Corrigé du brevet de maths 2013 : Centres étrangers

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2013 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : QCM de calcul et de géométrie

1. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x+7=0\) donne \(x=-7\), et \(2x-7=0\) donne \(x=\dfrac{7}{2}=3{,}5\). Réponse A.

2. On développe : \(-2x-14\leqslant-16\), donc \(-2x\leqslant-2\). On divise par \(-2\), qui est négatif : le sens de l’inégalité change, et on obtient \(x\geqslant1\). Réponse B : tous les nombres supérieurs ou égaux à 1.

3. Avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) : \((7x-5)^2=49x^2-2\times7x\times5+25=49x^2-70x+25\). Réponse B.

4. On reconnaît une différence de deux carrés : \(9-64x^2=3^2-(8x)^2=(3-8x)(3+8x)\). Réponse C.

5. Le liquide forme un petit cône qui est une réduction du cône du verre de coefficient \(\dfrac{1}{2}\) (sa hauteur est \(\dfrac{h}{2}\)). Dans une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) : le volume du liquide vaut \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}\) du volume du verre. C’est bien moins que la moitié. Réponse B.

6. La section d’un cube par un plan parallèle à une arête est toujours un rectangle. Ici, [EH] est une arête verticale et [EM] est dans la face du bas, donc l’angle \(\widehat{\text{HEM}}\) est droit. Ce n’est pas un carré : EH est égal à l’arête du cube, alors que EM est l’hypoténuse du triangle EAM rectangle en A, donc EM est plus grand que EA, c’est-à-dire que l’arête. Réponse C : un rectangle.

Corrigé de l’exercice 2 : fréquences et probabilités avec un jeu de cartes

1. Le tirage est au hasard, chaque carte a la même probabilité d’être tirée. Il y a 8 trèfles parmi 32 cartes :

\[P(A)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\]

La probabilité de l’évènement \(A\) est \(\dfrac{1}{4}\).

2. La fréquence est l’effectif divisé par le nombre total de tirages, ici 24. On lit 6 cœurs et 8 trèfles sur le diagramme :

• cœur : \(\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\) ;
• trèfle : \(\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}\approx0{,}33\).

Fréquence des cœurs : 0,25 ; fréquence des trèfles : \(\dfrac{1}{3}\).

3. Les fréquences observées sur 24 tirages dépendent du hasard et ne donnent pas les chances réelles. Comme la carte est remise et le jeu mélangé à chaque fois, chaque nouveau tirage se fait dans les mêmes conditions : la probabilité d’obtenir un cœur et celle d’obtenir un trèfle sont toutes les deux égales à \(\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}\).

Non : Arthur et Julie ont exactement la même chance de gagner.

Corrigé de l’exercice 3 : triangle isocèle et cercle circonscrit

1. Le point A est équidistant de B et de C (car AB = AC) et le point O aussi (car OB = OC, ce sont deux rayons du cercle). La droite (AO) est donc la médiatrice de [BC]. Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base issue du sommet principal est aussi la bissectrice de l’angle au sommet. Donc \(\widehat{\text{BAM}}=\dfrac{50}{2}\) : \(\widehat{\text{BAM}}=25^\circ\).

2. La droite (OA) passe par le centre du cercle, donc [AM] est un diamètre de \((\mathcal{C})\). Le point B est sur le cercle : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, et l’angle droit est au sommet opposé à ce diamètre. Le triangle BAM est rectangle en B.

3. Dans le triangle BAM rectangle en B, l’hypoténuse est [AM] et le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{BAM}}\) est [AB] :

\[\cos\widehat{\text{BAM}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}\quad\text{donc}\quad\text{AM}=\dfrac{5}{\cos25^\circ}\approx5{,}517\]

Arrondie au dixième : AM ≈ 5,5 cm.

4. Les angles \(\widehat{\text{BKC}}\) et \(\widehat{\text{BAC}}\) sont deux angles inscrits dans le cercle \((\mathcal{C})\) qui interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{BC}}\) (K et A sont du même côté de la corde [BC]). Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure, donc \(\widehat{\text{BKC}}=50^\circ\).

Corrigé de l’exercice 4 : abonnés et recette d’une revue

1. Si le nombre d’abonnés était proportionnel au prix, la fonction \(A\) serait linéaire, de la forme \(A(x)=ax\), et sa représentation serait une droite passant par l’origine. Ici \(A(x)=-50x+1\,250\) a un terme constant et la droite coupe l’axe des ordonnées en 1 250, pas en 0. Autre façon de le voir : quand le prix double de 5 € à 10 €, le nombre d’abonnés passe de 1 000 à 750 au lieu de doubler. Le nombre d’abonnés n’est pas proportionnel au prix (\(A\) est une fonction affine décroissante).

2. \(A(10)=-50\times10+1\,250=-500+1\,250=750\). Concrètement : quand la revue coûte 10 €, elle a 750 abonnés.

3. Une fonction affine s’écrit \(x\mapsto ax+b\). L’expression de \(R\) contient un terme en \(x^2\) : \(R(x)=-50x^2+1\,250x\) ne peut pas s’écrire sous cette forme, et sa courbe n’est pas une droite. La fonction \(R\) n’est pas affine.

4. Le point le plus haut de la courbe de \(R\) a pour abscisse 12,5. La recette est maximale pour un prix de 12,50 € (elle vaut alors environ 7 800 €).

