Corrigé du brevet de maths 2022 : Centres étrangers
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2022 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé centres étrangers
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé centres étrangers suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 5 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « QCM fonction affine et Pythagore » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Statistiques de Paris-Nice » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Trigonométrie et Thalès » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Scratch et parallélogrammes » (exercice 4). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Truffes : diviseurs et volumes » (exercice 5).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé centres étrangers sont les fonctions affines, le tableur, le théorème de Pythagore, la médiane et les statistiques et la trigonométrie, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (centres étrangers) : fonction affine, tableur, calcul littéral et Pythagore
Partie A
1. La fonction \(f(x)=2x+3\) est affine, de coefficient directeur 2 et d’ordonnée à l’origine 3. Sa représentation est donc une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 3) et qui monte de 2 unités quand \(x\) augmente de 1. Puis le graphique B est une droite horizontale (fonction constante) et le graphique C passe par l’origine (c’est \(x\mapsto 2x\)). Seul le graphique A convient : réponse A.
2. Ensuite, on remplace \(x\) par \(-2\) : \(f(-2)=2\times(-2)+3=-4+3=-1\). Réponse B.
3. Dans la colonne B, la valeur de \(x\) est dans la cellule B1 ; il faut donc calculer \(2\times\text{B1}+3\). En étirant vers la droite, B1 deviendra C1, ce qui donne bien l’image de \(-1\) en C2. Ensuite, la réponse A utiliserait la cellule A1 qui contient du texte, et la réponse C donne toujours l’image de \(-2\), même après étirement. Réponse B : =2*B1 +3.
Partie B
1. On développe le produit avec la double distributivité, puis on réduit :
\[(2x-1)(3x+4)-2x=6x^2+8x-3x-4-2x\]
\[(2x-1)(3x+4)-2x=6x^2+3x-4\]
Puis on obtient bien \((2x-1)(3x+4)-2x=6x^2+3x-4\).
2. Si le triangle était rectangle, l’hypoténuse serait le plus grand côté, ici [DE]. Alors on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres :
\[\text{DE}^2=5{,}5^2=30{,}25\]
\[\text{CD}^2+\text{CE}^2=3{,}6^2+4{,}2^2=12{,}96+17{,}64=30{,}6\]
Comme \(30{,}25\neq 30{,}6\), l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle CDE n’est pas rectangle.
Corrigé de l’exercice 2 : statistiques et vitesse sur Paris-Nice 2021
1. a. La moyenne est la somme des distances divisée par le nombre d’étapes :
\[\dfrac{166+188+187{,}5+200+202{,}5+119{,}5+93}{7}=\dfrac{1156{,}5}{7}\approx 165{,}21\]
La distance moyenne par étape est d’environ 165,2 km.
1. b. On range d’abord les 7 distances dans l’ordre croissant : 93 ; 119,5 ; 166 ; 187,5 ; 188 ; 200 ; 202,5. L’effectif 7 est impair, donc la médiane est la valeur du milieu, la 4e : il y en a trois avant et trois après. Puis la médiane vaut 187,5 km.
1. c. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : \(202{,}5-93=109{,}5\). L’étendue est de 109,5 km.
2. Les étapes au profil « Accidenté » sont les étapes 1, 3, 5 et 7, soit 4 étapes sur 7. Leur proportion vaut :
\[\dfrac{4}{7}\approx 0{,}571\text{, soit environ }57{,}1\ \%\]
Le journaliste a raison : environ 57 % des étapes étaient accidentées.
3. Ensuite, on calcule l’écart entre 28 h 50 min et 30 h 12 min en passant par une heure ronde : de 28 h 50 min à 29 h, il s’écoule 10 min ; de 29 h à 30 h 12 min, il s’écoule 1 h 12 min. Au total : 10 min + 1 h 12 min = 1 h 22 min. Le dernier a accumulé 1 h 22 min de retard sur le vainqueur.
