32 + 36 - 17 = 0\).

En conclusion : \(\mathcal{P} : 13x - 16y - 9z - 17 = 0\).

Question 3

3. Représentation paramétrique de \(\mathcal{D}\).

La droite \(\mathcal{D}\) est orthogonale à \(\mathcal{P}\), donc \(\overrightarrow{n}\) en est un vecteur directeur ; elle passe par F. Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) appartient à \(\mathcal{D}\) si et seulement s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{FM} = t\,\overrightarrow{n}\), d'où :

En conclusion : \(\mathcal{D} : \begin{cases} x = 15 + 13t \\ y = -16 - 16t \\ z = -8 - 9t \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).

4. Coordonnées de E.

Le point de paramètre \(t\) de \(\mathcal{D}\) est dans \(\mathcal{P}\) lorsque ses coordonnées vérifient l'équation du plan :

\[13(15 + 13t) - 16(-16 - 16t) - 9(-8 - 9t) - 17 = 0.\]

En développant : \(195 + 169t + 256 + 256t + 72 + 81t - 17 = 0\), soit \(506t + 506 = 0\), donc \(t = -1\).

Ensuite, on remplace dans la représentation paramétrique : \(x = 15 - 13 = 2\), \(y = -16 + 16 = 0\), \(z = -8 + 9 = 1\).

En conclusion : \(\mathcal{D}\) coupe \(\mathcal{P}\) au point \(\text{E}(2\,;\,0\,;\,1)\), obtenu pour \(t = -1\).

5. Distance de F au plan \(\mathcal{P}\).

E est le point d'intersection de \(\mathcal{P}\) avec la perpendiculaire à \(\mathcal{P}\) passant par F : c'est le projeté orthogonal de F sur \(\mathcal{P}\). La distance cherchée est donc la longueur FE.

\[\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}, \qquad \text{FE} = \sqrt{13^2 + (-16)^2 + (-9)^2} = \sqrt{169 + 256 + 81} = \sqrt{506}.\]

En conclusion : la distance de F au plan \(\mathcal{P}\) est \(\sqrt{506} \approx 22{,}49\).

Question 6

6. Points de \(\mathcal{D}\) à la distance \(\dfrac{\sqrt{506}}{2}\) du plan.

Pour tout point \(M\) de \(\mathcal{D}\), son projeté orthogonal sur \(\mathcal{P}\) est aussi E (la droite est perpendiculaire au plan), donc la distance de \(M\) au plan vaut \(M\text{E}\).

Pour le point \(M_t\) de paramètre \(t\), on a \(\overrightarrow{EM_t} = (t + 1)\,\overrightarrow{n}\) (puisque E correspond à \(t = -1\)), donc \(M_t\text{E} = |t + 1| \times \|\overrightarrow{n}\| = |t + 1|\sqrt{506}\).

Par ailleurs, on veut \(|t + 1|\sqrt{506} = \dfrac{\sqrt{506}}{2}\), soit \(|t + 1| = \dfrac{1}{2}\), c'est-à-dire \(t = -\dfrac{1}{2}\) ou \(t = -\dfrac{3}{2}\). Il y a donc deux points, symétriques par rapport à E :

• \(t = -\dfrac{1}{2}\) : \(x = 15 - 6{,}5 = 8{,}5\), \(y = -16 + 8 = -8\), \(z = -8 + 4{,}5 = -3{,}5\) (c'est le milieu de [EF], situé du même côté que F) ;
• \(t = -\dfrac{3}{2}\) : \(x = 15 - 19{,}5 = -4{,}5\), \(y = -16 + 24 = 8\), \(z = -8 + 13{,}5 = 5{,}5\) (de l'autre côté du plan).

Vérification pour le premier : \(\dfrac{|13 \times 8{,}5 - 16 \times (-8) - 9 \times (-3{,}5) - 17|}{\sqrt{506}} = \dfrac{253}{\sqrt{506}} = \dfrac{\sqrt{506}}{2}\).

En conclusion : deux points conviennent, \(M_1(8{,}5\,;\,-8\,;\,-3{,}5)\) et \(M_2(-4{,}5\,;\,8\,;\,5{,}5)\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Pour étudier une fonction compliquée, on isole le numérateur de sa dérivée dans une fonction auxiliaire dont on établit le signe grâce au théorème de la bijection ; lors du balayage, vérifier soigneusement le signe des valeurs très proches de 0.
• La position relative de deux courbes se lit sur le signe de la différence \(f(x) - \ln x\), qu'on factorise avant de conclure.
• Une probabilité « sachant ce qui se passe après » se calcule par la définition \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\), avec \(P(B)\) obtenue par les probabilités totales.
• Dans une récurrence, rédiger initialisation, hérédité et conclusion ; l'hérédité repose ici sur \(0{,}2 \times 0{,}2^{n-1} = 0{,}2^n\).
• En QCM, dériver les propositions pour trouver une primitive et calculer les premiers termes d'une suite permet d'éliminer vite les pièges.
• Le projeté orthogonal d'un point sur un plan s'obtient en coupant le plan par la droite dirigée par un vecteur normal ; les points à une distance donnée du plan sont alors repérés par leur paramètre \(t\).

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Présentation du corrigé du bac 2023, Centres étrangers, jour 1

Ce corrigé du bac 2023, Centres étrangers, jour 1 du 21 mars 2023 explique les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) aborde : fonction logarithme, limites, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, fonction auxiliaire, position relative de deux courbes. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) traite : arbres pondérés, probabilités totales, probabilité conditionnelle, suite arithmético-géométrique, raisonnement par récurrence, limite de suite géométrique. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) porte sur : qCM : primitive par dérivation, ensemble de définition d'un logarithme, convexité par la dérivée seconde, limite et minorant, suite définie par récurrence. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : vecteurs colinéaires, produit scalaire, vecteur normal, équation cartésienne, représentation paramétrique, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, Centres étrangers, jour 1

Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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