Corrigé du bac de maths 2021 : Amérique du Nord, mai

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2021, Amérique du Nord, mai) 5 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec logarithme

Partie A

1. Construire l'arbre pondéré.

Le premier niveau de l'arbre sépare les athlètes dopés des autres, le second donne le résultat du test. Ensuite, on lit dans l'énoncé \(P(D) = 0{,}08\), \(P_D(T) = 0{,}98\) (sensibilité) et \(P_{\overline{D}}(\overline{T}) = 0{,}995\) (spécificité). Les probabilités manquantes s'obtiennent par complément, car la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1 : \(P(\overline{D}) = 0{,}92\), \(P_D(\overline{T}) = 0{,}02\) et \(P_{\overline{D}}(T) = 0{,}005\).

• \(D\) avec la probabilité \(0{,}08\)
  • \(T\) avec la probabilité \(0{,}98\)
  • \(\overline{T}\) avec la probabilité \(0{,}02\)
• \(\overline{D}\) avec la probabilité \(0{,}92\)
  • \(T\) avec la probabilité \(0{,}005\)
  • \(\overline{T}\) avec la probabilité \(0{,}995\)

En conclusion : l'arbre a deux branches principales \(D\) (0,08) et \(\overline{D}\) (0,92), puis \(T\) (0,98) ou \(\overline{T}\) (0,02) après \(D\), et \(T\) (0,005) ou \(\overline{T}\) (0,995) après \(\overline{D}\).

2. Démontrer que \(P(T) = 0{,}083\).

Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne donc \(P(T) = P(D \cap T) + P(\overline{D} \cap T)\), chaque terme étant le produit des probabilités lues sur le chemin correspondant de l'arbre.

\[P(T) = 0{,}08 \times 0{,}98 + 0{,}92 \times 0{,}005 = 0{,}0784 + 0{,}0046 = 0{,}083.\]

En conclusion : \(P(T) = 0{,}083\).

3. a. Probabilité qu'un athlète testé positif soit dopé.

Alors, on cherche \(P_T(D)\), c'est-à-dire l'arbre « à l'envers ». Ensuite, on revient à la définition d'une probabilité conditionnelle, en réutilisant \(P(D \cap T) = 0{,}0784\) calculée plus haut :

\[P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}0784}{0{,}083} \approx 0{,}94458.\]

En conclusion : \(P_T(D) \approx 0{,}945\) à \(10^{-3}\) près.

Question 3 b

3. b. Le test sera-t-il commercialisé ?

Le critère du laboratoire porte exactement sur \(P_T(D)\), qui doit atteindre au moins \(0{,}95\). Or \(P_T(D) \approx 0{,}9446\), valeur strictement inférieure à \(0{,}95\) (l'arrondi n'y change rien, puisque la valeur exacte vaut moins de \(0{,}945\)). Environ 5,5 % des athlètes contrôlés positifs ne seraient en réalité pas dopés, ce qui est jugé trop élevé.

En conclusion : \(P_T(D) \lt 0{,}95\), le test ne sera pas commercialisé.

Partie B

1. a. Loi de \(X\) et ses paramètres.

Contrôler un athlète est une épreuve à deux issues : « succès » s'il est positif, avec la probabilité \(p = 0{,}103\), « échec » sinon. Les 5 athlètes sont choisis au hasard parmi un grand nombre de participants, on assimile donc ces 5 contrôles à des répétitions identiques et indépendantes de cette épreuve de Bernoulli. \(X\) compte le nombre de succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(5\,;\,0{,}103)\).

1. b. Calcul et interprétation de \(E(X)\).

Pour une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), l'espérance vaut \(np\). Ici \(E(X) = 5 \times 0{,}103 = 0{,}515\). Cette valeur est une moyenne sur un grand nombre de séries de contrôles : si l'on répète de nombreuses fois le contrôle de 5 athlètes, on obtient en moyenne un peu plus d'un demi-test positif par série, soit environ 51,5 tests positifs pour 100 séries de 5 contrôles.

