Corrigé des 25 exercices de construction de figures en CM1 : solutions détaillées à télécharger en PDF

a. On lit chaque flèche en partant de l’élément qu’elle montre :

• la flèche verte montre un segment qui passe par le centre et dont les deux extrémités sont sur le cercle : c’est le diamètre ;
• Ensuite, la flèche rouge montre la croix au milieu du cercle : c’est le centre ;
• la flèche bleue montre un segment qui va du centre à un point du cercle : c’est le rayon.

Par exemple, b. Le diamètre est formé de deux rayons mis bout à bout. Donc la longueur du rayon est la moitié de celle du diamètre. Par exemple, si le diamètre mesure 6 cm, le rayon mesure 3 cm.

Cependant, on observe les points sur le segment horizontal : B, C, D et E. Puis le point C est au milieu de la figure, B est le milieu de la partie gauche et D le milieu de [CE].

• a. Le cercle de centre C et de rayon [CE] a son centre en C et passe par E : c’est le grand cercle, le cercle vert.
• Notamment, b. Le cercle de diamètre [CE] passe par C et par E, et son centre est D, le milieu de [CE] : c’est le cercle rouge.
• c. Le cercle de centre F est le petit cercle du bas : c’est le cercle bleu.
• Ainsi, d. Le cercle de centre B passant par C est le cercle de gauche : c’est le cercle violet.

Cependant, sur la figure ci-dessous, un carreau représente 0,5 cm (petits carreaux) : 2 carreaux font 1 cm. Sur ta fiche, règle toujours le compas sur la règle graduée.

a. On pique la pointe du compas sur G et on écarte le compas de 4 cm, puis on trace le cercle (en rouge).

b. Le diamètre mesure 5 cm, donc le rayon mesure la moitié :

\[ 5 \div 2 = 2{,}5 \text{ cm} \]

En outre, on pique sur H et on écarte le compas de 2,5 cm (en bleu).

c. Le centre du cercle de diamètre [GH] est le milieu O du segment [GH]. Ensuite, on mesure GH : on trouve 12 carreaux, soit 6 cm. Puis le point O est donc à 3 cm de G et de H, et le rayon vaut \( 6 \div 2 = 3 \text{ cm} \). Par ailleurs, de plus, on pique sur O, on écarte le compas jusqu’à G et on trace le cercle : il passe par G et par H (en vert).

Également, a. Le cercle de centre K passant par L : on pique la pointe du compas sur K et on place la mine sur L. L’écartement du compas est donc la longueur KL : c’est le rayon. Ensuite, on trace le cercle (en rouge), il passe par L.

b. Le cercle de diamètre [KM] a pour centre le milieu de [KM]. Par ailleurs, ce milieu est déjà marqué par un point sur le segment ; on peut le vérifier avec la règle (il est à la même distance de K et de M). Puis on l’appelle O. Ensuite, on pique sur O, on place la mine sur K et on trace le cercle (en bleu) : il passe par K et par M.

Un triangle rectangle a un angle droit. Puis pour chaque triangle, on place l’équerre dans chaque coin et on regarde si l’angle est exactement droit.

• Toutefois, triangle 2 : angle droit en bas, rectangle.
• Triangle 6 : angle droit en bas à droite, rectangle.
• Ensuite, triangle 8 : angle droit en haut, rectangle.
• Triangles 1, 3, 4, 5 et 7 : aucun angle n’est droit (l’angle est soit plus petit, soit plus grand que l’angle de l’équerre).

On vérifie les angles avec l’équerre et les longueurs des côtés avec la règle (ou le compas).

• Triangle 1 : ses trois côtés ont la même longueur, c’est un triangle équilatéral ; il a donc aussi deux côtés égaux. Pas d’angle droit.
• Par exemple, triangle 2 : un angle droit en bas à gauche, côtés tous différents : triangle rectangle.
• Triangle 3 : deux côtés de même longueur (les deux côtés qui partent du sommet du bas), pas d’angle droit : triangle isocèle.
• Triangle 4 : un angle droit en haut et deux côtés égaux : triangle rectangle isocèle.
• Enfin, triangle 5 : pas d’angle droit (l’angle de gauche est plus grand), côtés tous différents : aucune case n’est cochée.

