Sujet du bac de maths 2023 : Amérique du Nord, jour 1
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Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2023
Amérique du Nord — Sujet 1 — 27 mars 2023
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points
Dans un souci d'améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.
Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories :
- \(69\,\%\) des déchets sont minéraux et non dangereux ;
- \(28\,\%\) des déchets sont non minéraux et non dangereux ;
- les déchets restants sont des déchets dangereux.
Cette enquête statistique nous apprend également que :
- \(73\,\%\) des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables ;
- \(49\,\%\) des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables ;
- \(35\,\%\) des déchets dangereux sont recyclables.
Les parties A et B sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
Partie A
Dans cette entreprise, on prélève au hasard un déchet. On considère les évènements suivants :
- \(M\) : « Le déchet prélevé est minéral et non dangereux » ;
- \(N\) : « Le déchet prélevé est non minéral et non dangereux » ;
- \(D\) : « Le déchet prélevé est dangereux » ;
- \(R\) : « Le déchet prélevé est recyclable ».
Désormais, on note \(\overline{R}\) l'évènement contraire de l'évènement \(R\).
1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation de l'énoncé.
2. Justifier que la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à \(0{,}0105\).
3. Déterminer la probabilité \(P\left(M \cap \overline{R}\right)\) et interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l'exercice.
4. Démontrer que la probabilité de l'évènement \(R\) est \(P(R)=0{,}6514\).
5. En outre, on suppose que le déchet prélevé est recyclable. Déterminer la probabilité que ce déchet soit non minéral et non dangereux. Par ailleurs, on donnera la valeur arrondie au dix-millième.
Partie B
On rappelle que la probabilité qu'un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à \(0{,}6514\).
1. Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l'entreprise, on prélève un échantillon de 20 déchets pris au hasard dans la production. En outre, on suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.
Ensuite, on désigne par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.
a. En outre, on admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
b. Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. Par ailleurs, on donnera la valeur arrondie au dix-millième.
2. Dans cette question, on prélève désormais \(n\) déchets, où \(n\) désigne un entier naturel strictement positif.
a. Donner l'expression en fonction de \(n\) de la probabilité \(p_{n}\) qu'aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.
b. Déterminer la valeur de l'entier naturel \(n\) à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à \(0{,}9999\).
Exercice 2 (sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)=\text{e}^{3 x}-(2 x+1) \text{e}^{x}\]
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire
On définit la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\) par :
\[g(x)=3 \text{e}^{2 x}- 2 x - 3\]
1. a. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(-\infty\).
b. Déterminer la limite de la fonction \(g\) en \(+\infty\).
2. a. En outre, on admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et on note \(g'\) sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout nombre réel \(x\), on a \(g'(x)=6 \text{e}^{2 x}-2\).
b. Étudier le signe de la fonction dérivée \(g'\) sur \(\mathbb{R}\).
c. En déduire le tableau de variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). Vérifier que la fonction \(g\) admet un minimum égal à \(\ln (3) - 2\).
3. a. Montrer que \(x=0\) est solution de l'équation \(g(x) = 0\).
b. Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une deuxième solution, non nulle, notée \(\alpha\), dont on donnera un encadrement d'amplitude \(10^{-1}\).
4. Déduire des questions précédentes le signe de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Partie B - Étude de la fonction \(f\)
1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout nombre réel \(x\), on a \(f'(x)=\text{e}^{x} g(x)\), où \(g\) est la fonction définie dans la partie A.
2. En déduire alors le signe de la fonction dérivée \(f'\) puis les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Pourquoi la fonction \(f\) n'est-elle pas convexe sur \(\mathbb{R}\) ? Expliquer.
Exercice 3 (sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.
L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\).
Puis on considère les points \(\text{A}(-1~;~2~;~5)\), \(\text{B}(3~;~6~;~3)\), \(\text{C}(3~;~0~;~9)\) et \(\text{D}(8~;~-3~;~-8)\).
En outre, on admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
1. ABC est un triangle :
| a. isocèle rectangle en A | b. isocèle rectangle en B |
| c. isocèle rectangle en C | d. équilatéral |
2. Une équation cartésienne du plan (BCD) est :
| a. \(2 x+y+z-15=0\) | b. \(9 x-5 y+3=0\) |
| c. \(4 x+y+z-21=0\) | d. \(11 x+5 z-73=0\) |
3. Par ailleurs, on admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne \(x- 2y - 2z + 15 = 0\).
Puis on appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
Ensuite, on peut affirmer que :
| a. \(\text{H}(-2~;~17~;~12)\) | b. \(\text{H}(3~;~7~;~2)\) |
| c. \(\text{H}(3~;~2~;~7)\) | d. \(\text{H}(-15~;~1~;~-1)\) |
4. Soit la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l}x=5+t \\ y=3-t \\ z=-1+3t\end{array}\right.\), avec \(t\) réel.
