Corrigé du brevet de maths 2022 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2022 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé septembre 2022
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé septembre 2022 est découpé en 5 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « QCM de calcul » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Tarifs de location et fonctions » (exercice 2). Puis la correction reprend « Cerfs-volants et Scratch » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Péage de l’île de Ré » (exercice 4). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Tyrolienne et piscine » (exercice 5).
Ainsi, le corrigé corrigé septembre 2022 te fait revoir les fractions, les équations, les transformations du plan, le programme Scratch et la moyenne, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2022) : QCM de calcul
1. Pour multiplier deux puissances de 5, on additionne les exposants ; pour diviser, on les soustrait :
\[\dfrac{5^7 \times 5^3}{5^2} = \dfrac{5^{10}}{5^2} = 5^{10-2} = 5^8\]
C’est la réponse C.
2. Ensuite, on décompose : \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) et \(882 = 2 \times 3^2 \times 7^2\). Puis le plus grand diviseur commun est \(2 \times 3^2 \times 7 = 126\), et \(630 = 126 \times 5\), \(882 = 126 \times 7\). Donc \(\dfrac{630}{882} = \dfrac{5}{7}\), qui est irréductible car 5 et 7 sont premiers entre eux. Les réponses B et C sont égales à cette fraction mais se simplifient encore (par 7 et par 63). C’est la réponse A.
3. Puis on développe avec la double distributivité :
\[(x – 2)(3x + 7) = 3x^2 + 7x – 6x – 14 = 3x^2 + x – 14\]
C’est la réponse C.
4. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
- \(2x + 1 = 0\) donne \(x = -\dfrac{1}{2}\) ;
- \(-x + 3 = 0\) donne \(x = 3\).
C’est la réponse B.
5. « Ne pas tirer de boule noire », c’est tirer une boule blanche ou rouge : il y a \(4 + 2 = 6\) boules favorables sur 9, toutes équiprobables. Ensuite, la probabilité est \(\dfrac{6}{9}\) (on peut aussi passer par l’événement contraire : \(1 – \dfrac{3}{9} = \dfrac{6}{9}\)). C’est la réponse C.
Corrigé de l’exercice 2 : les tarifs de location
1. Avec le tarif « Affaire », chaque kilomètre coûte 0,50 € :
\[280 \times 0{,}5 = 140\]
Yanis va payer 140 €.
2. Alors on calcule le prix des trois offres pour 450 km :
- « Affaire » : \(450 \times 0{,}5 = 225\) € ;
- « Voyage court » : \(120 + 450 \times 0{,}2 = 120 + 90 = 210\) € ;
- « Voyage long » : 230 €.
Pour 450 km, l’offre la plus avantageuse est le tarif « Voyage court » (210 €).
3. a. Un prix fixe qui ne dépend pas de \(x\) correspond au forfait ; un prix proportionnel aux kilomètres correspond au tarif au kilomètre ; un forfait plus un prix au kilomètre donne une fonction affine :
- \(l\) correspond au tarif « Voyage long » ;
- \(m\) correspond au tarif « Affaire » ;
- \(n\) correspond au tarif « Voyage court ».
b. Puis on cherche \(x\) tel que \(m(x) = n(x)\) :
\[0{,}5x = 0{,}2x + 120\]
\[0{,}5x – 0{,}2x = 120\]
\[0{,}3x = 120 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{120}{0{,}3} = 400\]
Vérification : \(m(400) = 200\) et \(n(400) = 80 + 120 = 200\). Les deux tarifs sont égaux pour 400 km.
4. a. De plus, pour tracer chaque droite, deux points suffisent :
- \(l\) : droite horizontale passant par les points (0 ; 230) et (600 ; 230) ;
- \(m\) : fonction linéaire, droite passant par l’origine et par (400 ; 200) ;
- \(n\) : fonction affine, droite passant par (0 ; 120) et par (400 ; 200).
b. Le tarif « Voyage long » est le plus avantageux quand la droite de \(l\) est en dessous des deux autres. Ensuite, la droite de \(m\) passe au-dessus de 230 dès 460 km, mais celle de \(n\) ne la dépasse qu’à partir de son point d’intersection avec la droite de \(l\), dont on lit l’abscisse : 550.
