Corrigé du brevet de maths 2005 : France, groupement Sud, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Sud, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Sud septembre
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Sud septembre est découpé en 6 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions, racines et puissances » (activités numériques). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Factorisation et équation produit » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « Système et prix des poissons » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Translation et losange » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, la correction reprend « Triangle rectangle, tangente, Thalès » (activités géométriques).
Enfin, tu lis la démarche complète pour « Tarifs d’un parc d’attractions » (exercice 1 de géométrie).
Ainsi, le corrigé corrigé Sud septembre te fait revoir les fractions, les racines carrées, les puissances de 10, les équations et les systèmes d’équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Sud septembre)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction, racines carrées et écriture scientifique
1. La division est prioritaire sur l’addition. Diviser par \(\dfrac{5}{3}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{3}{5}\) :
\[\dfrac{3}{7}\div\dfrac{5}{3}=\dfrac{3}{7}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{35}\]
\[\text{A}=-\dfrac{13}{7}+\dfrac{9}{35}=-\dfrac{65}{35}+\dfrac{9}{35}=-\dfrac{56}{35}=-\dfrac{7\times8}{7\times5}\]
\(\text{A}=-\dfrac{8}{5}\), fraction irréductible car 8 et 5 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
2. Ensuite, on regroupe les racines avec \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times b}\) :
\[\text{B}=5\times\sqrt{8\times18}=5\sqrt{144}=5\times12\]
B = 60.
3. Attention, on ne peut pas additionner les radicandes. Puis on simplifie chaque racine en faisant apparaître un carré parfait multiplié par 2 :
\[\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\qquad\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\]
\[\text{C}=2\sqrt{2}+5\times3\sqrt{2}=2\sqrt{2}+15\sqrt{2}\]
\(\text{C}=17\sqrt{2}\).
4. Alors on sépare les nombres et les puissances de 10 : \(\dfrac{45\times4}{3}=60\) et \(\dfrac{10^{-6}\times10^{8}}{10^{-3}}=\dfrac{10^{2}}{10^{-3}}=10^{5}\).
\[\text{D}=60\times10^{5}=6\times10\times10^{5}\]
\(\text{D}=6\times10^{6}\) (6 millions).
Corrigé de l’exercice 2 : différence de deux carrés
1. D’abord, on développe \((5x+4)^2\) avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :
\[F=25x^2+2\times5x\times4+16-49=25x^2+40x+16-49\]
\(F=25x^2+40x-33\).
2. \(49=7^2\), donc \(F\) est de la forme \(a^2-b^2\) avec \(a=5x+4\) et \(b=7\). D’après \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :
\[F=(5x+4-7)(5x+4+7)\]
\(F=(5x-3)(5x+11)\).
3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul :
\[5x-3=0\ \text{donne}\ x=\dfrac{3}{5}\ ;\qquad 5x+11=0\ \text{donne}\ x=-\dfrac{11}{5}\]
Les solutions sont \(\dfrac{3}{5}\) et \(-\dfrac{11}{5}\) (soit 0,6 et −2,2).
4. La forme de départ est la plus simple : \(5\times(-2)+4=-6\), donc \(F=(-6)^2-49=36-49\). Pour \(x=-2\), \(F=-13\). Contrôle avec la forme développée : \(25\times4-80-33=100-80-33=-13\).
Corrigé de l’exercice 3 : système et prix des poissons
1. Tout d’abord, on multiplie la deuxième équation par 3 pour avoir le même coefficient 6 devant \(x\) :
\[6x+9y=33\]
Ensuite, on soustrait la première équation \(6x+5y=25\) membre à membre : \(9y-5y=33-25\), soit \(4y=8\), d’où \(y=2\).
Puis on remplace \(y\) par 2 dans \(2x+3y=11\) : \(2x+6=11\), donc \(2x=5\) et \(x=2{,}5\).
Vérification dans la première équation : \(6\times2{,}5+5\times2=15+10=25\). Le système a pour unique solution le couple \((x\ ;\ y)=(2{,}5\ ;\ 2)\).
2. Notons \(x\) le prix d’un poisson rouge et \(y\) le prix d’un poisson jaune, en euros. L’achat de Pierre se traduit par \(6x+5y=25\), celui de Jules par \(2x+3y=11\). On retrouve exactement le système de la question 1.
a. Un poisson rouge coûte 2,50 €.
b. Un poisson jaune coûte 2 €.
Contrôle : Jules paie \(2\times2{,}50+3\times2=5+6=11\) euros.
Activités géométriques (corrigé Sud septembre)
Corrigé de l’exercice 1 : translation et losange dans un repère
1. Pour commencer, on place A(1 ; 2), B(−2 ; 1) et C(−3 ; −2). La figure ci-dessous contient aussi le point D construit à la question 3.
2. Dans un repère orthonormé, \(\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
\[\text{AB}=\sqrt{(-2-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\]
\[\text{BC}=\sqrt{(-3-(-2))^2+(-2-1)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\]
\(\text{AB}=\text{BC}=\sqrt{10}\) cm, soit environ 3,16 cm.