Remarque : un triangle qui a un angle droit est toujours un triangle rectangle, donc les colonnes « 1 angle droit » et « Triangle rectangle » sont cochées sur les mêmes lignes.

Donc, sur un quadrillage, les lignes horizontales et verticales se coupent à angle droit : on peut s’en servir pour tracer l’angle droit sans équerre.

Premier triangle. Le segment [AB] est horizontal (8 carreaux). À partir de A, on descend verticalement le long d’une ligne du quadrillage, par exemple de 5 carreaux, jusqu’au point C. Par ailleurs, de plus, on relie C à B. Ensuite, le triangle ABC est rectangle en A.

Second triangle. Le segment [DE] est en diagonale : il traverse 6 carreaux vers la gauche et 6 carreaux vers le bas. Par ailleurs, on part de D et on suit la ligne horizontale de 6 carreaux vers la gauche jusqu’au point F, situé juste au-dessus de E. Puis on relie F à E. Ensuite, l’angle en F est formé d’une ligne horizontale et d’une ligne verticale : le triangle DEF est rectangle en F.

D’autres triangles sont justes : il suffit que l’un des angles soit droit (on peut aussi placer l’angle droit en D ou en E, en suivant l’autre diagonale des carreaux).

Ici, il n’y a pas de quadrillage : on utilise l’équerre.

De même, premier triangle. On nomme A et B les extrémités du segment du haut. Puis on pose un bord de l’angle droit de l’équerre sur [AB], le coin de l’angle droit exactement sur B. De plus, on trace le long de l’autre bord un segment, et on place un point C dessus. Ensuite, on relie C à A : le triangle ABC est rectangle en B.

Notamment, Second triangle. On nomme D et E les extrémités du segment du bas. Par ailleurs, on place l’angle droit de l’équerre en D, un bord le long de [DE], et on trace un segment perpendiculaire vers le haut ; on y place F. Puis on relie F à E : le triangle DEF est rectangle en D.

On termine en codant l’angle droit par un petit carré. Ensuite, la longueur du nouveau côté est libre : chaque élève peut obtenir un triangle différent, tous justes.

On vérifie avec l’équerre les quatre angles et avec la règle la longueur des quatre côtés :

• Puis, un rectangle a 4 angles droits ;
• un carré a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.

• Figure 1 : 4 angles droits et 4 côtés égaux : carré (en bleu).
• Figure 7 : elle est penchée, mais elle a 4 angles droits et 4 côtés égaux : carré (en bleu).
• Figures 2 et 5 : 4 angles droits, mais deux côtés longs et deux côtés courts : rectangles (en vert). Puis, la figure 2 est penchée, c’est bien un rectangle.
• Figure 6 : 4 côtés égaux mais pas d’angle droit : c’est un losange, pas un carré.
• Figures 3, 4 et 8 : pas d’angle droit partout (ou aucun), ce ne sont ni des carrés ni des rectangles.

On compte les carreaux et on utilise le quadrillage pour les angles droits.

En outre, a. Le côté donné est horizontal et mesure 7 carreaux. Puis un carré a 4 côtés égaux : on descend de 7 carreaux à chaque extrémité, puis on relie les deux points obtenus.

b. Le côté donné est en diagonale : il va de 4 carreaux vers la gauche et 4 carreaux vers le bas. De plus, les côtés perpendiculaires partent dans l’autre diagonale : de chaque extrémité, on avance de 4 carreaux vers la droite et 4 vers le bas, puis on relie les deux nouveaux points. Ensuite, on obtient un carré « posé sur la pointe ».

Cependant, c. Le rectangle a déjà deux côtés : 6 carreaux en largeur et 8 carreaux en hauteur. Par ailleurs, on trace depuis l’extrémité droite un côté vertical de 8 carreaux vers le bas, puis on ferme par un côté horizontal de 6 carreaux.

d. Les deux côtés donnés forment un angle droit au sommet de droite. Puis pour placer le 4e sommet, on reproduit le petit côté (4 carreaux vers la gauche et 1 vers le bas) à partir du sommet du haut : on arrive au 4e sommet. Ensuite, les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur, on vérifie les angles droits avec l’équerre.

