Corrigé du brevet de maths 2005 : France, groupement Ouest
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Ouest. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Ouest 2005
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Ouest 2005 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Fractions, puissances et racines » (activités numériques). Ensuite, le corrigé explique « PGCD et fraction irréductible » (exercice 1 de la partie numérique). Puis la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Problème d’âges » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Thalès, cosinus et Pythagore » (exercice 4 de la partie numérique).
Ensuite, le corrigé explique « Repère et carré OABC » (activités géométriques). Puis la correction reprend « Livres prêtés : statistiques » (exercice 1 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Tarif plein ou abonné » (exercice 2 de géométrie).
Ainsi, le corrigé corrigé Ouest 2005 te fait revoir les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, les équations et le théorème de Thalès, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Ouest 2005)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances de 10 et racines
1. La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :
\[\dfrac{5}{2}\div\dfrac{15}{4}=\dfrac{5}{2}\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{5\times 2\times 2}{2\times 5\times 3}=\dfrac{2}{3}\]
\[\text{A}=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}\]
4 et 3 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : \(\text{A}=\dfrac{4}{3}\).
2. a. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[\text{B}=\dfrac{2{,}5\times 9}{15}\times\dfrac{10^{-3}\times 10^{5}}{10^{-4}}=\dfrac{22{,}5}{15}\times 10^{-3+5-(-4)}=1{,}5\times 10^{6}\]
En écriture décimale : B = 1 500 000.
b. L’écriture scientifique est \(a\times 10^n\) avec \(1\leqslant a\lt 10\) : \(\text{B}=1{,}5\times 10^{6}\).
3. Ensuite, on fait apparaître \(\sqrt{5}\) en cherchant des carrés parfaits : \(45=9\times 5\) et \(20=4\times 5\).
\[2\sqrt{45}=2\times\sqrt{9}\times\sqrt{5}=2\times 3\sqrt{5}=6\sqrt{5}\qquad 3\sqrt{20}=3\times\sqrt{4}\times\sqrt{5}=3\times 2\sqrt{5}=6\sqrt{5}\]
\[\text{C}=6\sqrt{5}+6\sqrt{5}-10\sqrt{5}=(6+6-10)\sqrt{5}=2\sqrt{5}\]
Donc \(\text{C}=2\sqrt{5}\) (\(a=2\)).
Corrigé de l’exercice 2 : PGCD et fraction irréductible
1. Algorithme d’Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.
\[675=1\times 375+300\qquad 375=1\times 300+75\qquad 300=4\times 75+0\]
Le dernier reste non nul est 75 : PGCD(675 ; 375) = 75.
Contrôle par les décompositions : \(675=3^3\times 5^2\) et \(375=3\times 5^3\), dont le plus grand diviseur commun est \(3\times 5^2=75\).
2. Puis on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD :
\[\dfrac{675}{375}=\dfrac{675\div 75}{375\div 75}=\dfrac{9}{5}\]
La fraction irréductible est \(\dfrac{9}{5}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Ouest 2005) : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on utilise deux identités remarquables : \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) et \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
\[E=(x^2-6x+9)+(x^2-9)=2x^2-6x\]
Donc \(E=2x^2-6x\).
2. Le facteur commun est \((x-3)\) :
\[E=(x-3)\big[(x-3)+(x+3)\big]=(x-3)\times 2x\]
Donc \(E=2x(x-3)\). On vérifie en développant : \(2x\times x-2x\times 3=2x^2-6x\), comme au 1.
3. Avec la forme factorisée : \(E=2\times 5\times(5-3)=10\times 2=20\). Avec la forme développée : \(2\times 25-6\times 5=50-30=20\).
Pour \(x=5\), \(E=20\).
4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[x(x-3)=0\iff x=0\ \text{ou}\ x-3=0\iff x=0\ \text{ou}\ x=3\]
L’équation a deux solutions : 0 et 3. (Ce sont aussi les solutions de \(E=0\), puisque \(E=2x(x-3)\).)
Corrigé de l’exercice 4 : problème d’âges
Choix de l’inconnue : notons \(n\) le nombre d’années cherché. Dans \(n\) ans, Marc aura \(11+n\) ans et Pierre \(26+n\) ans.