Contrôle par le calcul : \(R(12{,}5)=-50\times12{,}5^2+1\,250\times12{,}5=7\,812{,}5\) €.

5. On trace la droite horizontale d’ordonnée 6 800 : elle coupe la courbe en deux points, d’abscisses 8 et 17. Les antécédents de 6 800 par \(R\) sont 8 et 17.

Contrôle : \(R(8)=-3\,200+10\,000=6\,800\) et \(R(17)=-14\,450+21\,250=6\,800\).

6. Pour un prix de 5 € :

\[A(5)=-50\times5+1\,250=1\,000\quad\text{abonnés}\]

\[R(5)=-50\times5^2+1\,250\times5=-1\,250+6\,250=5\,000\ \text{€}\]

C’est logique : 1 000 abonnés qui paient 5 € rapportent \(1\,000\times5=5\,000\) €. La revue a 1 000 abonnés et une recette de 5 000 €.

Corrigé de l’exercice 5 : évolution du SMIC de 2001 à 2011

1. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(9{,}40-6{,}67=2{,}73\). L’étendue vaut 2,73 € : entre 2001 et 2011, le SMIC horaire brut a augmenté de 2,73 € (le SMIC ayant augmenté chaque année, le minimum est en 2001 et le maximum en 2011).

2. La série compte 11 valeurs, déjà rangées dans l’ordre (croissant en lisant de 2001 à 2011). La médiane est la 6^e valeur, qui laisse 5 valeurs de chaque côté : c’est celle de 2006. La médiane vaut 8,27 €.

3. Un pourcentage d’augmentation se calcule en divisant l’augmentation par la valeur de départ :

\[\text{2001 à 2002 : }\dfrac{0{,}16}{6{,}67}\approx0{,}0240\text{, soit environ }2{,}40\ \%\]

\[\text{2007 à 2008 : }\dfrac{0{,}19}{8{,}44}\approx0{,}0225\text{, soit environ }2{,}25\ \%\]

L’augmentation de 2007-2008 est plus grande en centimes, mais elle s’applique à un salaire de départ plus élevé : en pourcentage, elle est plus faible. Paul a tort.

Corrigé de l’exercice 6 : une longueur à trouver dans un carré

Par le calcul. Notons \(x\) la longueur commune BM = FD. Comme CD = 6 cm, on a CF = \(6-x\).

Les droites (BM) et (CF) sont parallèles, car ce sont deux côtés opposés du carré. Les points A, B, C sont alignés, ainsi que les points A, M, F. D’après le théorème de Thalès dans les triangles ABM et ACF :

\[\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{BM}}{\text{CF}}\quad\text{soit}\quad\dfrac{3}{9}=\dfrac{x}{6-x}\]

Les produits en croix donnent \(3(6-x)=9x\), donc \(18-3x=9x\), puis \(12x=18\) et \(x=1{,}5\).

Ainsi BM = FD = 1,5 cm et CF = 6 − 1,5 = 4,5 cm.

Vérification : avec CF = 4,5, Thalès donne \(\text{BM}=4{,}5\times\dfrac{3}{9}=1{,}5\), et FD = 6 − 4,5 = 1,5. Les deux longueurs sont bien égales.

Par construction. Si BM = FD, le quadrilatère BMDF a deux côtés opposés [BM] et [FD] parallèles et de même longueur : c’est un parallélogramme. Ses diagonales [MF] et [BD] ont donc le même milieu, qui est le milieu de [BD], c’est-à-dire le centre O du carré. On trace les diagonales du carré pour placer O, puis la droite (AO) : elle coupe [BE] en M et [CD] en F, et on mesure CF = 4,5 cm.

Corrigé de l’exercice 7 : dose d’un médicament et formule de Mosteller

1. La notice impose de ne pas dépasser 70 mg par jour, quelle que soit la surface corporelle. Joé a reçu 100 mg, ce qui dépasse ce plafond. La posologie n’a pas été respectée pour Joé.

(Sans le plafond, sa surface corporelle \(\sqrt{\dfrac{150\times50}{3\,600}}\approx1{,}44\) m² donnerait environ 101 mg ; c’est justement pour cela que la notice limite la dose à 70 mg.)

2. Attention aux unités : la formule demande la taille en centimètres, donc 1,05 m = 105 cm.

\[\sqrt{\dfrac{105\times17{,}5}{3\,600}}=\sqrt{\dfrac{1\,837{,}5}{3\,600}}\approx\sqrt{0{,}5104}\approx0{,}714\]

La surface corporelle de Lou est bien d’environ 0,71 m².

3. La dose prévue est de 70 mg par mètre carré de surface corporelle :

\[70\times0{,}7144\approx50{,}0\ \text{mg}\]

Cette dose est inférieure au plafond de 70 mg par jour. Lou a reçu 50 mg, ce qui correspond à la dose calculée. La posologie a été respectée pour Lou.

Remarque : si l’on utilise la valeur arrondie 0,71 m², on trouve \(70\times0{,}71=49{,}7\) mg. L’écart de 0,3 mg vient uniquement de l’arrondi : avec la surface non arrondie (\(0{,}7144\) m²), la dose exacte est 50,01 mg, donc les 50 mg administrés conviennent.

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