Corrigé du brevet de maths 2009 : France

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2009 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé des activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : priorités et calculatrice

1. Dans une fraction, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur, en effectuant les multiplications avant les additions.

Numérateur : \(8+3\times 4=8+12=20\). Dénominateur : \(1+2\times 1{,}5=1+3=4\).

\[A=\dfrac{20}{4}=5\]

Donc \(A=5\).

2. La calculatrice applique les règles de priorité à toute la ligne tapée. Sans parenthèses, elle comprend \(8+3\times 4\div 1+2\times 1{,}5\) : la division ne porte que sur le 4, pas sur tout le numérateur, et le dénominateur n’est pas regroupé.

Elle calcule donc \(8+12\div 1+3=8+12+3=23\), et non 5.

Il manque des parenthèses : il fallait taper ( 8 + 3 × 4 ) ÷ ( 1 + 2 × 1.5 ) = pour que le numérateur entier soit divisé par le dénominateur entier.

Corrigé de l’exercice 2 : trois sacs de billes

1. Chaque bille d’un sac a la même chance d’être tirée : la probabilité de tirer une bille rouge est le nombre de billes rouges divisé par le nombre total de billes du sac.

Aline : \(\dfrac{5}{5}=1\) (elle ne peut tirer qu’une bille rouge, c’est un évènement certain).

Bernard : \(\dfrac{10}{10+30}=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\).

Claude : \(\dfrac{100}{100+3}=\dfrac{100}{103}\approx 0{,}97\).

Une probabilité ne dépasse jamais 1, et seule celle d’Aline vaut 1. C’est Aline qui a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge.

2. On veut que la probabilité d’Aline devienne \(\dfrac{1}{4}\). Ses 5 billes rouges doivent alors représenter le quart du sac, donc le sac doit contenir \(5\times 4=20\) billes au total.

Il faut ajouter \(20-5=15\) billes noires. Vérification : \(\dfrac{5}{5+15}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\).

Il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d’Aline.

Corrigé de l’exercice 3 : lire et reconnaître des fonctions

1. Le point \(B\) est sur la verticale d’abscisse \(-4\). En ordonnée, il se trouve 3 petits carreaux au-dessus de 4 ; un petit carreau vaut 0,2, donc l’ordonnée est \(4+3\times 0{,}2=4{,}6\).

On lit \(B(-4\ ;\ 4{,}6)\). On peut le confirmer : \(B\) est sur \(C_2\), qui représente \(f\) (question 4), et \(f(-4)=-0{,}4\times(-4)+3=1{,}6+3=4{,}6\).

2. La courbe \(C_3\) (en vert) traverse l’axe des abscisses trois fois : une fois en montant à gauche, une fois en descendant après son petit sommet, une fois en remontant à droite.

Les abscisses de ces points sont \(-1\), 2 et 4. Attention à ne pas oublier le point d’abscisse \(-1\), à gauche de l’origine.

3. Une fonction linéaire \(x\mapsto ax\) est représentée par une droite qui passe par l’origine du repère. \(C_3\) n’est pas une droite ; \(C_2\) est une droite mais elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\ ;\ 3)\), pas à l’origine. La seule droite passant par l’origine est \(C_1\) : c’est la représentation de la fonction linéaire.

4. La fonction \(f : x\mapsto -0{,}4x+3\) est affine : sa représentation est une droite. Son coefficient directeur \(-0{,}4\) est négatif, donc la droite descend, et son ordonnée à l’origine est \(f(0)=3\), donc elle passe par \((0\ ;\ 3)\).

La seule droite qui descend et passe par \((0\ ;\ 3)\) est \(C_2\) : c’est la représentation de \(f\).

5. Chercher l’antécédent de 1, c’est chercher le nombre \(x\) tel que \(f(x)=1\) :

\[-0{,}4x+3=1\]

\[-0{,}4x=1-3=-2\]

\[x=\dfrac{-2}{-0{,}4}=5\]

Vérification : \(f(5)=-0{,}4\times 5+3=-2+3=1\). L’antécédent de 1 par \(f\) est 5.