Les droites (BC) et \(\Delta\) sont :
| a. confondues | b. strictement parallèles |
| c. sécantes | d. non coplanaires |
5. Ensuite, on considère le plan \(\mathcal{P}\) d'équation cartésienne \(2x - y + 2z - 6 = 0\).
Par ailleurs, on admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne \(x-2 y-2 z+15=0\).
Par ailleurs, on peut affirmer que :
| a. les plans \(\mathcal{P}\) et (ABC) sont strictement parallèles |
| b. les plans \(\mathcal{P}\) et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB) |
| c. les plans \(\mathcal{P}\) et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AC) |
| d. les plans \(\mathcal{P}\) et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (BC) |
Exercice 4 (sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0}=5\) et pour tout entier naturel \(n\),
\[u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{11}{u_{n}}\right)\]
Par ailleurs, on admet que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est bien définie.
Partie A - Étude de la suite \(\left(u_{n}\right)\)
1. Donner \(u_{1}\) et \(u_{2}\) sous forme de fractions irréductibles.
2. Puis on considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :
\[f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)\]
Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \(\left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[\).
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n} \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}\).
4. En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\) converge vers une limite réelle. Désormais, on note \(a\) cette limite.
5. Après avoir déterminé et résolu une équation dont \(a\) est solution, préciser la valeur exacte de \(a\).
Partie B - Application géométrique
Pour tout entier naturel \(n\), on considère un rectangle \(R_{n}\) d'aire 11 dont la largeur est notée \(\ell_{n}\) et longueur \(L_{n}\).
La suite \(\left(L_{n}\right)\) est définie par \(L_{0}=5\) et, pour tout entier naturel \(n\),
\[L_{n+1}=\frac{L_{n}+\ell_{n}}{2}\]
1. a. Expliquer pourquoi \(\ell_{0}=2{,}2\).
b. Établir que pour tout entier naturel \(n\),
\[\ell_{n}=\frac{11}{L_{n}}.\]
2. Vérifier que la suite \(\left(L_{n}\right)\) correspond à la suite \(\left(u_{n}\right)\) de la partie A.
3. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), on a \(\ell_{n} \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_{n}\).
4. En outre, on admet que les suites \(\left(L_{n}\right)\) et \(\left(\ell_{n}\right)\) convergent toutes les deux vers \(\sqrt{11}\). Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la partie B.
5. Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :
1 def heron(n): 2 L=5 3 ℓ=2.2 4 for i in range(n): 5 L = (L+ℓ) / 2 6 ℓ = 11 / L 7 return round(ℓ,6), round(L,6)
Par ailleurs, on rappelle que la fonction Python round(x,k) renvoie une version arrondie du nombre x avec k décimales.
a. Si l'utilisateur tape heron(3) dans une console d'exécution Python, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour \(\ell\) et \(L\) ?
b. Donner une interprétation de ces deux valeurs.
Comment aborder ce sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 1
Ce sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 1 du 27 mars 2023 compte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) aborde : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec le logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) porte sur : limites avec l'exponentielle, croissances comparées, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, variations, convexité. Puis, l'exercice 3 (5 points) traite : géométrie dans l'espace : distances et produit scalaire, équation de plan, projeté orthogonal, positions relatives de droites et de plans. Enfin, l'exercice 4 (5 points) aborde : suite récurrente, dérivée et variations, raisonnement par récurrence, convergence monotone, limite d'une suite, algorithme de Héron en Python.
Ainsi, avec quatre heures pour vingt points, comptez environ douze minutes par point. Par exemple, l'exercice 1, noté sur 5 points, mérite à peu près 60 minutes. Enfin, gardez un quart d'heure pour relire vos résultats.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 1
Dans un exercice de suites, calculez d'abord les premiers termes à la main. Ainsi, vous devinez le sens de variation avant de le démontrer par récurrence. Lorsqu'une loi binomiale apparaît, justifiez-la en citant les épreuves identiques et indépendantes. Par ailleurs, donnez toujours la valeur de n et celle de p. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.
Une fois l'épreuve terminée, comparez vos réponses avec la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
Les autres sujets de 2023
- France, jour 1
- France, jour 2
- Amérique du Nord, jour 2
- Centres étrangers, jour 1
- Centres étrangers, jour 2
- Centres étrangers groupe 1, jour 1
- Centres étrangers groupe 1, jour 2
- France, septembre, jour 1
- France, septembre, jour 2
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