Le calcul le confirme : \(0{,}2x + 120 = 230\) donne \(0{,}2x = 110\), soit \(x = 550\).
Le tarif « Voyage long » devient le plus avantageux lorsque Yanis parcourt plus de 550 km (à 550 km, « Voyage court » et « Voyage long » coûtent tous les deux 230 €).
Corrigé de l’exercice 3 : pavage de cerfs-volants et Scratch
Partie A
1. Le triangle SLP est équilatéral : ses trois angles sont égaux et leur somme vaut \(180^{\circ}\). Donc \(\widehat{\text{PSL}} = 180^{\circ} \div 3 =\) \(60^{\circ}\).
2. Les triangles SLP et PLA sont équilatéraux et ont le côté [PL] en commun : SLAP est un losange, dont (PL) est une diagonale, donc un axe de symétrie. Cette symétrie échange S et A. Par ailleurs, le cerf-volant 2, placé au sommet S, a pour image le cerf-volant placé au sommet A : le cerf-volant 5.
3. Le point J est le milieu de [PL], c’est-à-dire le centre du losange SLAP. La symétrie de centre J échange P et L, ainsi que S et A. Puis le cerf-volant 1, au sommet P du triangle SLP, est envoyé sur le cerf-volant situé au sommet L du triangle PLA, c’est-à-dire le 6. La transformation est la symétrie centrale de centre J (autrement dit la rotation de centre J et d’angle \(180^{\circ}\)).
Partie B
1. Avec l’échelle 1 cm pour 100 pas, chaque « avancer de 300 pas » trace un segment de 3 cm. Après chaque côté, le lutin tourne de \(120^{\circ}\) vers la gauche : l’angle intérieur entre deux côtés vaut donc \(180^{\circ} – 120^{\circ} = 60^{\circ}\). Ensuite, on obtient un triangle équilatéral de 3 cm de côté, et pas un cerf-volant.
Corrigé de l’exercice 3 : pavage de cerfs-volants et Scratch (suite)
2. Le cerf-volant a deux grands côtés égaux, deux petits côtés égaux, deux angles droits, un angle de \(60^{\circ}\) entre les deux grands côtés et donc un angle de \(360^{\circ} – 90^{\circ} – 90^{\circ} – 60^{\circ} = 120^{\circ}\) entre les deux petits côtés. Dans Scratch, un angle intérieur \(a\) s’obtient en tournant de \(180^{\circ} – a\) : on doit tourner de \(90^{\circ}\) aux angles droits et de \(60^{\circ}\) à l’angle de \(120^{\circ}\).
- Nicolas trace un triangle (question 1) : il ne convient pas.
- Tyago trace un petit côté, tourne de \(60^{\circ}\), puis trace un grand côté. Un angle de \(120^{\circ}\) entre un petit et un grand côté n’existe pas dans le cerf-volant (entre un petit et un grand côté, l’angle est droit) : son script ne convient pas, et la figure obtenue ne se referme d’ailleurs pas.
- Essya trace un grand côté (300), tourne de \(90^{\circ}\) (angle droit), trace un petit côté (173), tourne de \(60^{\circ}\) (angle de \(120^{\circ}\) entre les petits côtés), trace le second petit côté (173), tourne de \(90^{\circ}\) (angle droit), puis trace le second grand côté (300). Le lutin a tourné en tout de \(90 + 60 + 90 = 240^{\circ}\), il reste un angle de \(180^{\circ} – 120^{\circ} = 60^{\circ}\) pour fermer la figure au point de départ.
Le script correct est donc celui d’Essya. Puis on peut vérifier les longueurs : dans le cerf-volant, la diagonale partage l’angle de \(60^{\circ}\) en deux angles de \(30^{\circ}\), donc le petit côté vaut \(300 \times \tan 30^{\circ} \approx 173\) pas.