Pour chaque tracé, on utilise la règle graduée pour les longueurs et l’équerre pour les angles droits. Puis un carré et un rectangle ont tous les deux 4 angles droits ; le carré a en plus 4 côtés de même longueur, le rectangle a ses côtés opposés de même longueur.

Ainsi, la méthode (valable pour les quatre figures) :

1. Trace un premier côté avec la règle (par exemple le côté du bas).
2. Place l’équerre à une extrémité de ce côté et trace un angle droit ; reporte la deuxième longueur sur ce nouveau côté.
3. Ensuite, recommence à l’autre extrémité du premier côté.
4. Relie les deux sommets du haut, puis vérifie avec la règle la longueur de ce dernier côté et avec l’équerre les deux derniers angles.

• a. Carré de côté 5 cm : les 4 côtés mesurent 5 cm.
• Toutefois, b. Carré de côté 3,8 cm : les 4 côtés mesurent 3,8 cm, soit 3 cm et 8 mm sur la règle.
• c. Rectangle de côtés 3 cm et 6 cm : deux côtés de 6 cm (les longueurs) et deux côtés de 3 cm (les largeurs), face à face.
• d. Rectangle de côtés 3,5 cm et 5,5 cm : deux côtés de 5,5 cm et deux côtés de 3,5 cm, face à face.

Petite vérification finale : dans un carré ou un rectangle bien tracé, les deux diagonales ont la même longueur. Si tu mesures deux longueurs différentes, un angle n’est pas tout à fait droit.

Un losange est un quadrilatère qui a ses 4 côtés de la même longueur. Notamment, de plus, il n’a pas besoin d’être « debout » : il peut être penché ou couché. Ensuite, pour savoir si une figure est un losange, on reporte la longueur d’un côté sur les trois autres avec le compas (ou on mesure à la règle).

• Figure 1 : les 4 côtés ont la même longueur, c’est un losange (très penché).
• Notamment, figure 2 : le côté du bas est bien plus long que celui du haut, c’est un trapèze, pas un losange.
• Figure 3 : les 4 côtés ont la même longueur, c’est un losange.
• Ensuite, figure 4 : les côtés horizontaux et les côtés penchés ont la même longueur, c’est un losange couché.
• Figure 5 : le petit côté en haut à droite est deux fois plus court que le côté en bas à droite, ce n’est pas un losange.
• Figure 6 : 4 angles droits mais des côtés de longueurs différentes, c’est un rectangle.
• En effet, figure 7 : les deux côtés du haut sont plus courts que les deux côtés du bas, ce n’est pas un losange.
• Figure 8 : les côtés opposés sont égaux, mais les grands côtés sont bien plus longs que les petits : c’est un parallélogramme, pas un losange.

Toutefois, pour reproduire une figure sur quadrillage, on ne mesure pas à la règle : on compte les carreaux. Par ailleurs, le plus simple est de placer d’abord les sommets de chaque losange, puis de les relier à la règle. Puis un losange se repère très bien grâce à ses diagonales (les deux segments qui relient les sommets opposés), car elles suivent les lignes du quadrillage.

• Frise a. La bande fait 8 carreaux de haut. De même, le losange violet a une diagonale horizontale de 8 carreaux et une diagonale verticale de 4 carreaux, centrée sur la ligne du milieu. Le losange orange est le même losange tourné : diagonale horizontale de 4 carreaux, diagonale verticale de 8 carreaux (toute la hauteur). Par ailleurs, ils se touchent par un sommet et alternent : violet, orange, violet, orange.
• Frise b. Même losange violet (8 carreaux sur 4), entouré d’un rectangle de 8 carreaux sur 4 dont il relie les milieux des côtés. Car entre deux rectangles, un carré penché dont les diagonales mesurent 8 carreaux ; à l’intérieur, un losange orange de 4 carreaux de large et 8 de haut.
• Frise c. Chaque motif est formé de deux losanges qui se croisent au même centre : un losange « couché » de 8 carreaux sur 4 et un losange « debout » de 4 carreaux sur 8. En outre, la partie commune reste blanche, les pointes du losange couché sont en violet et celles du losange debout en orange. Les motifs se touchent par leurs pointes gauche et droite.