En conclusion : \(E(X) = 0{,}515\) : en moyenne, environ 0,5 athlète positif par groupe de 5 contrôlés.

1. c. Probabilité qu'au moins un athlète soit positif.

L'évènement « au moins un positif » est le contraire de « aucun positif », c'est-à-dire \(X = 0\). Ainsi, on a \(P(X = 0) = (1 - 0{,}103)^5 = 0{,}897^5 \approx 0{,}58071\), donc :

\[P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}897^5 \approx 0{,}41929.\]

En conclusion : \(P(X \geqslant 1) \approx 0{,}419\).

Question 2

2. Nombre minimal de contrôles pour que \(P(\text{au moins un positif}) \geqslant 0{,}75\).

Avec \(n\) athlètes contrôlés, le même raisonnement donne une probabilité \(1 - 0{,}897^n\) d'avoir au moins un test positif. Alors, on résout :

\[1 - 0{,}897^n \geqslant 0{,}75 \iff 0{,}897^n \leqslant 0{,}25 \iff n\ln(0{,}897) \leqslant \ln(0{,}25).\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, ce qui justifie la dernière équivalence. Comme \(\ln(0{,}897) \lt 0\), diviser par ce nombre renverse l'inégalité :

\[n \geqslant \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}897)} \approx 12{,}75.\]

Le plus petit entier convenable est 13. Contrôle numérique : \(1 - 0{,}897^{12} \approx 0{,}729\), insuffisant, alors que \(1 - 0{,}897^{13} \approx 0{,}757\).

En conclusion : il faut contrôler au minimum 13 athlètes.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2021, Amérique du Nord, mai) 5 points

Suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\), étude de fonction, raisonnement par récurrence, limite monotone, algorithme de seuil en Python

1. Population au début de 2021 et de 2022.

Le début de 2021 correspond à \(n = 1\) et celui de 2022 à \(n = 2\). Puis on applique deux fois la relation de récurrence :

\[u_1 = 0{,}75 \times 0{,}6 \times (1 - 0{,}15 \times 0{,}6) = 0{,}45 \times 0{,}91 = 0{,}4095.\]

\[u_2 = 0{,}75 \times 0{,}4095 \times (1 - 0{,}15 \times 0{,}4095) = 0{,}307125 \times 0{,}938575 \approx 0{,}28826.\]

Les termes sont exprimés en milliers : \(u_1\) correspond à 409,5 individus et \(u_2\) à environ 288 individus.

En conclusion : environ 410 individus début 2021 et environ 288 individus début 2022.

2. Croissance de \(f\) sur \([0\,;\,1]\) et tableau de variations.

Ensuite, on développe d'abord : \(f(x) = 0{,}75x - 0{,}1125x^2\). C'est un polynôme, dérivable sur \([0\,;\,1]\), et \(f'(x) = 0{,}75 - 0{,}225x\).

Pour \(0 \leqslant x \leqslant 1\), on a \(0{,}225x \leqslant 0{,}225\), donc \(f'(x) \geqslant 0{,}75 - 0{,}225 = 0{,}525 \gt 0\). La dérivée est strictement positive sur l'intervalle, donc \(f\) y est strictement croissante. Valeurs aux bornes : \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 0{,}75 \times 0{,}85 = 0{,}6375\).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\), de \(f(0) = 0\) à \(f(1) = 0{,}6375\).

Question 3

3. Résoudre \(f(x) = x\) sur \([0\,;\,1]\).

Par ailleurs, on regroupe tout dans un membre et on factorise par \(x\) :

\[f(x) = x \iff 0{,}75x - 0{,}1125x^2 - x = 0 \iff x(-0{,}25 - 0{,}1125x) = 0.\]

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : \(x = 0\) ou \(x = -\dfrac{0{,}25}{0{,}1125} = -\dfrac{20}{9}\). Cette seconde valeur est négative, elle n'appartient pas à \([0\,;\,1]\).

