La proportionnalité en CM1 : corrigé détaillé des 9 exercices

On lit sur chaque étiquette le prix d’un kilogramme. Le prix est proportionnel à la masse : pour plusieurs kilos, on multiplie le prix d’un kilo par le nombre de kilos.

a. Pommes rubinette : 4 € le kg.

\[ 3 \times 4 = 12 \]

3 kg de pommes rubinette coûtent 12 €.

b. Pommes royal gala : 2 € le kg.

\[ 5 \times 2 = 10 \]

5 kg de pommes royal gala coûtent 10 €.

c. Figues fraîches : 10 € le kg.

\[ 2 \times 10 = 20 \]

2 kg de figues fraîches coûtent 20 €.

d. Potimarron : 5 € le kg.

\[ 4 \times 5 = 20 \]

4 kg de potimarron coûtent 20 €.

On sait que 3 paires coûtent 4 €. Le prix d’une seule paire ne tombe pas juste (4 € ÷ 3), donc on raisonne par lots de 3 paires.

a. 9 paires, c’est 3 lots de 3 paires, car \( 9 = 3 \times 3 \).

\[ 3 \times 4 = 12 \]

9 paires de chaussettes coûtent 12 €.

b. 15 paires, c’est 5 lots de 3 paires, car \( 15 = 5 \times 3 \).

\[ 5 \times 4 = 20 \]

15 paires de chaussettes coûtent 20 €.

c. Premier calcul : 24 paires, c’est 8 lots de 3 paires, car \( 24 = 8 \times 3 \).

\[ 8 \times 4 = 32 \]

Deuxième calcul : on additionne les résultats déjà trouvés. 24 paires = 9 paires + 15 paires, donc le prix est la somme des deux prix :

\[ 12 + 20 = 32 \]

(On peut aussi dire : 24 paires, c’est le double de 12 paires ; 12 paires = 4 lots, soit \( 4 \times 4 = 16 \) €, et \( 16 \times 2 = 32 \) €.)

24 paires de chaussettes coûtent 32 €.

La voiture consomme 6 L pour 100 km. La quantité d’essence est proportionnelle à la distance parcourue.

a. 300 km, c’est 3 fois 100 km, donc elle consomme 3 fois plus :

\[ 3 \times 6 = 18 \]

Pour 300 km, elle consomme 18 L.

b. 500 km = 5 fois 100 km : \( 5 \times 6 = 30 \). Elle consomme 30 L.

c. 700 km = 7 fois 100 km : \( 7 \times 6 = 42 \). Elle consomme 42 L.

d. 3 L, c’est la moitié de 6 L, donc Zolan parcourt la moitié de 100 km :

\[ 100 \div 2 = 50 \]

Avec 3 L, il parcourt 50 km.

e. 1,5 L, c’est la moitié de 3 L, donc la moitié de 50 km : \( 50 \div 2 = 25 \). Il parcourt 25 km.

f. 4,5 L = 3 L + 1,5 L, donc on additionne les distances : \( 50 + 25 = 75 \). Il parcourt 75 km.

a. On cherche d’abord le nombre de personnes des colonnes sans titre grâce à la case déjà remplie :

• 750 g de chocolat noir : pour 10 personnes il en faut 250 g, et \( 750 = 3 \times 250 \), donc c’est une recette pour \( 3 \times 10 = \) 30 personnes.
• 100 g de corn flakes : c’est la moitié de 200 g, donc c’est une recette pour 5 personnes.
• 30 g de sucre glace : \( 150 = 5 \times 30 \), donc c’est 5 fois moins que pour 10 personnes, soit une recette pour \( 10 \div 5 = \) 2 personnes.

Pour la colonne « 7 personnes », on additionne les colonnes « 5 personnes » et « 2 personnes » (5 + 2 = 7). Par exemple pour les corn flakes : \( 100 + 40 = 140 \) g.

b. On calcule la quantité nécessaire pour une personne (10 fois moins que pour 10 personnes) :

• chocolat noir : \( 250 \div 10 = 25 \) g par personne ;
• beurre : \( 160 \div 10 = 16 \) g par personne.

Avec 600 g de chocolat : \( 600 \div 25 = 24 \), assez pour 24 personnes (vérification : \( 24 \times 25 = 600 \)).

Avec 400 g de beurre : \( 400 \div 16 = 25 \), assez pour 25 personnes (vérification : \( 25 \times 16 = 400 \)).

C’est le chocolat qui manque en premier : au-delà de 24 personnes, il n’y en a plus assez. Le beurre suffit largement pour 24 personnes (\( 24 \times 16 = 384 \) g, moins que 400 g).

La photo d’origine mesure 15 cm sur 10 cm. Une reproduction est un agrandissement proportionnel si la longueur et la largeur sont multipliées par le même nombre.