Dans chaque cercle vide, les 6 points du cercle et le centre sont déjà placés. En effet, tous les segments à tracer relient deux de ces points, à la règle :

1. Relie les 6 points du cercle dans l’ordre : on obtient un hexagone (figure à 6 côtés égaux).
2. Ensuite, relie le centre à un point sur deux : trois segments partent du centre. L’hexagone est alors partagé en 3 losanges : chacun a 4 côtés égaux, car le rayon du cercle et le côté de l’hexagone ont la même longueur.
3. Colorie en imitant le modèle placé juste à gauche.

• Car cercle 2 (modèle : cercle 1) : on relie le centre au point de gauche, au point en haut à droite et au point en bas à droite. Losange orange en haut à gauche, violet à droite, bleu en bas à gauche.
• Donc, cercle 4 (modèle : cercle 3) : on relie le centre au point de droite, au point en haut à gauche et au point en bas à gauche. Losange violet en haut à droite, orange à gauche, bleu en bas à droite.

Une frise répète toujours le même motif, décalé du même nombre de carreaux vers la droite. Ensuite, il faut donc d’abord mesurer le motif en carreaux, puis le recopier plusieurs fois.

• Car frise a. Le motif est formé de 4 carrés de 4 carreaux de côté, séparés par un couloir de 1 carreau, et d’un petit carré de 3 carreaux de côté posé au centre, à cheval sur les quatre grands carrés. Le motif occupe 9 carreaux de large ; en laissant 1 carreau d’écart comme entre les grands carrés, on le recopie tous les 10 carreaux.
• Notamment, frise b. Le motif est un carré penché dont les diagonales mesurent 6 carreaux, dessiné deux fois l’un au-dessus de l’autre (décalés de 3 carreaux vers le bas). Une nouvelle paire de carrés penchés commence tous les 5 carreaux, si bien que chaque paire chevauche un peu la précédente.

Conseil : place d’abord au crayon les sommets du motif suivant en comptant les carreaux à partir du motif précédent, puis trace les segments à la règle. Puis on continue jusqu’au bout du quadrillage.

Toutefois, on reproduit la figure en repérant ses points importants par le nombre de carreaux. Toute la figure tient dans un carré de 20 carreaux sur 20.

1. Enfin, le grand carré penché : ses sommets sont au milieu du haut, du bas, de la gauche et de la droite du carré de 20 carreaux. Ses diagonales, horizontale et verticale, mesurent 20 carreaux et se coupent au centre.
2. Par ailleurs, le carré intérieur (bords des parties bleues) : il mesure 10 carreaux de côté, avec le même centre. Ses 4 sommets sont exactement sur les côtés du grand carré penché : ce sont leurs milieux.
3. Sur chaque côté du carré intérieur, place 2 points à 2 carreaux de part et d’autre du milieu du côté (donc à 3 carreaux des sommets).
4. L’étoile violette : relie chaque sommet du grand carré penché aux deux points les plus proches, puis relie ces points au centre. Toutefois, on obtient 4 branches en forme de losange.
5. Les parties bleues sont ce qui reste du carré intérieur entre deux branches ; les triangles orange sont entre le grand carré penché et le carré intérieur.
6. Enfin, colorie comme le modèle : violet pour l’étoile, bleu pour les 4 quadrilatères, orange pour les 8 triangles.

Cependant, étape 1. Trace un segment [AB] de 4 cm. Écarte le compas de 4 cm : trace le cercle de centre A qui passe par B, puis le cercle de centre B qui passe par A. De plus, les deux cercles se coupent en deux points : nomme C celui du bas.

Ensuite, étape 2. Sans changer l’écartement du compas, trace le cercle de centre C et de rayon 4 cm. Ensuite, il passe par A et par B, car C est sur les deux premiers cercles : CA = 4 cm et CB = 4 cm.

Les trois cercles ont le même rayon, 4 cm, et les centres A, B et C forment un triangle dont les 3 côtés mesurent 4 cm.

En effet, étape 3. Colorie : la partie commune aux trois cercles (au centre) en rose, les parties communes à deux cercles seulement en orange, et les parties qui ne sont que dans un seul cercle en bleu.

En effet, on commence toujours par le carré de 6 cm de côté, tracé à la règle et à l’équerre. Par ailleurs, pour chaque arc, il faut trouver où piquer le compas (le centre) et de combien l’écarter (le rayon).