En conclusion : sur \([0\,;\,1]\), l'unique solution est \(x = 0\).

4. a. Montrer par récurrence que \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\).

Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\) ».

Initialisation. \(u_0 = 0{,}6\) et \(u_1 = 0{,}4095\) : on a bien \(0 \leqslant 0{,}4095 \leqslant 0{,}6 \leqslant 1\), donc \(\mathcal{P}_0\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel pour lequel \(\mathcal{P}_n\) est vraie : \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\). Tous ces nombres sont dans \([0\,;\,1]\), où \(f\) est croissante (question 2) : appliquer \(f\) conserve donc l'ordre, ce qui donne \(f(0) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n) \leqslant f(1)\), soit \(0 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 0{,}6375\). Comme \(0{,}6375 \leqslant 1\), la propriété \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et se transmet d'un rang au suivant ; par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\).

Question 4 b

4. b. En déduire que \((u_n)\) converge.

L'inégalité \(u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\) signifie que la suite est décroissante, et \(u_n \geqslant 0\) pour tout \(n\) signifie qu'elle est minorée par 0. D'après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée converge.

En conclusion : la suite \((u_n)\) est convergente, vers une limite \(\ell\) comprise entre 0 et 1.

4. c. Déterminer la limite \(\ell\).

Tous les termes sont dans \([0\,;\,1]\), donc \(\ell \in [0\,;\,1]\). La fonction \(f\) est continue sur cet intervalle (c'est un polynôme). En passant à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\) : le membre de gauche tend vers \(\ell\), celui de droite vers \(f(\ell)\) par continuité, d'où \(f(\ell) = \ell\). D'après la question 3, la seule solution de cette équation dans \([0\,;\,1]\) est 0.

En conclusion : \(\ell = 0\).

5. a. Justifier que l'espèce sera menacée d'extinction.

Le seuil de 20 individus correspond à \(0{,}02\) millier. Comme \(\lim u_n = 0\) et que \(0{,}02 \gt 0\), l'intervalle ouvert \(]-0{,}02\,;\,0{,}02[\), qui contient la limite 0, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang \(N\). Pour \(n \geqslant N\), on a donc \(u_n \lt 0{,}02\) : la population est passée sous les 20 individus.

En conclusion : selon ce modèle, la population finit par descendre sous 20 individus ; le biologiste a raison.

Question 5 b

5. b. Valeur renvoyée par menace() et interprétation.

La fonction part de \(u = u_0 = 0{,}6\) et \(n = 0\). Tant que \(u\) est strictement supérieur à \(0{,}02\), elle calcule le terme suivant et augmente \(n\) de 1. Elle renvoie donc le premier indice \(n\) pour lequel \(u_n \leqslant 0{,}02\). En calculant les termes successifs à la calculatrice :

Donc on a \(u_{10} \approx 0{,}0249 \gt 0{,}02\) : la boucle continue. Puis \(u_{11} \approx 0{,}0186 \leqslant 0{,}02\) : la boucle s'arrête et la fonction renvoie 11. Comme \(n = 11\) correspond à l'année \(2020 + 11 = 2031\), c'est au début de 2031 que la population passe pour la première fois sous le seuil de 20 individus (environ 19 individus).

En conclusion : menace() renvoie 11 ; l'espèce sera menacée d'extinction à partir du début de l'année 2031.

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2021, Amérique du Nord, mai) 5 points

Géométrie dans l'espace : décomposition de vecteurs, coplanarité, représentations paramétriques, vecteur normal, projeté orthogonal

1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ?