• A (20 cm × 15 cm) : la largeur passe de 10 cm à 15 cm, on lui ajoute sa moitié (5 cm). Si on faisait pareil pour la longueur, on obtiendrait 15 + 7,5 = 22,5 cm, et non 20 cm. Il ne suffit pas non plus d’ajouter 5 cm aux deux côtés. Non.
• B (25 cm × 20 cm) : la largeur est doublée (\( 10 \times 2 = 20 \)) mais la longueur ne l’est pas (\( 15 \times 2 = 30 \), pas 25). Non.
• C (30 cm × 20 cm) : \( 15 \times 2 = 30 \) et \( 10 \times 2 = 20 \). Les deux dimensions sont multipliées par 2. Oui.
• D (30 cm × 25 cm) : \( 15 \times 2 = 30 \) mais \( 10 \times 2 = 20 \), pas 25. Non.
• E (45 cm × 30 cm) : \( 15 \times 3 = 45 \) et \( 10 \times 3 = 30 \). Les deux dimensions sont multipliées par 3. Oui.

Autre façon de voir : sur la photo d’origine, la longueur vaut une fois et demie la largeur (15 = 10 + 5). C’est encore vrai pour C (30 = 20 + 10) et E (45 = 30 + 15), mais pas pour A, B et D.

1. a. 2 pommes contiennent 2 fois plus de calories qu’une pomme, soit \( 2 \times 80 = 160 \) : 160 calories.

1. b. 5 pommes contiennent 5 fois plus de calories qu’une pomme, soit \( 5 \times 80 = 400 \) : 400 calories.

2. Attention : ici on part de 250 mL de jus qui contiennent 150 calories. On divise donc les calories, c’est-à-dire 150.

2. a. 25 mL, c’est 10 fois moins que 250 mL, car \( 25 \times 10 = 250 \). Donc 25 mL de jus contiennent 10 fois moins de calories, soit \( 150 \div 10 = 15 \) : 15 calories.

2. b. 50 mL, c’est 5 fois moins que 250 mL, car \( 50 \times 5 = 250 \). Donc 50 mL de jus contiennent 5 fois moins de calories, soit \( 150 \div 5 = 30 \) : 30 calories.

Vérification : 50 mL, c’est le double de 25 mL, et 30 calories est bien le double de 15 calories.

a. Une bouteille coûte 2,50 €, donc 2 bouteilles coûtent 5 €. On peut alors compléter le tableau avec des multiples de 5 € : 4 bouteilles, c’est 2 fois 2 bouteilles, donc 10 €, etc. Pour 15 bouteilles : 15 = 10 + 5, soit \( 25 + 12{,}50 = 37{,}50 \) €.

b. On lit dans le tableau : 8 bouteilles coûtent 20 €, 15 bouteilles coûtent 37,50 € et 50 bouteilles coûtent 125 €.

c. On lit le tableau « à l’envers », de la ligne du prix vers la ligne du nombre de bouteilles : avec 10 € on achète 4 bouteilles, avec 30 € 12 bouteilles et avec 75 € 30 bouteilles.

On compte les carreaux de chaque figure (longueur × largeur) : A 12 × 4, B 2 × 4, C 6 × 6, D 8 × 4, E 2 × 2, F 3 × 1, G 3 × 1, H 3 × 2.

a. F mesure 3 × 1 et H mesure 3 × 2. La largeur est multipliée par 2 (1 → 2) mais la longueur ne change pas (3 → 3). Les deux dimensions ne sont pas multipliées par le même nombre : non, H n’est pas un agrandissement de F.

b. C mesure 6 × 6 et E mesure 2 × 2. On divise les deux côtés par 3 (\( 6 \div 3 = 2 \)) : oui, E est une réduction de C (3 fois plus petit).

c. G mesure 3 × 1 : sa longueur vaut 3 fois sa largeur. Le rectangle A mesure 12 × 4 : \( 3 \times 4 = 12 \) et \( 1 \times 4 = 4 \). A est un agrandissement de G (dimensions multipliées par 4).

d. D mesure 8 × 4 : sa longueur vaut 2 fois sa largeur. Le rectangle B (posé debout) mesure 4 carreaux sur 2 : \( 8 \div 2 = 4 \) et \( 4 \div 2 = 2 \). B est une réduction de D (dimensions divisées par 2).

e. On regroupe les figures qui ont la même forme :

• longueur = 3 fois la largeur : A, F et G (en bleu) ;
• carrés : C et E (en rouge) ;
• longueur = 2 fois la largeur : D et B (en vert) ;
• H (3 × 2) n’est proportionnel à aucune autre figure : il reste seul (en jaune).

Zolan roule à vitesse constante : il parcourt 12 km en 1 h. La distance est proportionnelle à la durée.

a.

• En 3 h : \( 3 \times 12 = 36 \), il parcourt 36 km.
• En 5 h : \( 5 \times 12 = 60 \), il parcourt 60 km.
• En ½ h : c’est la moitié d’une heure, \( 12 \div 2 = 6 \), il parcourt 6 km.
• En 1 h 30 : 1 h 30 = 1 h + ½ h, donc \( 12 + 6 = 18 \), il parcourt 18 km.

b.

• 24 km = 2 fois 12 km (\( 2 \times 12 = 24 \)) : il met 2 h.
• 72 km = 6 fois 12 km (\( 6 \times 12 = 72 \)) : il met 6 h.
• 30 km = 24 km + 6 km, soit 2 h + ½ h : il met 2 h 30 min.
• 3 km, c’est la moitié de 6 km ; comme 6 km prennent ½ h (30 min), 3 km prennent la moitié de 30 min : il met 15 min (un quart d’heure).