6. Un point appartient à \(C_2\) si son ordonnée est égale à l’image de son abscisse par \(f\). On calcule l’image de 4,6 :

\[f(4{,}6)=-0{,}4\times 4{,}6+3=-1{,}84+3=1{,}16\]

Or l’ordonnée de \(A\) est 1,2 et \(1{,}16\neq 1{,}2\). Le point \(A\) n’appartient pas à \(C_2\) (il est juste au-dessus de la droite, ce que le graphique ne permet pas de voir).

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : triangle non rectangle et formule de Héron

1. (a) Construction au compas :

• trace le segment \([AB]\) de 16 cm ;
• trace un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon 14 cm ;
• trace un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon 8 cm ;
• le point \(C\) est l’un des points d’intersection des deux arcs ; relie-le à \(A\) et à \(B\).

(b) Si le triangle était rectangle, l’angle droit serait opposé au plus grand côté, \([AB]\). On compare donc \(AB^2\) et \(AC^2+BC^2\) :

\[AB^2=16^2=256\]

\[AC^2+BC^2=14^2+8^2=196+64=260\]

Comme \(256\neq 260\), l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée. D’après le théorème de Pythagore (sous sa forme contraposée), le triangle \(ABC\) n’est pas rectangle. Sur le dessin, l’angle en \(C\) semble droit mais il mesure en réalité un peu moins de 89°.

2. On calcule d’abord le périmètre puis le demi-périmètre :

\[p=16+14+8=38 \quad\text{donc}\quad \dfrac{p}{2}=19\]

On remplace ensuite dans la formule avec \(a=16\), \(b=14\), \(c=8\) :

\[\mathcal{A}=\sqrt{19\times(19-16)\times(19-14)\times(19-8)}=\sqrt{19\times 3\times 5\times 11}=\sqrt{3\,135}\]

La calculatrice donne \(\sqrt{3\,135}\approx 55{,}99\). L’aire du triangle \(ABC\) est donc d’environ 56 cm².

Corrigé de l’exercice 2 : triangle isocèle et symétrique d’un point

Partie 1

1. Construction :

• trace une demi-droite d’origine \(B\) et, au rapporteur, une seconde demi-droite faisant avec elle un angle de 43° ;
• sur cette seconde demi-droite, place \(A\) tel que \(BA=4\) cm ;
• trace le cercle de centre \(A\) et de rayon 4 cm : il recoupe la première demi-droite en \(C\) (car \(AC=4\) cm) ;
• prolonge \([BA]\) au-delà de \(A\) et place \(E\) tel que \(AE=4\) cm : \(E\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\), et il est aussi sur le cercle.

2. \(E\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\), donc \(A\) est le milieu de \([BE]\) et \(AE=AB=4\) cm. Comme de plus \(AC=4\) cm, on a \(AB=AC=AE=4\) cm.

Les points \(B\), \(C\) et \(E\) sont donc sur le cercle de centre \(A\) et de rayon 4 cm, et \([BE]\) est un diamètre de ce cercle (il passe par le centre \(A\)).

Propriété : si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle, et l’angle droit est le sommet opposé au diamètre. Donc le triangle \(BCE\) est rectangle en \(C\).

3. Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\), donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=43°\).

La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :

\[\widehat{BAC}=180°-43°-43°=94°\]

Les points \(B\), \(A\), \(E\) sont alignés dans cet ordre : l’angle \(\widehat{BAE}\) est plat. Les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{EAC}\) sont donc supplémentaires :

\[\widehat{EAC}=180°-94°=86°\]

On a bien \(\widehat{EAC}=86°\).

Partie 2

On reprend exactement le même raisonnement en appelant \(x\) la mesure en degrés de \(\widehat{ABC}\).

Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\), donc \(\widehat{ACB}=x\) et \(\widehat{BAC}=180-2x\).

Comme \(B\), \(A\), \(E\) sont alignés : \(\widehat{EAC}=180-(180-2x)=180-180+2x=2x\).

Donc \(\widehat{EAC}=2\widehat{ABC}\) quelle que soit la mesure de \(\widehat{ABC}\) : Jean a raison. (Le cas 43° de la partie 1 en est un exemple : \(2\times 43=86\).)

Corrigé du problème

Corrigé de la partie 1 : rectangle inscrit et Thalès

1. Le plus grand côté est \([AB]\). On compare :

\[AB^2=17{,}5^2=306{,}25\]

\[AC^2+BC^2=10{,}5^2+14^2=110{,}25+196=306{,}25\]

On a \(AB^2=AC^2+BC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) (le sommet opposé à \([AB]\)).

