Corrigé du brevet de maths 2005 : France, groupement Nord, septembre

Corrigé de maths – Brevet 2005 : France, groupement Nord, septembre – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet de septembre 2005 du groupement Nord reprend chaque question avec la méthode et les calculs. Tu y revois les priorités avec les fractions, les fractions à étages, les puissances de 10, l’extraction d’un carré parfait sous une racine, la factorisation par un facteur commun, l’équation produit nul et l’algorithme d’Euclide. En géométrie, on justifie un parallélisme par deux perpendiculaires, on applique Pythagore puis Thalès, on reconnaît un triangle inscrit dans un demi-cercle, on calcule un sinus et on relie parallélogramme et égalité de vecteurs. Le problème fait calculer les volumes d’une pyramide et d’un pavé, puis modélise le remplissage par une fonction affine, avec lecture graphique et pourcentage.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Nord, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Nord 2005

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2005 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et puissances de 10 » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Racines carrées » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Développer et factoriser » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « PGCD et fraction irréductible » (exercice 4). En outre, le corrigé explique « Pythagore et Thalès » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, la correction reprend « Cercle, sinus et vecteurs » (exercice 2 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Volumes du réservoir » (première partie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Remplissage et fonction affine » (deuxième partie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2005 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, les équations et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé Nord 2005)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions et puissances de 10

Calcul de A. Le produit est prioritaire : \(\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\). On additionne ensuite avec le dénominateur commun 12 :

\[A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\]

Ensuite, on a simplifié par 3. \(A = \dfrac{5}{4}\).

Calcul de B. Puis on calcule séparément le numérateur et le dénominateur :

\[2 – \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{3} – \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{3} \qquad 3 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{12}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}\]

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[B = \dfrac{5}{3} \div \dfrac{13}{4} = \dfrac{5}{3} \times \dfrac{4}{13} = \dfrac{20}{39}\]

\(20 = 2^2 \times 5\) et \(39 = 3 \times 13\) n’ont pas de diviseur commun : \(B = \dfrac{20}{39}\).

Calcul de C. Alors on sépare les nombres et les puissances de 10 :

\[C = (3 \times 5) \times \dfrac{10^{4} \times 10^{-2}}{10^{-1}} = 15 \times \dfrac{10^{2}}{10^{-1}} = 15 \times 10^{3}\]

Comme \(15 = 1{,}5 \times 10\), \(C = 1{,}5 \times 10^{4}\) (c’est-à-dire 15 000).

À retenir : pour une fraction « à étages », calcule d’abord le haut et le bas, puis multiplie par l’inverse du dénominateur ; en notation scientifique, le premier facteur doit être compris entre 1 et 10.

Corrigé de l’exercice 2 : racines carrées

On cherche dans chaque radicande un carré parfait facteur de 3, puis on utilise \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) :

\[3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \times 3} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \qquad \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\]

Ensuite, on regroupe les termes en \(\sqrt{3}\) : \(D = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} – 5\sqrt{3} = (6 + 3 – 5)\sqrt{3}\).

\(D = 4\sqrt{3}\), avec \(a = 4\) et \(b = 3\).

À retenir : on ne peut additionner des racines carrées que si elles portent sur le même nombre ; il faut donc d’abord les simplifier pour faire apparaître la même racine.

Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2005) : développer, factoriser, résoudre

1. L’identité remarquable \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) donne \((2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\). La distributivité donne \(-3(2x – 3) = -6x + 9\). Donc :

\[E = 4x^2 – 12x + 9 – 6x + 9\]

\(E = 4x^2 – 18x + 18\).

2. Le facteur \((2x – 3)\) est présent dans les deux termes, puisque \((2x – 3)^2 = (2x – 3)(2x – 3)\) :

\[E = (2x – 3)\big[(2x – 3) – 3\big]\]

\(E = (2x – 3)(2x – 6)\). Contrôle : \((2x – 3)(2x – 6) = 4x^2 – 12x – 6x + 18 = 4x^2 – 18x + 18\).

3. L’énoncé comporte une coquille : il s’agit bien sûr de l’équation \((2x – 3)(2x – 6) = 0\), c’est-à-dire \(E = 0\) sous sa forme factorisée. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul :

\(2x – 3 = 0\) donne \(x = \dfrac{3}{2}\) ; \(2x – 6 = 0\) donne \(x = 3\).