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Par ailleurs, on exprime ces vecteurs à l'aide des trois arêtes issues de A, par la relation de Chasles. Comme I est le milieu de [EF] et que \(\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{AB}}\) : \(\overrightarrow{\text{AI}} = \overrightarrow{\text{AE}} + \overrightarrow{\text{EI}} = \overrightarrow{\text{AE}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}\). Comme K est le milieu de [AE] et que \(\overrightarrow{\text{EH}} = \overrightarrow{\text{AD}}\) : \(\overrightarrow{\text{KH}} = \overrightarrow{\text{KE}} + \overrightarrow{\text{EH}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AE}} + \overrightarrow{\text{AD}}\).

Supposons qu'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{AI}} = k\,\overrightarrow{\text{KH}}\). Ensuite, on obtiendrait \(\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}} - k\,\overrightarrow{\text{AD}} + \left(1 - \frac{k}{2}\right)\overrightarrow{\text{AE}} = \vec{0}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\), \(\overrightarrow{\text{AD}}\), \(\overrightarrow{\text{AE}}\) ne sont pas coplanaires (arêtes d'un cube), donc tous les coefficients devraient être nuls ; or celui de \(\overrightarrow{\text{AB}}\) vaut \(\frac{1}{2}\). C'est impossible. (Avec les coordonnées de la question suivante : \(\overrightarrow{\text{AI}}(0{,}5\,;\,0\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{\text{KH}}(0\,;\,1\,;\,0{,}5)\), visiblement non proportionnels.)

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{AI}}\) et \(\overrightarrow{\text{KH}}\) ne sont pas colinéaires, les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.

2. a. Coordonnées de I et J.

Dans le repère \(\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AB}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)\), on a \(\text{B}(1\,;\,0\,;\,0)\), \(\text{C}(1\,;\,1\,;\,0)\), \(\text{E}(0\,;\,0\,;\,1)\) et \(\text{F}(1\,;\,0\,;\,1)\). Les coordonnées d'un milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités.

En conclusion : \(\text{I}\left(\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,1\right)\) et \(\text{J}\left(1\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0\right)\).

Question 2 b

2. b. Coplanarité de \(\overrightarrow{\text{IJ}}\), \(\overrightarrow{\text{AE}}\), \(\overrightarrow{\text{AC}}\).

Puis on calcule \(\overrightarrow{\text{IJ}}\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,-1\right)\), \(\overrightarrow{\text{AE}}(0\,;\,0\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}(1\,;\,1\,;\,0)\). Trois vecteurs sont coplanaires dès que l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres. Les deux premières coordonnées de \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) sont la moitié de celles de \(\overrightarrow{\text{AC}}\), et il reste à corriger la cote avec \(\overrightarrow{\text{AE}}\) :

\[\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AE}} = \left(\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\,;\,0\right) - (0\,;\,0\,;\,1) = \left(\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\,;\,-1\right) = \overrightarrow{\text{IJ}}.\]

En conclusion : \(\overrightarrow{\text{IJ}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AE}}\), donc les trois vecteurs sont coplanaires.

3. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ?

Ensuite, on lit les coefficients de \(t\) dans chaque représentation : \(\vec{u_1}(1\,;\,-2\,;\,3)\) dirige \(d_1\) et \(\vec{u_2}(1\,;\,1\,;\,2)\) dirige \(d_2\). Les premières coordonnées étant égales, s'ils étaient colinéaires ils seraient égaux ; or les deuxièmes coordonnées diffèrent (\(-2 \neq 1\)).

En conclusion : \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) ne sont pas colinéaires, \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.

4. Montrer que \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

D'après son équation cartésienne, le plan \(\mathcal{P}\) admet pour vecteur normal \(\vec{n}(1\,;\,3\,;\,-2)\). Une droite est parallèle à un plan lorsque son vecteur directeur est orthogonal à un vecteur normal du plan. Alors, on calcule le produit scalaire :

\[\vec{u_2} \cdot \vec{n} = 1 \times 1 + 1 \times 3 + 2 \times (-2) = 1 + 3 - 4 = 0.\]

Ensuite, on peut préciser que \(d_2\) n'est pas incluse dans \(\mathcal{P}\) : son point \((4\,;\,1\,;\,8)\), obtenu pour \(t = 0\), donne \(4 + 3 - 16 + 2 = -7 \neq 0\).

