Corrigé du brevet de maths 2019 : France

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2019 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé France 2019

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé France 2019 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 6 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Nombres premiers et partage » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Trigonométrie et triangles semblables » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Sablier : volume et statistiques » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Scratch et probabilités » (exercice 4). En outre, tu lis la démarche complète pour « Transformations et ratio » (exercice 5).

Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Programmes de calcul » (exercice 6).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé France 2019 sont les diviseurs communs, la trigonométrie, le cylindre, la médiane et les statistiques et le programme Scratch, rédigées comme sur une copie.

Corrigé de l’exercice 1 (France 2019) : le trésor du capitaine

1. D’abord, on divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

\[ 69=3\times 23 \]

\[ 1\,150=2\times 575=2\times 5\times 115=2\times 5\times 5\times 23=2\times 5^2\times 23 \]

\[ 4\,140=2\times 2\,070=2\times 2\times 1\,035=2^2\times 3\times 345=2^2\times 3\times 3\times 115=2^2\times 3^2\times 5\times 23 \]

Donc \(69=3\times 23\), \(1\,150=2\times 5^2\times 23\) et \(4\,140=2^2\times 3^2\times 5\times 23\).

2. Le partage est équitable et tout est distribué : chaque marin reçoit le même nombre de diamants, de perles et de pièces. Le nombre de marins doit donc diviser à la fois 69, 1 150 et 4 140 : c’est un diviseur commun aux trois nombres. D’après les décompositions, le seul facteur premier commun aux trois est 23. Les diviseurs communs sont donc 1 et 23, et comme il y a plusieurs marins, il y a 23 marins.

Vérification : chaque marin reçoit \(69\div 23=3\) diamants, \(1\,150\div 23=50\) perles et \(4\,140\div 23=180\) pièces d’or.

Corrigé de l’exercice 2 : le décor de théâtre

1. Dans le triangle ADM rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{\text{ADM}}\) : [AM] est le côté opposé et [AD] le côté adjacent. On utilise donc la tangente :

\[ \tan\widehat{\text{ADM}}=\dfrac{\text{AM}}{\text{AD}} \quad\text{donc}\quad \tan 60^\circ=\dfrac{\text{AM}}{2} \]

\[ \text{AM}=2\times\tan 60^\circ\approx 3{,}464 \]

[AM] mesure donc environ 3,46 m.

2. La partie quadrillée est le rectangle MBCN, de même hauteur (2 m) que la plaque. La proportion non utilisée est donc le quotient des longueurs MB et AB :

\[ \text{MB}=\text{AB}-\text{AM}=4-2\tan 60^\circ\approx 0{,}536\ \text{m} \]

\[ \dfrac{\text{aire de MBCN}}{\text{aire de ABCD}}=\dfrac{\text{MB}\times 2}{4\times 2}=\dfrac{\text{MB}}{4}\approx\dfrac{0{,}536}{4}\approx 0{,}134 \]

De même, la proportion de plaque non utilisée est d’environ 0,13, soit à peu près 13 %. (Attention : si l’on arrondit d’abord AM à 3,46, on obtient MB = 0,54 et 0,135, qui s’arrondit à 0,14 ; c’est l’arrondi prématuré qui fausse le centième. La valeur exacte est \(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}1340\).)

3. Deux triangles sont semblables dès qu’ils ont deux angles de mêmes mesures deux à deux. Ensuite, on calcule les angles de chaque triangle.

Triangle AMD : l’angle en A mesure 90°, l’angle en D mesure 60°, et comme la somme des angles d’un triangle vaut 180°, \(\widehat{\text{AMD}}=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

Triangle PDN : il est rectangle en P (codage). Comme ABCD est un rectangle, \(\widehat{\text{ADC}}=90^\circ\), donc \(\widehat{\text{PDN}}=\widehat{\text{MDN}}=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Ses angles mesurent 90°, 30° et donc 60°.

Triangle PNM : il est rectangle en P. Comme MNCB est un rectangle (le côté [MN] est parallèle à [BC]), \(\widehat{\text{AMN}}=90^\circ\), donc \(\widehat{\text{PMN}}=90^\circ-\widehat{\text{AMD}}=90^\circ-30^\circ=60^\circ\). Ses angles mesurent 90°, 60° et donc 30°.

Les trois triangles ont tous des angles de 90°, 60° et 30° : AMD, PNM et PDN sont bien semblables.

4. Dans les triangles semblables PDN et AMD, les hypoténuses se correspondent : [DN] (face à l’angle droit en P) et [DM] (face à l’angle droit en A). Le coefficient d’agrandissement vaut donc \(\dfrac{\text{DM}}{\text{DN}}\).

Comme AMND est un rectangle, \(\text{DN}=\text{AM}\approx 3{,}46\) m. Dans le triangle ADM rectangle en A, le cosinus donne \(\cos 60^\circ=\dfrac{\text{AD}}{\text{DM}}\), soit \(0{,}5=\dfrac{2}{\text{DM}}\), donc \(\text{DM}=4\) m.

\[ \dfrac{\text{DM}}{\text{DN}}=\dfrac{4}{2\tan 60^\circ}\approx 1{,}15 \]

Le coefficient vaut environ 1,15, qui est bien plus petit que 1,5 : le souhait de Joanna est respecté.

