Corrigé du brevet de maths 2022 : France
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2022 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé brevet 2022
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé brevet 2022 est découpé en 5 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Rivière : Thalès et Pythagore » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « QCM » (exercice 2). Puis la correction reprend « Cartes Pokémon et PGCD » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Rectangle, carré et Scratch » (exercice 4). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Fuite d’eau et vasque » (exercice 5).
Ainsi, le corrigé corrigé brevet 2022 te fait revoir le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore, les aires, les diviseurs communs et le programme Scratch, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de l’exercice 1 (brevet 2022) : largeur d’une rivière avec Thalès et Pythagore
1. Sur le schéma, l’angle en A est droit, donc \((AC)\perp(AB)\). L’angle en B est droit aussi, donc \((BD)\perp(AB)\). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Les droites (AC) et (BD) sont donc parallèles.
2. Les droites (AB) et (CD) se coupent en E. De même, les points A, E, B d’un côté et C, E, D de l’autre sont alignés, et (AC) est parallèle à (BD) d’après la question 1. Ensuite, on est dans une configuration « papillon » : le théorème de Thalès s’applique aux triangles EAC et EBD.
\[\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{AC}{BD}\]
Avec EA = 20 pas, EB = 5 pas et BD = 1 pas : \(\dfrac{20}{5}=\dfrac{AC}{1}\), donc \(AC=4\times 1=4\).
La rivière mesure 4 pas de large.
3. Puis on convertit en mètres avec 1 pas = 0,65 m : \(AC=4\times 0{,}65=2{,}6\ \text{m}\) et \(AE=20\times 0{,}65=13\ \text{m}\).
Le triangle ACE est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[CE^2=AC^2+AE^2=2{,}6^2+13^2=6{,}76+169=175{,}76\]
\[CE=\sqrt{175{,}76}\approx 13{,}257\ \text{m}\]
Au décimètre près (un chiffre après la virgule en mètres), CE ≈ 13,3 m.
4. a. Le bâton parcourt la distance EC, soit environ 13,3 m, en 5 s. La vitesse est la distance divisée par la durée :
\[v=\dfrac{13{,}3}{5}=2{,}66\ \text{m/s}\]
Le bâton avance à environ 2,66 m/s. (Avec la valeur non arrondie 13,257 m, on trouverait environ 2,65 m/s, ce qui ne change pas la suite.)
b. En une heure il y a 3 600 secondes. En une heure, le bâton parcourt donc \(2{,}66\times 3600=9576\) m, c’est-à-dire 9,576 km.
\[2{,}66\ \text{m/s}=9{,}576\ \text{km/h}\]
Comme \(9{,}576\lt 10\), l’affirmation est vraie : le bâton va moins vite que 10 km/h.
Corrigé de l’exercice 2 : QCM (transformation, fonctions, médiane, agrandissement)
1. Chaque point de la figure 1 est déplacé de la même façon pour arriver sur la figure 2 : 3 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas (B va en B’, A en A’, E en E’). La figure garde sa taille et son orientation, sans retournement. C’est un glissement : réponse A, une translation.
2. Chercher l’antécédent de 2, c’est chercher l’abscisse \(x\) telle que \(g(x)=2\). On part de 2 sur l’axe des ordonnées, on rejoint la droite, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit \(x=1\). On a bien \(g(1)=2\). Réponse B : 1.
3. Alors on teste chaque affirmation.
\(f(2)=3\times 2^2-7=3\times 4-7=12-7=5\), donc 29 n’est pas l’image de 2 : la réponse A est fausse.
\(f(3)=3\times 3^2-7=3\times 9-7=27-7=20\) : c’est juste.
\(f\) contient un terme en \(x^2\), ce n’est donc pas une fonction affine (de la forme \(ax+b\)). Réponse B : \(f(3)=20\).