Corrigé de l’exercice 2 : statistiques et vitesse sur Paris-Nice 2021 (suite)
4. La première étape mesure 166 km. De plus, on convertit la durée en heures : 51 min = \(\dfrac{51}{60}\) h = 0,85 h, donc 3 h 51 min = 3,85 h. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée :
\[v=\dfrac{166}{3{,}85}\approx 43{,}1\ \text{km/h}\]
Sa vitesse moyenne était d’environ 43 km/h.
Corrigé de l’exercice 3 : trigonométrie, Thalès et aire
1. Le codage indique que le triangle ABC est rectangle en B. Son hypoténuse est [AC], de longueur 8 cm, et [AB] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{BAC}\) qui mesure 60°. Puis on utilise le cosinus :
\[\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}\quad\text{donc}\quad \text{AB}=8\times\cos 60^\circ=8\times 0{,}5=4\]
Le segment [AB] mesure bien 4 cm.
2. Les points C, A, E sont alignés, ainsi que B, A, D, et ils le sont dans le même ordre (A est entre C et E, et entre B et D). Ensuite, on compare les rapports :
\[\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}}=\dfrac{4}{9{,}6}=\dfrac{5}{12}\qquad \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}}=\dfrac{8}{19{,}2}=\dfrac{5}{12}\]
Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
3. La droite (DB) est perpendiculaire à (BC) (angle droit en B). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Comme (BC) et (DE) sont parallèles, la droite (DB) est perpendiculaire à (DE) : le triangle ADE est rectangle en D.
4. Dans le triangle ADE rectangle en D, l’hypoténuse est [AE]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{DE}^2=\text{AE}^2-\text{AD}^2=19{,}2^2-9{,}6^2=368{,}64-92{,}16=276{,}48\]
\[\text{DE}=\sqrt{276{,}48}\approx 16{,}63\ \text{cm}\]
Les deux côtés de l’angle droit sont [AD] et [DE], donc l’aire du triangle vaut :
\[\mathcal{A}=\dfrac{\text{AD}\times\text{DE}}{2}=\dfrac{9{,}6\times\sqrt{276{,}48}}{2}\approx 79{,}8\]
L’aire du triangle ADE est d’environ 80 cm².
Autre méthode pour vérifier : le rapport d’agrandissement de ABC à ADE est \(\dfrac{19{,}2}{8}=2{,}4\). Ensuite, l’aire de ABC vaut \(\dfrac{4\times\sqrt{8^2-4^2}}{2}=2\sqrt{48}\approx 13{,}86\ \text{cm}^2\), et les aires sont multipliées par \(2{,}4^2=5{,}76\) : \(13{,}86\times 5{,}76\approx 79{,}8\ \text{cm}^2\). On retrouve bien 80 cm².
Corrigé de l’exercice 4 : programmes Scratch et parallélogrammes
Partie A
Le lutin part du sommet en bas à gauche, tourné vers la droite. Par ailleurs, il trace d’abord le côté du bas (avancer de 40). Arrivé au sommet en bas à droite, il doit repartir le long du côté oblique, qui fait un angle de 40° avec l’horizontale : il tourne donc de 40° vers la gauche (on tourne de 180° − 140° = 40°, le supplément de l’angle intérieur). Il avance alors de 30. Au sommet en haut à droite, l’angle intérieur vaut 40°, donc il tourne de 180° − 40° = 140° vers la gauche pour repartir vers la gauche. Répéter ces quatre instructions deux fois ferme le parallélogramme, et le lutin a tourné au total de \(2\times(40+140)=360\) degrés, il reprend donc son orientation de départ.
Le script complet est :
- définir motif
- répéter 2 fois :
- avancer de 40
- tourner vers la gauche de 40 degrés
- avancer de 30
- tourner vers la gauche de 140 degrés
Les instructions à recopier, dans l’ordre, sous « avancer de 40 » : tourner à gauche de 40 degrés, avancer de 30, tourner à gauche de 140 degrés.