En conclusion : \(\vec{u_2} \cdot \vec{n} = 0\), la droite \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\) (et strictement parallèle).

Question 5

5. L est-il le projeté orthogonal de M sur \(\mathcal{P}\) ?

Le projeté orthogonal de M sur \(\mathcal{P}\) est l'unique point du plan tel que la droite qui le relie à M soit orthogonale au plan. Il suffit donc de vérifier deux choses.

L appartient à \(\mathcal{P}\) : \(4 + 3 \times 0 - 2 \times 3 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\).

\(\overrightarrow{\text{ML}}\) est normal à \(\mathcal{P}\) : \(\overrightarrow{\text{ML}}(4 - 5\,;\,0 - 3\,;\,3 - 1) = (-1\,;\,-3\,;\,2)\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{\text{ML}} = -\vec{n}\). Il est colinéaire au vecteur normal, donc la droite (ML) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).

En conclusion : L est sur \(\mathcal{P}\) et \(\overrightarrow{\text{ML}} = -\vec{n}\), donc L est bien le projeté orthogonal de M sur \(\mathcal{P}\).

Corrigé de l’exercice A (bac 2021, Amérique du Nord, mai) 5 points

Vrai ou faux : propriétés algébriques de l'exponentielle, équation de tangente, limites, théorème des valeurs intermédiaires, convexité

Affirmation 1 \(\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}\) pour tous réels \(a\), \(b\).

Pour montrer qu'une affirmation universelle est fausse, un contre-exemple suffit. Avec \(a = b = 0\) : le membre de gauche vaut \(\left(\text{e}^0\right)^2 = 1\), celui de droite \(\text{e}^0 + \text{e}^0 = 2\). En réalité, la règle correcte est \(\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a+2b} = \text{e}^{2a} \times \text{e}^{2b}\) : l'exponentielle transforme les sommes en produits, pas en sommes.

En conclusion : affirmation 1 fausse.

Affirmation 2 La tangente en 0 à la courbe de \(f(x) = -2 + (3 - x)\text{e}^x\) a pour équation \(y = 2x + 1\).

L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\). D'abord \(f(0) = -2 + 3 \times 1 = 1\). Ensuite, en dérivant le produit \((3 - x)\text{e}^x\) : \(f'(x) = -\text{e}^x + (3 - x)\text{e}^x = (2 - x)\text{e}^x\), donc \(f'(0) = 2\). La tangente a pour équation \(y = 2x + 1\).

En conclusion : affirmation 2 vraie.

Affirmation 3 \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \frac{3}{x}\right) = 0\).

La différence \(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x}\) est une forme indéterminée « \(\infty - \infty\) ». Ensuite, on factorise par le terme dominant : \(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 1\right)\). Quand \(x \to +\infty\), \(\text{e}^x \to +\infty\) et \(\text{e}^x - 1 \to +\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\). Par ailleurs \(\frac{3}{x} \to 0\). Par somme, l'expression tend vers \(+\infty\).

En conclusion : la limite vaut \(+\infty\), affirmation 3 fausse.

Affirmation 4 L'équation \(1 - x + \text{e}^{-x} = 0\) a une seule solution dans \([0\,;\,2]\).

Alors, on pose \(h(x) = 1 - x + \text{e}^{-x}\) sur \([0\,;\,2]\). Elle est dérivable et \(h'(x) = -1 - \text{e}^{-x}\) ; comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), on a \(h'(x) \lt 0\), donc \(h\) est continue et strictement décroissante sur \([0\,;\,2]\). Aux bornes : \(h(0) = 1 - 0 + 1 = 2 \gt 0\) et \(h(2) = -1 + \text{e}^{-2} \approx -0{,}865 \lt 0\). La valeur 0 est comprise entre \(h(2)\) et \(h(0)\) ; par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas strictement monotone), l'équation \(h(x) = 0\) admet exactement une solution dans \([0\,;\,2]\).