Mise en équation : l’âge de Pierre doit être le double de celui de Marc :
\[26+n=2(11+n)\]
Résolution :
\[26+n=22+2n\quad\Longrightarrow\quad 26-22=2n-n\quad\Longrightarrow\quad n=4\]
Vérification : dans 4 ans, Marc aura 15 ans et Pierre 30 ans, et \(30=2\times 15\).
Conclusion : c’est dans 4 ans que Pierre aura le double de l’âge de Marc.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : Thalès, cosinus et Pythagore
1. Les points O, B, D sont alignés, les points O, A, C aussi, et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{OB}}{\text{OD}}=\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}},\quad\text{soit}\quad\dfrac{6}{\text{OD}}=\dfrac{8}{10}\]
Par produit en croix : \(\text{OD}=\dfrac{6\times 10}{8}=7{,}5\).
B est entre O et D, donc \(\text{BD}=\text{OD}-\text{OB}=7{,}5-6=1{,}5\). On obtient BD = 1,5 cm.
2. a. Le triangle OBA est rectangle en B, donc son hypoténuse est [OA]. Pour l’angle \(\widehat{\text{AOB}}\), le côté adjacent est [OB] :
\[\cos\widehat{\text{AOB}}=\dfrac{\text{OB}}{\text{OA}}=\dfrac{6}{8}=0{,}75\]
À la calculatrice (touche \(\cos^{-1}\)), \(\widehat{\text{AOB}}\approx 41{,}4^\circ\), soit \(\widehat{\text{AOB}}\approx 41^\circ\) au degré près.
b. La droite (AB) est perpendiculaire à (OD), puisque l’angle \(\widehat{\text{OBA}}\) est droit. Or (CD) est parallèle à (AB). Propriété : si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (CD) est perpendiculaire à (OD) : le triangle ODC est rectangle en D.
c. Dans le triangle ODC rectangle en D, l’hypoténuse est [OC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{OC}^2=\text{OD}^2+\text{CD}^2,\quad\text{donc}\quad\text{CD}^2=10^2-7{,}5^2=100-56{,}25=43{,}75\]
\[\text{CD}=\sqrt{43{,}75}\approx 6{,}61\]
Au dixième : CD ≈ 6,6 cm.
Contrôle par un autre chemin : dans OBA, \(\text{AB}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}\approx 5{,}29\), et Thalès donne \(\text{CD}=\text{AB}\times\dfrac{10}{8}\approx 6{,}61\). Même résultat.
Corrigé de l’exercice 2 (Ouest 2005) : un carré dans un repère
1. Les points sont placés sur la figure ci-dessous, avec le point B et le centre M des questions suivantes.
![Repère orthonormé (O, I, J) avec A(−2 ; 3), C(3 ; 2), B(1 ; 5) et le carré OABC, ses diagonales [AC] et [OB] se coupant en M(0,5 ; 2,5), et l'angle droit marqué en O](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2005-france-groupement-ouest/gen-repere-carre-oabc.webp)
2. Dans un repère orthonormal, la distance entre deux points est \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
\[\text{OA}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\]
\[\text{OC}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\]
\[\text{AC}=\sqrt{(3-(-2))^2+(2-3)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\]
Donc OA = \(\sqrt{13}\) cm, OC = \(\sqrt{13}\) cm et AC = \(\sqrt{26}\) cm.
3. OA = OC, donc le triangle OAC est isocèle en O.
De plus, \(\text{OA}^2+\text{OC}^2=13+13=26\) et \(\text{AC}^2=26\). L’égalité \(\text{AC}^2=\text{OA}^2+\text{OC}^2\) est vérifiée, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAC est rectangle en O (le sommet opposé au plus grand côté [AC]).
Conclusion : OAC est rectangle isocèle en O.
4. Les coordonnées d’une somme de vecteurs s’additionnent : \(\overrightarrow{\text{OA}}\,(-2\,;\,3)\) et \(\overrightarrow{\text{OC}}\,(3\,;\,2)\), donc \(\overrightarrow{\text{OB}}\,(1\,;\,5)\). Comme l’origine est O, les coordonnées de B sont celles de \(\overrightarrow{\text{OB}}\) : B(1 ; 5).