4. Ensuite, on range les 13 performances dans l’ordre croissant :
3,41 ; 3,7 ; 4,01 ; 4,28 ; 4,3 ; 4,62 ; 4,91 ; 5,15 ; 5,25 ; 5,42 ; 5,82 ; 6,07 ; 6,11
Il y a 13 valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 7e (6 valeurs avant, 6 valeurs après). Réponse B : 4,91 m. La réponse A (7) ne peut pas convenir : elle dépasse toutes les valeurs de la série.
5. Les triangles sont semblables. Puis on associe les côtés du plus petit au plus grand dans l’ordre des longueurs : 2,1 avec 6,3 ; 2,4 avec 7,2 ; 2,5 avec 7,5. Les quotients sont égaux :
\[\dfrac{6{,}3}{2{,}1}=\dfrac{7{,}2}{2{,}4}=\dfrac{7{,}5}{2{,}5}=3\]
Le triangle BUT est donc un agrandissement de LAC de rapport \(k=3\). Quand les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\), ici \(3^2=9\). Réponse C : 9.
Corrigé de l’exercice 3 : cartes Pokémon, facteurs premiers et PGCD
1. a. Une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. Dans la proposition 1, 9 n’est pas premier (\(9=3\times 3\)). Dans la proposition 2, 21 n’est pas premier (\(21=3\times 7\)). La proposition 3 ne contient que 2, 3 et 7, qui sont premiers, et \(2^2\times 3^2\times 7=4\times 9\times 7=252\). C’est la proposition 3 : \(252=2^2\times 3^2\times 7\).
b. Ensuite, on divise successivement par les nombres premiers : \(156=2\times 78\), \(78=2\times 39\), \(39=3\times 13\), et 13 est premier. Donc \(156=2^2\times 3\times 13\).
2. Pour faire des paquets identiques avec toutes les cartes, le nombre de paquets doit diviser à la fois 252 (cartes feu) et 156 (cartes terre).
a. \(252\div 36=7\) tombe juste, mais \(156\div 36\approx 4{,}33\) ne tombe pas juste (\(156=36\times 4+12\)). 36 ne divise pas 156, donc elle ne peut pas faire 36 paquets.
b. Le nombre maximal de paquets est le plus grand diviseur commun de 252 et 156. Puis on prend les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec le plus petit exposant : 2 apparaît au carré dans les deux, 3 apparaît au moins une fois dans les deux, 7 et 13 ne sont pas communs.
\[\text{PGCD}(252\,;156)=2^2\times 3=12\]
Elle peut réaliser au maximum 12 paquets.
c. \(252\div 12=21\) et \(156\div 12=13\). Chaque paquet contient 21 cartes « feu » et 13 cartes « terre ».
3. Elle possède \(252+156=408\) cartes. Le tirage se fait au hasard avec des cartes indiscernables au toucher : chaque carte a la même chance d’être tirée. La probabilité est donc le nombre de cartes « terre » divisé par le nombre total de cartes :
\[P=\dfrac{156}{408}=\dfrac{13\times 12}{34\times 12}=\dfrac{13}{34}\approx 0{,}38\]
La probabilité de tirer une carte « terre » est \(\dfrac{13}{34}\).
Corrigé de l’exercice 4 : calcul littéral, Scratch et équation
1. L’aire d’un carré de côté \(x\) vaut \(x\times x\). L’aire du carré est \(x^2\).
2. De même, L’aire du rectangle est longueur × largeur. Alors on développe avec la double distributivité :
\[(x-3)(x+7)=x\times x+x\times 7-3\times x-3\times 7=x^2+7x-3x-21\]
En réduisant \(7x-3x=4x\), on obtient bien \(x^2+4x-21\).
3. Le programme construit l’aire \(x^2+4x-21\) morceau par morceau dans la variable R. La ligne 4 met déjà \(x\times x=x^2\) dans R. Il reste à ajouter \(4x\), puis à ajouter \(-21\), puis à afficher R.