Corrigé de l’exercice 3 : le sablier

1. a. Le cylindre \(C_2\) a un diamètre de 1,5 cm, donc un rayon \(r=0{,}75\) cm, et une hauteur de 4,2 cm. Son volume est :

\[ V_{C_2}=\pi\times r^2\times h=\pi\times 0{,}75^2\times 4{,}2\approx 7{,}42\ \text{cm}^3 \]

Le sable en occupe les deux tiers :

\[ V_{\text{sable}}=\dfrac{2}{3}\times\pi\times 0{,}75^2\times 4{,}2\approx 4{,}948\ \text{cm}^3 \]

Le volume du sable est bien environ 4,95 cm³.

1. b. Avec un débit constant, la durée d’écoulement est le quotient du volume par le débit :

\[ t=\dfrac{4{,}95}{1{,}98}=2{,}5\ \text{min} \]

Or 0,5 min = 30 s. Le sable met 2 min 30 s à s’écouler.

2. a. Puis on additionne les effectifs des deux tableaux :

\[ 1+1+2+6+3+7+6+3+1+2+3+2+3=40 \]

Alors on a réalisé 40 tests.

2. b. Ensuite, on vérifie les trois conditions. Tous les temps commencent par 2 min, on raisonne donc sur les secondes.

Étendue : le plus long temps est 2 min 38 s et le plus court 2 min 22 s, donc l’étendue vaut \(38-22=16\) s, inférieure à 20 s. Condition remplie.

Médiane : il y a 40 valeurs (effectif pair), une médiane est la moyenne de la 20^e et de la 21^e valeur rangées dans l’ordre croissant. Les effectifs cumulés sont 1, 2, 4, 10, 13, 20 (jusqu’à 2 min 29 s), puis 26 (jusqu’à 2 min 30 s). La 20^e valeur est donc 2 min 29 s et la 21^e est 2 min 30 s : la médiane vaut 2 min 29,5 s, comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s. Condition remplie.

Moyenne : on calcule la moyenne pondérée des secondes :

\[ \dfrac{22\times 1+24\times 1+26\times 2+27\times 6+28\times 3+29\times 7+30\times 6+31\times 3+32\times 1+33\times 2+34\times 3+35\times 2+38\times 3}{40}=\dfrac{1\,204}{40}=30{,}1 \]

La moyenne vaut 2 min 30,1 s, comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s. Condition remplie.

Les trois conditions sont vérifiées : le sablier n’est pas éliminé, il peut être mis en vente.

Corrigé de l’exercice 4 : carrés et tirets en Scratch

1. Suivons le stylo. Il est orienté vers la droite (s’orienter à 90), puis tourne de 90° vers la gauche : il regarde vers le haut. Dans la boucle, chaque passage fait « avancer de 5, tourner de 90° à droite, avancer de 5 ». On obtient : 5 pixels vers le haut ; puis 5 + 5 = 10 vers la droite ; puis 5 + 5 = 10 vers le bas ; puis 5 + 5 = 10 vers la gauche ; et enfin 5 vers le haut. Le stylo trace donc un carré de 10 pixels de côté et revient à son point de départ, qui est le milieu du côté gauche du carré. Ensuite, il relève le stylo, s’oriente vers la droite et avance de 10 pixels sans tracer : il arrive au milieu du côté droit, puis se remet en position d’écriture.

À l’échelle 1 cm pour 2 pixels, 10 pixels correspondent à 5 cm : on dessine un carré de 5 cm de côté.

2. Le script 1 répète 23 fois « carré puis Tiret » : il produit toujours la même alternance régulière carré, tiret, carré, tiret… C’est le dessin B. Le script 2 choisit au hasard, 46 fois, entre un carré et un tiret : on obtient une suite irrégulière avec parfois plusieurs carrés ou plusieurs tirets consécutifs, c’est le dessin A.

3. a. Le nombre aléatoire vaut 1 ou 2 avec la même chance, et le carré est tracé seulement s’il vaut 1. La probabilité que le premier élément soit un carré est \(\dfrac{1}{2}\).

3. b. Les deux premiers tirages donnent 4 issues équiprobables : carré-carré, carré-tiret, tiret-carré, tiret-tiret. Une seule est favorable, donc la probabilité est \(\dfrac{1}{4}\) (c’est aussi \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)).

4. Avant de tracer chaque élément, il faut tirer la couleur au hasard. On crée le bloc suivant :

« si nombre aléatoire entre 1 et 2 = 1 alors : mettre la couleur du stylo à rouge ; sinon : mettre la couleur du stylo à noir ».