Pour construire B à la règle et au compas : on reporte le vecteur \(\overrightarrow{\text{OC}}\) à partir de A (ou on complète le parallélogramme construit sur [OA] et [OC]).
5. L’égalité \(\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OC}}\) (règle du parallélogramme) signifie que OABC est un parallélogramme. Ce parallélogramme a :
- un angle droit en O (question 3), donc c’est un rectangle ;
- deux côtés consécutifs de même longueur, OA = OC (question 3), donc c’est un losange.
Un quadrilatère à la fois rectangle et losange est un carré : OABC est un carré.
6. Le centre de symétrie d’un parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales, qui est le milieu de chacune d’elles. Avec la diagonale [OB] :
\[x_M=\dfrac{0+1}{2}=0{,}5\qquad y_M=\dfrac{0+5}{2}=2{,}5\]
Contrôle avec [AC] : \(\left(\dfrac{-2+3}{2}\,;\,\dfrac{3+2}{2}\right)=(0{,}5\,;\,2{,}5)\). Donc M(0,5 ; 2,5).
Problème
Corrigé de la partie A : les livres prêtés dans la semaine
1. a. Tout d’abord, on additionne les cinq jours :
\[61+121+42+59+82=365\]
La bibliothèque a prêté 365 livres dans la semaine.
b. La moyenne par jour est le total divisé par le nombre de jours d’ouverture :
\[\dfrac{365}{5}=73\]
En moyenne, 73 livres sont prêtés par jour.
2. a. Le mercredi, 121 livres sur 365 ont été prêtés :
\[\dfrac{121}{365}\times 100\approx 33{,}15\]
Arrondi à l’unité : environ 33 % des livres de la semaine.
b. Le quart de la semaine correspondrait à 25 %, soit \(\dfrac{365}{4}=91{,}25\) livres. Or le mercredi, on en prête 121, soit environ 33 %, ce qui est plus proche du tiers (\(365\div 3\approx 121{,}7\)).
Non, le bibliothécaire a tort : le mercredi, on prête environ le tiers des livres de la semaine, et non le quart.
Corrigé de la partie B : tarif plein ou tarif abonné ?
1. Au tarif plein, on multiplie le nombre de livres par 0,90 € ; au tarif abonné, on multiplie par 0,50 € et on ajoute les 10 € de cotisation.
| nombre de livres empruntés pendant l’année | 10 | 20 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|
| prix payé au plein tarif (en euro) | 9 | 18 | 45 | 90 |
| prix payé au tarif « abonné » (en euro) | 15 | 20 | 35 | 60 |
Exemple de calcul pour 50 livres : \(50\times 0{,}90=45\) € et \(10+50\times 0{,}50=10+25=35\) €.
2. a. Tarif plein : \(35\times 0{,}90=31{,}50\). Le prix est 31,50 €.
b. Tarif abonné : \(10+35\times 0{,}50=10+17{,}50=27{,}50\). Le prix est 27,50 €.
3. En généralisant les calculs précédents à \(x\) livres :
\(P(x)=0{,}9x\) et \(A(x)=0{,}5x+10\).
4. a. Alors on regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :
\[0{,}9x-0{,}5x=10\quad\Longrightarrow\quad 0{,}4x=10\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{10}{0{,}4}=25\]
La solution est \(x=25\). Vérification : \(0{,}9\times 25=22{,}5\) et \(0{,}5\times 25+10=12{,}5+10=22{,}5\).
b. L’équation traduit \(P(x)=A(x)\) : pour 25 livres empruntés dans l’année, les deux tarifs coûtent la même chose (22,50 €).
Le tableau le confirme : pour 10 ou 20 livres, le tarif plein est moins cher ; pour 35, 50 ou 100 livres, c’est le tarif abonné. Une personne qui emprunte plus de 25 livres par an a donc intérêt à s’abonner, et moins de 25 livres, à rester au tarif plein.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Ouest 2005
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Ouest 2005, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Ouest 2005
Faut-il lire le corrigé corrigé Ouest 2005 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2005. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et les équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Ouest 2005
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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