Sujet du bac de maths 2024 : Amérique du Nord, jour 2

Accueil >> Sujet du bac de maths 2024 : Amérique du Nord, jour 2
Sujet de maths – Bac 2024 : Amérique du Nord, jour 2 – Maths-pdf.fr
Voici le second sujet de spécialité mathématiques du bac 2024 en Amérique du Nord, posé le 22 mai 2024 (jour 2). Il compte quatre exercices obligatoires. Le premier part de vraies statistiques sur les immatriculations de 2022 : arbre pondéré autour des voitures neuves et hybrides rechargeables, loi binomiale sur 500 véhicules, puis une inéquation avec un logarithme pour trouver une taille d'échantillon. Le deuxième se passe dans un pavé droit : vecteur normal, équation du plan (HMF), plans parallèles ou non, intersection d'une droite et d'un plan, projeté orthogonal. Le troisième étudie la suite définie par \(u_{n+1} = 2u_n - u_n^2\) avec une récurrence, une suite auxiliaire géométrique et un script Python de seuil. Le dernier porte sur \(a\ln(x)\) : primitive, aire sous la courbe et tangente. Traite-le en temps limité avant d'ouvrir le corrigé.

Cherchez chaque exercice au brouillon avant d'ouvrir le corrigé détaillé de ce sujet. Les autres sessions sont rassemblées sur la page bac de maths : sujets et corrigés.

Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2024
Amérique du Nord — Sujet 2 — 22 mai 2024
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen

Exercice 1 (sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 2) 5 points

Les données publiées le 1er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

  • \(22{,}86\,\%\) des véhicules étaient des véhicules neufs ;
  • \(8{,}08\,\%\) des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
  • \(1{,}27\,\%\) des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie I

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :

  • \(N\) l'évènement « le véhicule est neuf » ;
  • \(R\) l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
  • \(\overline{N}\) et \(\overline{R}\) les évènements contraires des évènements \(N\) et \(R\).

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.

3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \(0{,}0283\).

4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Partie II

Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à \(0{,}65\).
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
Désormais, on appelle \(X\) la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.

1. En outre, on admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs.

3. Déterminer la probabilité \(p(X \geqslant 325)\) puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie III

On choisit désormais \(n\) véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où \(n\) désigne un entier naturel strictement positif.
Par ailleurs, on rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à \(0{,}65\).
Par ailleurs, on assimile le choix de ces \(n\) véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l'expression en fonction de \(n\) de la probabilité \(p_n\) que tous ces véhicules soient d'occasion.

2. Ensuite, on note \(q_n\) la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que \(q_n \geqslant 0{,}9999\).

Exercice 2 (sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 2) 5 points

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que \(\text{AB} = 3\) et \(\text{AD} = \text{AE} = 1\) représenté ci-dessous.

Pavé droit ABCDEFGH en perspective cavalière avec le point I placé sur l'arête [AB] et le point M milieu de l'arête [CD]

Puis on considère le point I du segment [AB] tel que \(\overrightarrow{\text{AB}} = 3\,\overrightarrow{\text{AI}}\) et on appelle M le milieu du segment [CD].
Ensuite, on se place dans le repère orthonormé \(\left(\text{A}\,;\,\overrightarrow{\text{AI}},\,\overrightarrow{\text{AD}},\,\overrightarrow{\text{AE}}\right)\).

1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F, H et M.

2. a. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (HMF).

b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est :

\[2x + 6y + 3z - 9 = 0.\]

c. Le plan \(\mathcal{P}\) dont une équation cartésienne est \(5x + 15y - 3z + 7 = 0\) est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).

4. Ensuite, on appelle N le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).
Déterminer les coordonnées du point N.

5. Le point R de coordonnées \(\left(3\,;\,\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 2) 6 points

On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0\,;\,1]\) par

\[g(x) = 2x - x^2.\]

1. Montrer que la fonction \(g\) est strictement croissante sur l'intervalle \([0\,;\,1]\) et préciser les valeurs de \(g(0)\) et de \(g(1)\).

Puis on considère la suite \((u_n)\) définie par \(\left\{\begin{array}{l}u_0 = \dfrac{1}{2}\\ u_{n+1} = g(u_n)\end{array}\right.\) pour tout entier naturel \(n\).

2. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(0 \lt u_n \lt u_{n+1} \lt 1\).

4. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

5. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\).

Désormais, on considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = \ln(1 - u_n)\).

6. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.

7. En déduire une expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).

8. En déduire une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et retrouver la limite déterminée à la question 5.

9. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang \(n\) à partir duquel la suite dépasse 0,95.

def seuil():
    n=0
    u=0.5
    while u < 0.95 :
        n=...
        u=...
    return n

Exercice 4 4 points

Soit \(a\) un réel strictement positif.
On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par

\[f(x) = a\ln(x).\]

Ensuite, on note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit \(x_0\) un réel strictement supérieur à 1.

1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe \(\mathcal{C}\) et de l'axe des abscisses.

2. Vérifier que la fonction \(F\) définie par \(F(x) = a\left[x\ln(x) - x\right]\) est une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

3. En déduire l'aire du domaine bleuté en fonction de \(a\) et de \(x_0\).

Courbe C de la fonction f égale à a ln x, avec le domaine bleuté compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et x0, le point M de la courbe d'abscisse x0

Puis on note \(T\) la tangente à la courbe \(\mathcal{C}\) au point \(M\) d'abscisse \(x_0\).
Désormais, on appelle \(A\) le point d'intersection de la tangente \(T\) avec l'axe des ordonnées et \(B\) le projeté orthogonal de \(M\) sur l'axe des ordonnées.

Courbe C avec sa tangente T au point M d'abscisse x0, le point A où T coupe l'axe des ordonnées et le point B projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées

4. Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de \(x_0\)) que l'on déterminera.

Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.

Voir le corrigé du sujet du bac de maths 2024 (Amérique du Nord, jour 2)

Voir le corrigé détaillé : bac de maths 2024, Amérique du Nord, jour 2

Comment aborder ce sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 2

Le sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 2 du 22 mai 2024 comporte quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) traite : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec le logarithme. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : coordonnées, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique, intersection, projeté orthogonal. Puis, l'exercice 3 (6 points) porte sur : étude de fonction, suite récurrente, raisonnement par récurrence, théorème de convergence monotone, suite géométrique auxiliaire, logarithme, algorithme de seuil. Enfin, l'exercice 4 (4 points) traite : fonction logarithme, primitive, intégrale et aire, équation de tangente.

Pour gérer le temps, lisez d'abord l'énoncé en entier, puis commencez par l'exercice qui vous inspire le plus. Ensuite, visez environ 70 minutes pour l'exercice 3, le plus lourd du sujet. Enfin, ne restez jamais bloqué plus de dix minutes sur une question : admettez-la et passez à la suite.

Méthodes utiles pour le sujet de bac 2024, Amérique du Nord, jour 2

Face à une suite définie par récurrence, écrivez clairement l'hypothèse de récurrence avant de la manipuler. Puis vérifiez que la propriété obtenue est exactement celle de l'énoncé. Pour la partie probabilités, traduisez chaque phrase de l'énoncé en notation, par exemple P(A) ou P_A(B). Ainsi, la formule des probabilités totales s'applique presque sans effort. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.

Après votre recherche, vérifiez votre copie grâce à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.

Les autres sujets de 2024

Voter.. post
Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «sujet du bac de maths 2024 : Amérique du Nord, jour 2» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Nombre de fichiers PDF téléchargés.  Maths PDF c'est 16 201 054 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.

Télécharger les manuels scolaires de maths en PDF du CP à la Terminale