Les solutions sont \(\dfrac{3}{2}\) et 3. (Si l’on prend l’équation écrite à la lettre, \((2x – 3x)(2x – 6) = -x(2x – 6) = 0\) a pour solutions 0 et 3 ; la même règle du produit nul s’applique.)

4. Puis on remplace \(x\) par \(\sqrt{2}\) dans la forme développée, en utilisant \(\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2\) :

\[E = 4 \times 2 – 18\sqrt{2} + 18 = 8 + 18 – 18\sqrt{2}\]

\(E = 26 – 18\sqrt{2}\), avec \(a = 26\) et \(b = 18\). Vérification avec la forme factorisée : \((2\sqrt{2} – 3)(2\sqrt{2} – 6) = 8 – 12\sqrt{2} – 6\sqrt{2} + 18 = 26 – 18\sqrt{2}\).

À retenir : choisis la bonne forme selon la question : la forme factorisée pour résoudre \(E = 0\), la forme développée pour calculer une valeur ; et vérifie une factorisation en la redéveloppant.

Corrigé de l’exercice 4 : PGCD et fraction irréductible

1. D’abord, on applique l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :

\(696 = 1 \times 406 + 290\)
\(406 = 1 \times 290 + 116\)
\(290 = 2 \times 116 + 58\)
\(116 = 2 \times 58 + 0\)

Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(696 ; 406) = 58.

2. Ensuite, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(406 = 58 \times 7\) et \(696 = 58 \times 12\).

\[\dfrac{406}{696} = \dfrac{58 \times 7}{58 \times 12} = \dfrac{7}{12}\]

La fraction irréductible est \(\dfrac{7}{12}\).

À retenir : diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD donne directement la fraction irréductible, en une seule étape.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : Pythagore et Thalès

1. D’après le codage de la figure, la droite (AB) est perpendiculaire à (BC) et la droite (CF) est aussi perpendiculaire à (BC). Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AB) et (CF) sont parallèles.

2. Le triangle OAB est rectangle en B, d’hypoténuse [OA]. D’après le théorème de Pythagore :

\[OA^2 = OB^2 + AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]

Donc \(OA = \sqrt{25} = 5\) cm.

3. Les points B, O, C sont alignés, les points A, O, F sont alignés, et les droites (AB) et (CF) sont parallèles. Le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OFC donne :

\[\dfrac{OB}{OC} = \dfrac{OA}{OF} = \dfrac{AB}{CF} \quad \text{soit} \quad \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{OF} = \dfrac{4}{CF}\]

Le rapport vaut \(\dfrac{1}{2}\) : le grand triangle a des côtés deux fois plus longs. D’où \(OF = \dfrac{5 \times 6}{3} = 10\) et \(CF = \dfrac{4 \times 6}{3} = 8\).

\(OF = 10\) cm et \(CF = 8\) cm. Contrôle avec Pythagore dans le triangle OCF rectangle en C : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\).

À retenir : deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles, ce qui ouvre la porte au théorème de Thalès ; écris toujours les rapports dans le même ordre (petit triangle en haut, grand en bas).

Corrigé de l’exercice 2 (Nord 2005) : cercle, sinus et vecteurs

1. Construction : trace un cercle de centre O de rayon 4 cm et un diamètre [AB] (8 cm). Prends un écartement de compas de 5 cm, pique en A et coupe le cercle : c’est le point M. La figure est complétée au fil des questions (points R, P et N).

2. Le point M appartient au cercle de diamètre [AB]. Propriété : si un point M d’un cercle est distinct des extrémités d’un diamètre [AB], alors le triangle AMB est rectangle en M. Le triangle AMB est rectangle en M.

3. Dans le triangle AMB rectangle en M, le côté opposé à l’angle \(\widehat{MBA}\) est [AM] et l’hypoténuse est [AB], de longueur 8 cm :

\[\sin \widehat{MBA} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625\]

La calculatrice (touche \(\sin^{-1}\)) donne \(\widehat{MBA} \approx 38{,}7^\circ\), donc \(\widehat{MBA} \approx 39^\circ\) au degré près.

4. Le point H n’est défini nulle part dans l’énoncé : il s’agit d’une coquille pour B, et R est le milieu de [OB] (c’est ce que confirme la suite avec le quadrilatère MBPO). On place R à 2 cm de O sur [OB], puis P tel que R soit le milieu de [MP].