Ligne 5 : 4 (le bloc devient « ajouter 4 * x à R »).
Ligne 6 : -21 (le bloc devient « ajouter -21 à R » : ajouter \(-21\), c’est retrancher 21).
De même, ligne 7 : la variable R (le bloc devient « dire regrouper L’aire du rectangle est et R pendant 2 secondes »).
4. Ensuite, on suit le programme avec \(x=8\) :
- ligne 4 : R prend la valeur \(8\times 8=64\) ;
- ligne 5 : on ajoute \(4\times 8=32\), R vaut \(64+32=96\) ;
- ligne 6 : on ajoute \(-21\), R vaut \(96-21=75\).
Puis on vérifie avec les dimensions : \((8-3)\times(8+7)=5\times 15=75\). Le programme affiche « L’aire du rectangle est 75 ».
5. On veut que les deux aires soient égales, donc on résout :
\[x^2+4x-21=x^2\]
On retire \(x^2\) de chaque côté : \(4x-21=0\), puis \(4x=21\), et enfin \(x=\dfrac{21}{4}=5{,}25\).
Cette valeur est bien strictement supérieure à 3. Vérification : le carré a pour aire \(5{,}25^2=27{,}5625\) et le rectangle \(2{,}25\times 12{,}25=27{,}5625\). Il faut choisir \(x=5{,}25\).
Corrigé de l’exercice 5 : fuite d’eau, volume d’un cylindre et pourcentage
1. Il tombe une goutte par seconde, il suffit donc de compter les secondes d’une journée. Une heure dure \(60\times 60=3600\) s et une journée 24 h :
\[24\times 3600=86\,400\ \text{s}\]
Il tombe donc 86 400 gouttes en une journée.
2. En une semaine, soit 7 jours : \(7\times 86\,400=604\,800\) gouttes. Comme 20 gouttes font 1 ml, cela fait \(604\,800\div 20=30\,240\) ml. Il y a 1 000 ml dans un litre, donc :
\[30\,240\ \text{ml}=30{,}24\ \text{L}\]
En une semaine, 30,24 litres d’eau tombent dans la vasque.
3. Pour obtenir directement des litres, on travaille en décimètres, car \(1\ \text{dm}^3=1\) L. Le diamètre de 40 cm donne un rayon de 20 cm, soit 2 dm ; la hauteur de 15 cm vaut 1,5 dm.
\[V=\pi\times 2^2\times 1{,}5=6\pi\approx 18{,}849\ \text{dm}^3\]
Au centilitre près (deux chiffres après la virgule en litres), la vasque contient environ 18,85 litres.
4. En une semaine, il tombe 30,24 L d’eau alors que la vasque ne peut en contenir qu’environ 18,85 L. Comme \(30{,}24\gt 18{,}85\), l’eau va déborder de la vasque. On peut même préciser qu’elle est pleine au bout de \(18{,}85\div 4{,}32\approx 4{,}4\) jours, puisqu’il tombe \(86\,400\div 20=4320\) ml = 4,32 L par jour.
5. La consommation passe de 165 L à 148 L, soit une baisse de \(165-148=17\) L. Ensuite, on rapporte cette baisse à la valeur de départ (2004) :
\[\dfrac{17}{165}\approx 0{,}103=10{,}3\,\%\]
La consommation quotidienne a diminué d’environ 10 % entre 2004 et 2018. La donnée sur le XIXe siècle (17 litres) ne sert pas dans ce calcul.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé brevet 2022
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Quant au théorème de Thalès, cite d’abord les deux droites parallèles et les points alignés, ensuite seulement l’égalité des trois rapports. Dans les questions sur le théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Pour les aires, découpe une figure complexe en figures simples, ensuite additionne ou soustrais leurs aires. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de théorème de Thalès, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé brevet 2022, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé brevet 2022
Faut-il lire le corrigé corrigé brevet 2022 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2022. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore, les aires et les diviseurs communs. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé brevet 2022
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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