3. Pour aller de B à C, on se déplace de 1 vers la gauche et de 3 vers le bas : \(\overrightarrow{\text{BC}}\,(-1\ ;\ -3)\). On fait le même déplacement à partir de A : \(x_D=1-1=0\) et \(y_D=2-3=-1\). D a pour coordonnées (0 ; −1).
4. D est l’image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BC}}\), donc \(\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{BC}}\). Cette égalité signifie que ABCD est un parallélogramme. De plus, ses deux côtés consécutifs [AB] et [BC] ont la même longueur \(\sqrt{10}\) (question 2). Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. ABCD est un losange.
Ce n’est pas un carré : le triangle ABC n’est pas rectangle en B, puisque \(\text{AC}^2=(-3-1)^2+(-2-2)^2=32\) alors que \(\text{AB}^2+\text{BC}^2=20\).
Corrigé de l’exercice 2 : triangle rectangle, tangente et Thalès
1. D’abord, on trace [IJ] de 9,6 cm. Au compas, on trace l’arc de centre I et de rayon 4 cm, puis l’arc de centre J et de rayon 10,4 cm : K est un point d’intersection de ces deux arcs. On vérifie ensuite à l’équerre que l’angle en I est droit.
2. Le plus long côté est [JK]. Ensuite, on compare :
\[\text{JK}^2=10{,}4^2=108{,}16\qquad\text{IJ}^2+\text{IK}^2=9{,}6^2+4^2=92{,}16+16=108{,}16\]
On a \(\text{JK}^2=\text{IJ}^2+\text{IK}^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I.
3. Dans le triangle IJK rectangle en I, pour l’angle \(\widehat{\text{IJK}}\), le côté opposé est [IK] et le côté adjacent est [IJ] :
\[\tan\widehat{\text{IJK}}=\dfrac{\text{IK}}{\text{IJ}}=\dfrac{4}{9{,}6}=\dfrac{5}{12}\approx0{,}417\]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{IJK}}\approx22{,}6^\circ\). Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°) :
\[\widehat{\text{IKJ}}=90^\circ-\widehat{\text{IJK}}\approx90^\circ-22{,}6^\circ=67{,}4^\circ\]
\(\tan\widehat{\text{IJK}}=\dfrac{5}{12}\) et \(\widehat{\text{IKJ}}\approx67^\circ\) au degré près. (On peut contrôler : \(\tan\widehat{\text{IKJ}}=\dfrac{9{,}6}{4}=2{,}4\), ce qui donne aussi environ 67°.)
4. a. Les points I, M, J sont alignés dans cet ordre, ainsi que I, N, K. Puis on calcule :
\[\dfrac{\text{IM}}{\text{IJ}}=\dfrac{7{,}2}{9{,}6}=0{,}75\qquad\dfrac{\text{IN}}{\text{IK}}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\]
Les deux rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (JK) sont parallèles.
b. Les droites (MN) et (JK) étant parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{\text{MN}}{\text{JK}}=\dfrac{\text{IM}}{\text{IJ}}=0{,}75\).
\[\text{MN}=0{,}75\times10{,}4=7{,}8\]
MN = 7,8 cm. Contrôle par Pythagore dans le triangle IMN rectangle en I : \(7{,}2^2+3^2=51{,}84+9=60{,}84=7{,}8^2\).
Corrigé du problème : les tarifs du parc d’attractions
1. Avec le tarif 1, un adulte et un enfant paient \(18+12=30\) euros par jour. Avec le tarif 2, la famille paie 100 euros plus 10 euros par jour. Par exemple, pour 14 jours : \(30\times14=420\) et \(100+10\times14=240\).
| Nombre de jours passés dans le parc | 1 | 4 | 14 |
|---|---|---|---|
| Prix payé avec le tarif 1 | 30 | 120 | 420 |
| Prix payé avec le tarif 2 | 110 | 140 | 240 |
2. a. Chaque jour coûte 30 euros à la famille : \(p_1(x)=30x\).
b. Au forfait de 100 euros s’ajoutent 10 euros par jour : \(p_2(x)=10x+100\).
3. \(p_1\) est une fonction linéaire : sa représentation est une droite passant par l’origine, et par exemple par le point (4 ; 120). \(p_2\) est une fonction affine : sa représentation est une droite qui coupe l’axe des ordonnées en 100 et passe par (14 ; 240). Les deux droites se coupent au point (5 ; 150) : pour 5 jours, les deux tarifs coûtent 150 euros.
4. a. Alors on trace la verticale d’abscisse 8. Elle coupe la droite de \(p_1\) à l’ordonnée 240 et celle de \(p_2\) à l’ordonnée 180. La droite de \(p_2\) est en dessous : pour 8 jours, le tarif 2 est le plus avantageux (180 euros au lieu de 240).
b. Ensuite, on trace l’horizontale d’ordonnée 120. Elle coupe la droite de \(p_2\) au point d’abscisse 2 et celle de \(p_1\) au point d’abscisse 4. Avec 120 euros, la famille reste 2 jours avec le tarif 2 mais 4 jours avec le tarif 1. Le tarif 1 lui permet de passer le plus grand nombre de jours : 4 jours.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Sud septembre
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Sud septembre, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Sud septembre
Faut-il lire le corrigé corrigé Sud septembre en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2005. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, les puissances de 10 et les équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Sud septembre
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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