2. Par construction, \((PR)\) est parallèle à \((AC)\), c’est-à-dire à \((SC)\), et \((RS)\) est parallèle à \((BC)\), c’est-à-dire à \((PC)\). Le quadrilatère \(PRSC\) a ses côtés opposés parallèles deux à deux : c’est un parallélogramme.

De plus, son angle \(\widehat{PCS}\) est l’angle \(\widehat{BCA}\), qui est droit d’après la question 1. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle, donc \(PRSC\) est un rectangle.

3. a) Dans le triangle \(ABC\), \(P\) est sur \([BC]\), \(R\) est sur \([BA]\) et les droites \((PR)\) et \((AC)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{BR}{BA}=\dfrac{PR}{CA}\]

Avec \(BP=5\), \(BC=14\) et \(CA=10{,}5\) : \(\dfrac{5}{14}=\dfrac{PR}{10{,}5}\), donc \(PR=\dfrac{5\times 10{,}5}{14}=\dfrac{52{,}5}{14}=3{,}75\).

\(PR=3{,}75\) cm.

b) Le rectangle \(PRSC\) a pour côtés \(PR\) et \(PC\). Comme \(P\) est sur \([BC]\) : \(PC=BC-BP=14-5=9\) cm.

\[\mathcal{A}_{PRSC}=PR\times PC=3{,}75\times 9=33{,}75\]

L’aire du rectangle est 33,75 cm².

Corrigé de la partie 2 : tableur et lecture graphique

1. Pour \(BP=5\) cm, la question 3 de la partie 1 donne directement l’aire : 33,75 cm².

Pour \(BP=10\) cm, on refait le même calcul. Par Thalès, \(\dfrac{10}{14}=\dfrac{PR}{10{,}5}\), donc \(PR=\dfrac{10\times 10{,}5}{14}=\dfrac{105}{14}=7{,}5\) cm. Ensuite \(PC=14-10=4\) cm, d’où :

\[\mathcal{A}_{PRSC}=7{,}5\times 4=30\ \text{cm}^2\]

Les deux valeurs manquantes sont 33,75 (pour \(BP=5\)) et 30 (pour \(BP=10\)).

2. a) On trace la droite horizontale d’ordonnée 18 : elle coupe la courbe en deux points, dont on lit les abscisses. Le rectangle a une aire de 18 cm² pour \(BP=2\) cm et \(BP=12\) cm (le tableau confirme la valeur 12, et le calcul \(0{,}75\times 2\times 12=18\) confirme la valeur 2).

b) Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse 7 : l’aire semble maximale pour \(BP=7\) cm.

c) Le sommet de la courbe se trouve entre les lignes horizontales 36 et 37 du quadrillage. On obtient l’encadrement \(36 \lt \mathcal{A}_{\max} \lt 37\) (en cm²). Avec la formule de la partie 3, on trouve d’ailleurs \(0{,}75\times 7\times 7=36{,}75\) cm².

Corrigé de la partie 3 : expressions en fonction de BP

1. \(P\) appartient au segment \([BC]\), donc \(BP+PC=BC=14\). On en déduit \(PC=14-BP\).

2. Le théorème de Thalès appliqué comme à la partie 1, pour une position quelconque de \(P\), donne \(\dfrac{BP}{14}=\dfrac{PR}{10{,}5}\), donc :

\[PR=\dfrac{10{,}5}{14}\times BP\]

Or \(\dfrac{10{,}5}{14}=\dfrac{21}{28}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\). Donc \(PR=0{,}75\times BP\).

3. Le rectangle \(PRSC\) est un carré lorsque deux côtés consécutifs ont la même longueur, c’est-à-dire lorsque \(PR=PC\). En notant \(x=BP\) :

\[0{,}75x=14-x\]

\[0{,}75x+x=14\]

\[1{,}75x=14 \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{14}{1{,}75}=8\]

Vérification : pour \(BP=8\), \(PR=0{,}75\times 8=6\) et \(PC=14-8=6\). Le rectangle \(PRSC\) est un carré pour \(BP=8\) cm (de côté 6 cm, d’aire 36 cm², comme dans le tableau).

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