• a. Place le milieu de chaque côté (à 3 cm des sommets). Par exemple, pique le compas sur un milieu, écarte-le de 3 cm et trace le demi-cercle à l’intérieur du carré : il part d’un sommet, passe par le centre du carré et arrive à l’autre sommet. Recommence avec les 4 milieux : les 4 demi-cercles forment les pétales.
• Par ailleurs, b. Pique le compas sur un sommet du carré, écarte-le de 6 cm (la longueur du côté) et trace le quart de cercle à l’intérieur du carré : il relie les deux sommets voisins. Recommence depuis les 4 sommets : les 4 quarts de cercle se croisent.
• Puis, c. Pique le compas sur un sommet, écarte-le de 3 cm (la moitié du côté) et trace le quart de cercle : il relie les milieux des deux côtés qui partent de ce sommet. Recommence dans les 4 coins : les 4 arcs se touchent aux milieux des côtés.

Pour chaque figure, on cherche le centre du cercle vert et les points par lesquels il passe.

• Figure 1 : le petit cercle passe par A et par D, et son centre est au milieu de [AD]. [AD] est donc un diamètre : c’est le cercle de diamètre [AD].
• En effet, figure 2 : le cercle passe par les 4 sommets du rectangle et son centre est E, le centre du rectangle. Il passe notamment par D : c’est le cercle de centre E passant par D.
• Figure 3 : le grand cercle a pour centre le sommet B et passe par C : son rayon est [BC]. Enfin, C’est le cercle de centre B et de rayon [BC].

Enfin, un programme de construction de cercle doit toujours dire où est le centre et quel est le rayon (ou par quel point passe le cercle). Puis on repère donc le point qui est au milieu de chaque cercle vert.

• Figure 1 : le centre du cercle est le sommet D, et le cercle passe par A et par C. Programme : « Trace le cercle de centre D et de rayon [DA] » (il passe aussi par C, car DA = DC, côtés du carré).
• Car figure 2 : le centre du cercle est le sommet B, et le cercle passe par D, le sommet opposé. Programme : « Trace le cercle de centre B passant par D » (son rayon est la diagonale [BD]).
• Figure 3 : on trace d’abord les diagonales [AC] et [BD], qui se coupent en E. En outre, le centre du cercle est le sommet C et le cercle passe par E. Programme : « Trace les diagonales du carré, nomme E leur point d’intersection, puis trace le cercle de centre C passant par E » (rayon [CE]).

Donc, agrandir par 2, c’est multiplier toutes les longueurs par 2 : un segment de 1 carreau devient un segment de 2 carreaux, un segment de 3 carreaux devient un segment de 6 carreaux. Chaque figure tient dans 8 carreaux sur 8 ; l’agrandissement tiendra dans 16 carreaux sur 16.

La méthode la plus sûre : repère chaque sommet en comptant ses carreaux depuis le coin en haut à gauche (vers la droite, puis vers le bas), double ces deux nombres et place le point sur le grand quadrillage. Ensuite, pour un segment penché, on double aussi le déplacement : « 1 carreau à droite et 2 vers le bas » devient « 2 carreaux à droite et 4 vers le bas ».

• Ensuite, a. La croix a des branches de 2 carreaux de large et 8 carreaux de long : dans l’agrandissement, 4 carreaux de large et 16 carreaux de long.
• b. Le cœur : ses deux bords du haut mesurent 2 carreaux, la pointe du creux est à 2 carreaux sous le haut et la pointe du bas à 8 carreaux sous le haut. Car Agrandi : bords du haut de 4 carreaux, creux à 4 carreaux sous le haut, pointe du bas à 16 carreaux.
• c. Les 8 pointes sont sur les bords du carré, à 3 et 5 carreaux du coin ; les 4 creux sont à 3 carreaux du bord, au milieu. Agrandi : pointes à 6 et 10 carreaux du coin, creux à 6 carreaux du bord.
• d. La grande étoile verte a ses pointes aux 4 coins et ses creux à 2 carreaux des bords ; l’étoile bleue a ses pointes au milieu des bords et ses creux à 3 carreaux des bords. Agrandi : creux de l’étoile verte à 4 carreaux des bords, creux de l’étoile bleue à 6 carreaux des bords.