En conclusion : affirmation 4 vraie.

Affirmation 5 \(g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle lorsque sa dérivée seconde y est positive. Ici \(g'(x) = 2x - 5 + \text{e}^x\), puis \(g''(x) = 2 + \text{e}^x\). Somme d'un nombre positif et d'une exponentielle, \(g''(x) \gt 0\) pour tout réel \(x\).

En conclusion : \(g'' \gt 0\) sur \(\mathbb{R}\), \(g\) est convexe : affirmation 5 vraie.

Corrigé de l’exercice B 5 points

Lecture graphique, dérivée d'un quotient, logarithme népérien, limites et croissances comparées, variations, dérivée seconde et point d'inflexion

1. Valeurs de \(f(1)\) et \(f'(1)\).

Le point \(\text{A}(1\,;\,4)\) est sur la courbe, donc \(f(1) = 4\). Le nombre dérivé \(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente en A ; cette tangente \(T\) est horizontale, son coefficient directeur est nul.

En conclusion : \(f(1) = 4\) et \(f'(1) = 0\).

2. Démontrer la formule de \(f'(x)\).

Par ailleurs, on écrit \(f = \dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = a + b\ln x\) et \(v(x) = x\), dérivables sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(v\) ne s'annulant pas. Ainsi, on a \(u'(x) = \dfrac{b}{x}\) et \(v'(x) = 1\). La formule \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) donne :

\[f'(x) = \frac{\frac{b}{x} \times x - (a + b\ln x) \times 1}{x^2} = \frac{b - a - b\ln x}{x^2}.\]

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f'(x) = \dfrac{b - a - b\ln x}{x^2}\).

3. Valeurs de \(a\) et \(b\).

Par ailleurs, on traduit les deux informations de la question 1 à l'aide des formules, en utilisant \(\ln 1 = 0\). D'une part \(f(1) = \dfrac{a + 0}{1} = a\), donc \(a = 4\). D'autre part \(f'(1) = \dfrac{b - a - 0}{1} = b - a\), donc \(b - a = 0\) et \(b = a = 4\).

En conclusion : \(a = 4\) et \(b = 4\).

Question 4

4. Limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

En 0 (à droite). \(\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\), donc le numérateur \(4 + 4\ln x\) tend vers \(-\infty\), tandis que \(\frac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\). Par produit de \(4 + 4\ln x\) et de \(\frac{1}{x}\), il n'y a pas d'indétermination : \(f(x) \to -\infty\).

En \(+\infty\). Le quotient présente une forme « \(\frac{\infty}{\infty}\) » : on sépare \(f(x) = \dfrac{4}{x} + 4 \times \dfrac{\ln x}{x}\). Donc on a \(\frac{4}{x} \to 0\) et, par croissances comparées, \(\frac{\ln x}{x} \to 0\). Donc \(f(x) \to 0\). Géométriquement, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe en \(+\infty\), et l'axe des ordonnées l'est en 0.

En conclusion : \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

5. Tableau de variations de \(f\).

Avec \(a = b = 4\), la question 2 donne \(f'(x) = \dfrac{4 - 4 - 4\ln x}{x^2} = \dfrac{-4\ln x}{x^2}\). Le dénominateur est strictement positif, donc \(f'(x)\) a le signe de \(-\ln x\) : positif sur \(]0\,;\,1[\) (où \(\ln x \lt 0\)), nul en 1, négatif sur \(]1\,;\,+\infty[\). Le maximum vaut \(f(1) = 4\).

En conclusion : \(f\) est croissante sur \(]0\,;\,1]\) de \(-\infty\) à 4, puis décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\) de 4 vers 0.