Corrigé de l’exercice 4 : le péage du pont de l’île de Ré
1. Le total est la somme des cellules B2 à B13. Ensuite, on a saisi : =SOMME(B2:B13).
2. La moyenne mensuelle est le total divisé par le nombre de mois :
\[\dfrac{2\,801\,172}{12} = 233\,431\]
Il y a eu en moyenne 233 431 passages par mois en 2020.
3. Le mois le plus chargé est juillet (389 250 passages), le plus calme avril (62 930 passages, en plein confinement). L’étendue est :
\[389\,250 – 62\,930 = 326\,320\]
L’étendue de la série est de 326 320 passages.
4. Le taux d’évolution se calcule par \(\dfrac{\text{valeur d^{\prime}arrivée} – \text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}} \times 100\) :
\[\dfrac{305\,214 – 179\,699}{179\,699} \times 100 = \dfrac{125\,515}{179\,699} \times 100 \approx 69{,}85\]
Le nombre de passages a augmenté d’environ 70 % entre mai 2020 et mai 2021.
5. De même, le pont mesure 3 000 m, soit 3 km, et 10 minutes représentent \(\dfrac{10}{60} = \dfrac{1}{6}\) d’heure. En une heure, il y a 6 fois 10 minutes, donc le cycliste parcourrait \(6 \times 3 = 18\) km.
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{3}{\frac{1}{6}} = 18\ \text{km/h}\]
Sa vitesse moyenne est de 18 km/h.
Corrigé de l’exercice 5 : la tyrolienne de Lya
1. Le segment [BC] est formé de trois morceaux : 12,20 m avant la piscine, la longueur de la piscine (6 m d’après le document 3) et 1,80 m après :
\[\text{BC} = 12{,}20 + 6 + 1{,}80 = 20\]
Puis on a bien BC = 20 m.
2. L’angle entre le câble et l’horizontale est l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\). De plus, dans le triangle ABC rectangle en B, [AB] est le côté opposé à cet angle et [BC] le côté adjacent :
\[\tan \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{5{,}5}{20} = 0{,}275\]
À la calculatrice, \(\widehat{\text{ACB}} \approx 15{,}4^{\circ}\). Comme \(15{,}4^{\circ} \lt 30^{\circ}\), la tyrolienne est conforme à la réglementation.
3. Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 5{,}5^2 + 20^2 = 30{,}25 + 400 = 430{,}25\]
\[\text{AC} = \sqrt{430{,}25} \approx 20{,}74\]
Il faut environ 21 m de câble, arrondi à l’unité.
4. Les pieds de Lya touchent l’eau lorsque son corps, vertical et long de 1,50 m, relie le câble au niveau de l’eau : c’est la position du segment [ED], avec ED = 1,50 m.
Les droites (AB) et (ED) sont toutes les deux perpendiculaires à (BC), donc elles sont parallèles. De plus, E est sur [CA] et D sur [CB]. D’après le théorème de Thalès dans les triangles CED et CAB :
\[\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{AB}}\]
\[\dfrac{\text{CD}}{20} = \dfrac{1{,}5}{5{,}5} \quad \text{donc} \quad \text{CD} = \dfrac{20 \times 1{,}5}{5{,}5} = \dfrac{30}{5{,}5} \approx 5{,}4545\]
Les pieds de Lya toucheront l’eau à environ 5,45 m du peuplier. C’est bien au-dessus de la piscine, qui s’étend de 1,80 m à 7,80 m du peuplier.
Corrigé de l’exercice 5 : la tyrolienne de Lya (suite)
5. La piscine est un pavé droit de 6 m sur 6 m et de 1,60 m de profondeur :
\[V = 6 \times 6 \times 1{,}6 = 36 \times 1{,}6 = 57{,}6\]
Le volume de la piscine est de \(57{,}6\ \text{m}^3\).
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Bien réviser avec le corrigé corrigé septembre 2022
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Pour les transformations du plan, repère d’abord le centre, l’axe ou le vecteur de la transformation, ensuite place chaque image au compas ou sur le quadrillage. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé septembre 2022, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé septembre 2022
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2022 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2022. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les équations, les transformations du plan et le programme Scratch. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé septembre 2022
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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