Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Nord, septembre

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Calculer en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles pour A et B et en notation scientifique pour C.

\[A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \qquad B = \dfrac{2 – \dfrac{1}{3}}{3 + \dfrac{1}{4}} \qquad C = \dfrac{3 \times 10^4 \times 10^{-2} \times 5}{10^{-1}}\]

Exercice 2

Écrire D sous la forme \(a\sqrt{b}\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres entiers.
\(D = 3\sqrt{12} + \sqrt{27} – 5\sqrt{3}\).

Exercice 3

\[E = (2x – 3)^2 – 3(2x – 3).\]

1. Développer \(E\).

2. Factoriser \(E\).

3. Résoudre l’équation \((2x – 3x)(2x – 6) = 0\).

4. Calculer \(E\) pour \(x = \sqrt{2}\).
(on écrira le résultat sous la forme \(a – b\sqrt{2}\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres entiers).

Exercice 4

1. Calculer le PGCD de 696 et 406.

2. Rendre la fraction \(\dfrac{406}{696}\) irréductible.

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

(La figure ci-contre nest pas en vraie grandeur)

On donne AB = 4 cm, OB = 3 cm, OC = 6 cm.
Les droites (BC) et (AF) se coupent en O.

1. Expliquer pourquoi (AB) et (CF) sont parallèles.

2. Montrer que OA = 5 cm.

3. Calculer OF et CF.

Exercice 2

Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de centre O et de rayon 4 cm.
[AB] est un diamètre du cercle \(\mathcal{C}\) et \(M\) est un point de ce cercle tel que \(AM = 5\) cm.

1. Faire une figure en respectant les dimensions données et la compléter au fur et à mesure.

2. Démontrer que AMB est un triangle rectangle.

3. Calculer \(\sin \widehat{MBA}\). En déduire une mesure de \(\widehat{MBA}\) arrondie au degré.

4. Placer le point R milieu du segment [OH]. Tracer le symétrique de \(M\) par rapport à R, on l’appelle \(P\).
Quelle est la nature du quadrilatère MBPO ? (Justifier)

5. En déduire que \(\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{BP}\).

6. Construire le point \(N\) tel que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{BP}\).

Problème 12 points

Première partie

Un réservoir est constitué d’une pyramide régulière à base carrée surmontée d’un parallélépipède rectangle (Voir figure).
AB = BC = 2 m.
AE = 5 m, OI = 1,5 m
(OI est la hauteur de la pyramide)

1. Calculer le volume de la pyramide en m³.

2. Calculer le volume du parallélépipède rectangle en m³.

3. En déduire le volume du réservoir lorsqu’il est plein ?

Deuxième partie

On remplit d’eau ce réservoir. La partie pyramidale étant entièrement pleine, on appelle \(x\) la hauteur d’eau dans le parallélépipède rectangle.

1. Quelles sont les valeurs de \(x\) possibles. Donner la réponse sous forme d’un encadrement de \(x\).

2. Exprimer en fonction de \(x\) le volume d’eau dans le parallélépipède.

3. Montrer que le volume d’eau dans le réservoir est donné par la fonction affine \(V\) définie par
\(V(x) = 4x + 2\).

4. Représenter graphiquement cette fonction affine \(V\) en prenant 1 cm pour 0,5 m en abscisse et 1 cm pour 2 m³ en ordonnée.

5. Lire sur le graphique une valeur de \(x\) telle que le volume d’eau égale 12 m³.

6. Trouver par le calcul le volume d’eau dans le réservoir lorsque \(x\) vaut 1,8 m.
Quel est alors le pourcentage de remplissage du réservoir ? (arrondir à l’unité).

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