6. Démontrer la formule de \(f''(x)\).

Ensuite, on dérive \(f'(x) = \dfrac{-4\ln x}{x^2}\) comme un quotient, avec \(u(x) = -4\ln x\), \(u'(x) = -\dfrac{4}{x}\), \(v(x) = x^2\), \(v'(x) = 2x\) :

\[f''(x) = \frac{-\frac{4}{x} \times x^2 - (-4\ln x) \times 2x}{x^4} = \frac{-4x + 8x\ln x}{x^4} = \frac{x(-4 + 8\ln x)}{x^4} = \frac{-4 + 8\ln x}{x^3}.\]

En conclusion : pour tout \(x \gt 0\), \(f''(x) = \dfrac{-4 + 8\ln x}{x^3}\).

Question 7

7. Unique point d'inflexion B et ses coordonnées.

Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité, donc à un changement de signe de \(f''\). Pour \(x \gt 0\), \(x^3 \gt 0\), donc \(f''(x)\) a le signe de \(-4 + 8\ln x\). Or \(-4 + 8\ln x \gt 0 \iff \ln x \gt \frac{1}{2} \iff x \gt \text{e}^{1/2} = \sqrt{\text{e}}\), par stricte croissance de l'exponentielle.

Ainsi \(f'' \lt 0\) sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}[\) (\(f\) concave) et \(f'' \gt 0\) sur \(]\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\) (\(f\) convexe). La dérivée seconde ne change de signe qu'une seule fois, en \(\sqrt{\text{e}} \approx 1{,}649\) : c'est l'unique point d'inflexion. Son ordonnée vaut \(f\left(\sqrt{\text{e}}\right) = \dfrac{4 + 4 \times \frac{1}{2}}{\sqrt{\text{e}}} = \dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}} \approx 3{,}639\), ce qui est cohérent avec la figure (la courbe descend alors sous 4 en changeant de courbure).

En conclusion : \(\mathcal{C}_f\) a un unique point d'inflexion \(\text{B}\left(\sqrt{\text{e}}\,;\,\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}\right)\), soit environ \((1{,}649\,;\,3{,}639)\).

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Une probabilité « sachant que le test est positif » se calcule par \(P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)}\), après avoir obtenu \(P(T)\) par la formule des probabilités totales ; ne pas la confondre avec la sensibilité \(P_D(T)\).
• « Au moins un » se traite par l'évènement contraire \(1 - (1-p)^n\) ; en résolvant \(q^n \leqslant c\) par le logarithme, penser à renverser l'inégalité car \(\ln q \lt 0\).
• Pour une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) croissante, la récurrence consiste à appliquer \(f\) à l'encadrement ; la limite se trouve ensuite en résolvant \(f(\ell) = \ell\) grâce à la continuité de \(f\).
• Dans l'espace, colinéarité et coplanarité se prouvent par des combinaisons linéaires explicites ; un projeté orthogonal se vérifie par « point dans le plan » et « vecteur colinéaire au vecteur normal ».
• Un point d'inflexion exige un changement de signe de \(f''\), pas seulement son annulation ; et \(\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a}\text{e}^{2b}\), jamais une somme.

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Ce que contient le corrigé du bac 2021, Amérique du Nord, mai

Cette correction complète du bac 2021, Amérique du Nord, mai détaille les cinq exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) porte sur : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec logarithme. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) traite : suite récurrente, étude de fonction, raisonnement par récurrence, limite monotone, algorithme de seuil en Python. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : décomposition de vecteurs, coplanarité, représentations paramétriques, vecteur normal, projeté orthogonal. Puis, la correction de l'exercice A (5 points) aborde : vrai ou faux : propriétés algébriques de l'exponentielle, équation de tangente, limites, théorème des valeurs intermédiaires, convexité. Enfin, la correction de l'exercice B (5 points) aborde : lecture graphique, dérivée d'un quotient, logarithme népérien, limites et croissances comparées, variations, dérivée seconde et point d'inflexion.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2021, Amérique du Nord, mai

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Avant tout, gardez sous la main l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

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