On l’insère au début de la boucle « répéter 46 fois », juste avant le bloc « si nombre aléatoire entre 1 et 2 = 1 alors carré sinon Tiret ». Ainsi, à chaque tour, la couleur est tirée à nouveau (une chance sur deux pour chaque couleur) puis l’élément est tracé avec cette couleur. Le nouveau tirage est indépendant de celui qui choisit entre carré et tiret.

Corrigé de l’exercice 5 : le tableau d’Olivia

1. a. La translation qui transforme C en E fait monter chaque point de la longueur CE, qui vaut deux largeurs de petit rectangle. Le rectangle ④, dans le coin C, arrive exactement sur la place du rectangle ③ : le rectangle ③ est l’image du rectangle ④.

1. b. Le rectangle ① est debout (sa longueur est verticale) et son coin inférieur droit est sur la ligne pointillée qui mène à F ; en le faisant tourner d’un quart de tour autour de F dans le sens des aiguilles d’une montre, il se couche et vient se placer en haut à droite. De même, le rectangle ③ est l’image du rectangle ①.

1. c. Chaque petit rectangle est trois fois plus petit que ABCD dans les deux directions et occupe un de ses coins. Par exemple, ABCD est l’image du rectangle ② par l’homothétie de centre D et de rapport 3 (on accepte aussi le rectangle ④ avec le centre C, ou le rectangle ③ avec le centre B).

2. ABCD est un agrandissement de rapport 3 d’un petit rectangle. Dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\), ici par \(3^2=9\). L’aire d’un petit rectangle est donc :

\[ \dfrac{1{,}215}{9}=0{,}135\ \text{m}^2 \]

Un petit rectangle a une aire de 0,135 m².

3. Notons \(\ell\) la largeur de ABCD. Le ratio longueur : largeur est 3 : 2, donc la longueur vaut \(L=\dfrac{3}{2}\ell=1{,}5\ell\). L’aire donne :

\[ L\times\ell=1{,}5\ell\times\ell=1{,}5\ell^2=1{,}215 \]

\[ \ell^2=\dfrac{1{,}215}{1{,}5}=0{,}81 \quad\text{donc}\quad \ell=\sqrt{0{,}81}=0{,}9 \]

(\(\ell\) est positive). Puis \(L=1{,}5\times 0{,}9=1{,}35\). Le rectangle ABCD mesure 1,35 m de longueur et 0,9 m de largeur. Contrôle : \(1{,}35\times 0{,}9=1{,}215\) et \(1{,}35\div 0{,}9=1{,}5\).

Corrigé de l’exercice 6 : deux programmes de calcul

1. Programme 1 avec 5 : \(5\times 3=15\), puis \(15+1=16\). Le résultat vaut bien 16.

Programme 2 avec 5 : d’un côté \(5-1=4\), de l’autre \(5+2=7\), puis \(4\times 7=28\). Le résultat vaut bien 28.

2. a. On multiplie \(x\) par 3 puis on ajoute 1 : \(A(x)=3x+1\).

2. b. Puis on résout l’équation \(A(x)=0\) :

\[ 3x+1=0 \quad\text{donc}\quad 3x=-1 \quad\text{donc}\quad x=-\dfrac{1}{3} \]

Il faut choisir \(-\dfrac{1}{3}\) au départ. Vérification : \(3\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)+1=-1+1=0\).

3. Ensuite, on utilise la double distributivité :

\[ B(x)=(x-1)(x+2)=x^2+2x-x-2=x^2+x-2 \]

Donc \(B(x)=x^2+x-2\).

4. a. Puis on calcule chaque membre séparément. D’un côté, en faisant attention aux parenthèses précédées d’un signe moins :

\[ B(x)-A(x)=x^2+x-2-(3x+1)=x^2+x-2-3x-1=x^2-2x-3 \]

De l’autre côté :

\[ (x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3 \]

Les deux expressions sont égales, donc \(B(x)-A(x)=(x+1)(x-3)\).

4. b. Les deux programmes donnent le même résultat quand \(A(x)=B(x)\), c’est-à-dire quand \(B(x)-A(x)=0\), soit \((x+1)(x-3)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[ x+1=0 \quad\text{ou}\quad x-3=0 \quad\text{donc}\quad x=-1 \quad\text{ou}\quad x=3 \]

Il faut choisir \(-1\) ou 3. Vérification : pour \(-1\), les deux programmes donnent \(-2\) ; pour 3, ils donnent 10.

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Comment utiliser le corrigé corrigé France 2019

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Dans les questions sur les diviseurs communs, cherche le plus grand diviseur commun, car c’est lui qui donne le nombre maximal de lots identiques. Pour la trigonométrie, choisis le rapport (cosinus, sinus ou tangente) qui relie le côté connu et le côté cherché, puis contrôle que ta calculatrice est en degrés. En ce qui concerne le cylindre, exprime toutes les longueurs dans la même unité, ainsi le volume sort directement en cm³ ou en m³. Au besoin, la définition de la notion de plus grand commun diviseur sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé France 2019 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé France 2019

Faut-il lire le corrigé corrigé France 2019 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2019. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les diviseurs communs, la trigonométrie, le cylindre et la médiane et les statistiques. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé France 2019

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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