Réduire par 2, c’est diviser toutes les longueurs par 2. Puis le lézard occupe 24 carreaux sur 6 ; sa réduction occupe \( 24 \div 2 = 12 \) carreaux sur \( 6 \div 2 = 3 \) carreaux : c’est exactement la taille du quadrillage de droite.

On repère chaque sommet par ses carreaux depuis le coin en haut à gauche, et on divise les deux nombres par 2 :

• le bout du museau, à 2 carreaux du haut, passe à 1 carreau du haut ;
• les pointes du dos, tous les 4 carreaux (à 4, 8, 12 et 16 carreaux du bord gauche), passent tous les 2 carreaux (à 2, 4, 6 et 8) ; les creux du dos, à 2 carreaux du haut, passent à 1 carreau ;
• la pointe de la queue, au coin en haut à droite (24 carreaux), passe au coin en haut à droite du petit quadrillage (12 carreaux) ;
• les pointes du ventre, en bas (à 4, 8, 12, 16 et 22 carreaux), passent en bas à 2, 4, 6, 8 et 11 carreaux ; les creux du ventre, à 4 carreaux du haut, passent à 2 carreaux ;
• la bouche : le coin de la bouche, à 4 carreaux du bord et 4 carreaux du haut, passe à 2 carreaux et 2 carreaux ; l’œil, à 4 carreaux et 2 carreaux, passe à 2 carreaux et 1 carreau.

Le rectangle rouge est la réduction par 2 du rectangle bleu : \( 12 \div 2 = 6 \) cm et \( 6 \div 2 = 3 \) cm. De plus, pour une réduction par 3, par 4, par 6 ou par 12, on divise de la même façon la longueur (12 cm) et la largeur (6 cm) par ce nombre :

Pour 6 ÷ 4 : 6 cm = 60 mm et 60 ÷ 4 = 15 mm, soit 1,5 cm. Ensuite, pour 6 ÷ 12 : 60 ÷ 12 = 5 mm, soit 0,5 cm. Par ailleurs, dans chaque réduction, la longueur est toujours le double de la largeur, comme dans le rectangle bleu.

On trace chaque rectangle à la règle et à l’équerre, en partant du même coin que le rectangle rouge (en bas à gauche).

Une bonne consigne dit ce qu’on trace, avec les noms des points et les mesures.

• Étape 1 : « Trace un triangle EFG dont les trois côtés mesurent 4 cm » (c’est un triangle équilatéral). On trace [FG] de 4 cm, puis deux arcs de rayon 4 cm de centres F et G, qui se coupent en E.
• Étape 2 : « Place K, le milieu de [EF], L, le milieu de [EG], et M, le milieu de [FG] » (chaque point est à 2 cm des deux sommets).
• Étape 3 : « Trace le cercle de centre E passant par K, le cercle de centre F passant par M et le cercle de centre G passant par L. » Les trois cercles ont un rayon de 2 cm, la moitié du côté : chaque cercle passe par deux milieux, et deux cercles voisins se touchent en un milieu.

On observe ce qui apparaît en vert à chaque étape : c’est ce que la consigne doit faire tracer.

• Étape 1 : « Trace un triangle équilatéral PNR. Place S, le milieu de [PN], T, le milieu de [NR], et U, le milieu de [PR]. »
• Étape 2 : « Trace les segments [NU], [PT] et [RS]. Ils se coupent en un même point : nomme-le O. » (Chaque segment relie un sommet au milieu du côté opposé.)
• Étape 3 : « Trace le cercle de centre O passant par U. » Il passe aussi par S et par T et touche les trois côtés du triangle sans les traverser.
• Étape 4 : « Trace le triangle STU. » Ses sommets sont les trois milieux ; c’est lui aussi un triangle équilatéral.
• Étape 5 : « Place V, le milieu de [ST], X, le milieu de [SU], et Y, le milieu de [TU]. » (V est sur [NU], X sur [PT] et Y sur [RS].)
• Étape 6 : « Trace le cercle de centre O passant par V. » Il passe aussi par X et par Y : c’est un petit cercle à l’intérieur du triangle STU.