Partie B
1. Le programme de l’élève B démarre avec « Quand espace est cliqué » : on le lance en appuyant sur la barre d’espace du clavier.
Corrigé de l’exercice 4 : programmes Scratch et parallélogrammes (suite)
2. a. L’élève A trace un motif, relève le stylo puis avance de 50 vers la droite avant le motif suivant, sans jamais tourner (le motif rend le lutin dans sa position et son orientation de départ). Puis les neuf parallélogrammes sont donc alignés. Comme le côté du bas mesure 40 et que le lutin avance de 50, il reste un espace de 10 pixels entre deux motifs : c’est la figure 1 (la figure 3, où les motifs se touchent, correspondrait à un déplacement de 40).
2. b. L’élève B ne déplace jamais le lutin entre deux motifs : il tourne seulement de 40° sur place. Les neuf parallélogrammes partent donc tous du même point, et \(9\times 40=360\) degrés : ils font un tour complet autour de ce point. C’est la figure 4.
Corrigé de l’exercice 5 : diviseurs communs et volumes de boîtes de truffes
1. a. On divise par les nombres premiers successifs : \(125=5\times 25=5\times5\times5\), donc \(125=5^3\). Et \(175=5\times 35=5\times5\times7\), donc \(175=5^2\times 7\).
1. b. Un diviseur commun ne peut contenir que les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, au plus avec l’exposant le plus petit : ici au plus \(5^2\). Ensuite, les diviseurs communs à 125 et 175 sont donc \(5^0\), \(5^1\) et \(5^2\), soit 1, 5 et 25.
1. c. Le nombre de boîtes doit diviser à la fois 125 (pour répartir toutes les truffes au café) et 175 (pour les truffes à la noix de coco). C’est donc un diviseur commun, et le plus grand est 25 : il pourra réaliser au maximum 25 boîtes.
1. d. \(125\div 25=5\) et \(175\div 25=7\). Chaque boîte contiendra 5 truffes au café et 7 truffes à la noix de coco (12 truffes en tout).
2. Volume des 12 truffes. Une truffe a un diamètre de 1,5 cm, donc un rayon de 0,75 cm :
\[V_{\text{truffes}}=12\times\dfrac{4}{3}\times\pi\times 0{,}75^3=6{,}75\pi\approx 21{,}2\ \text{cm}^3\]
La condition « volume occupé supérieur au volume non occupé » revient à dire que les truffes occupent plus de la moitié de la boîte.
Boîte de type A (pyramide). L’aire de la base est \(4{,}8\times 4{,}8=23{,}04\ \text{cm}^2\), donc :
\[V_A=\dfrac{23{,}04\times 5}{3}=38{,}4\ \text{cm}^3\]
Volume non occupé : \(38{,}4-21{,}2\approx 17{,}2\ \text{cm}^3\). Comme \(21{,}2\gt 17{,}2\), la condition est respectée.
Boîte de type B (pavé droit).
\[V_B=5\times 3{,}5\times 3{,}5=61{,}25\ \text{cm}^3\]
Volume non occupé : \(61{,}25-21{,}2\approx 40{,}05\ \text{cm}^3\). Comme \(21{,}2\lt 40{,}05\), la condition n’est pas respectée.
Le chocolatier doit donc choisir uniquement la boîte de type A, en forme de pyramide.
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Comment utiliser le corrigé corrigé centres étrangers
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Dans les questions sur les fonctions affines, rappelle-toi que la représentation graphique est une droite, donc deux points suffisent pour la tracer. Pour le tableur, écris la formule en commençant par le signe =, puis vérifie les références de cellules avant de la recopier. En ce qui concerne le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Au besoin, la définition de la notion de fonction affine sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé centres étrangers parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé centres étrangers
Faut-il lire le corrigé corrigé centres étrangers en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2022. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fonctions affines, le tableur, le théorème de Pythagore et la médiane et les statistiques. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé centres étrangers
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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