Dans le quadrilatère MBPO, les diagonales sont [MP] et [OB]. Par construction, R est le milieu de [MP] (P est le symétrique de M par rapport à R) et R est le milieu de [OB]. Propriété : si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. MBPO est un parallélogramme.

(Il n’est pas un losange, car \(OM = 4\) cm alors que \(MB = \sqrt{8^2 – 5^2} = \sqrt{39} \approx 6{,}2\) cm, ni un rectangle, car \(\widehat{OMB}\) n’est pas droit.)

5. Dans le parallélogramme MBPO, les côtés opposés [MO] et [BP] sont parallèles, de même longueur et, en suivant les sommets dans l’ordre M, B, P, O, on a \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OP}\) et \(\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{BP}\). Donc \(\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{BP}\).

6. D’après la question 5, \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO}\). Le vecteur \(\overrightarrow{MN}\) a donc la même direction et le même sens que \(\overrightarrow{MO}\), avec une longueur double.

Ainsi O est le milieu de [MN] : N est le symétrique de M par rapport à O. Pour le construire, on prolonge [MO] au-delà de O d’une longueur égale à MO = 4 cm ; N est sur le cercle, diamétralement opposé à M.

À retenir : « diagonales de même milieu » est la façon la plus rapide de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, et un parallélogramme ABCD se traduit par \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

Problème

Corrigé de la première partie : volumes du réservoir

1. La base de la pyramide est le carré EFGH, qui a les mêmes dimensions que ABCD : côté 2 m, donc aire \(2 \times 2 = 4\) m². Sa hauteur est OI = 1,5 m. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\) :

\[V_{\text{pyramide}} = \dfrac{1}{3} \times 4 \times 1{,}5 = \dfrac{6}{3} = 2\]

Le volume de la pyramide est 2 m³.

2. De même, le parallélépipède rectangle a pour dimensions 2 m, 2 m et AE = 5 m :

\[V_{\text{pavé}} = 2 \times 2 \times 5 = 20\]

Le volume du parallélépipède est 20 m³.

3. Le réservoir plein contient les deux volumes : \(2 + 20 = 22\). De même, le volume du réservoir plein est 22 m³.

À retenir : le volume d’une pyramide (ou d’un cône) est le tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur : \(\dfrac{1}{3} \times B \times h\).

Corrigé de la deuxième partie : la fonction du remplissage

1. La hauteur d’eau dans le parallélépipède va de 0 (seule la pyramide est remplie) à 5 m (réservoir plein, puisque AE = 5 m). \(0 \leqslant x \leqslant 5\).

2. L’eau dans le parallélépipède forme un pavé de base 2 m × 2 m et de hauteur \(x\) : son volume est \(2 \times 2 \times x\), soit \(4x\) m³.

3. Le volume d’eau total est celui de la pyramide pleine (2 m³) plus celui de l’eau dans le parallélépipède : \(V(x) = 4x + 2\). C’est bien une fonction affine, de coefficient 4 et d’ordonnée à l’origine 2.

4. La représentation d’une fonction affine est une droite ; ici on ne la trace que pour \(x\) entre 0 et 5, c’est donc un segment. Deux points suffisent : \(V(0) = 2\) donne le point (0 ; 2) et \(V(5) = 22\) donne le point (5 ; 22). Avec les unités demandées, l’axe des abscisses mesure 10 cm (5 m) et l’axe des ordonnées 11 cm (22 m³).

5. On part de 12 sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la droite, puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses. Puis on lit \(x = 2{,}5\) m. Vérification par le calcul : \(4x + 2 = 12\) donne \(4x = 10\), donc \(x = 2{,}5\).

6. Alors on calcule l’image de 1,8 : \(V(1{,}8) = 4 \times 1{,}8 + 2 = 7{,}2 + 2 = 9{,}2\). Le réservoir contient 9,2 m³ d’eau.

Le pourcentage de remplissage compare ce volume au volume total de 22 m³ :

\[\dfrac{9{,}2}{22} \times 100 \approx 41{,}8\]

De même, le réservoir est rempli à environ 42 %.

À retenir : pour tracer une fonction affine, calcule deux images, de préférence aux bornes de l’intervalle ; et un pourcentage de remplissage est le quotient « partie / total » multiplié par 100.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Nord, septembre.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nord 2005

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Nord 2005 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2005

Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2005 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2005. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2005

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

Les autres corrigés du brevet 2005

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