Corrigé du brevet de maths 2005 : Amérique du Nord

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Amérique 2005

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Amérique 2005 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et écriture scientifique » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Notes de deux classes » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Système d’équations » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Six transformations du plan » (exercice 3 de la partie numérique). Puis en outre, le corrigé explique « Deux boules dans une boîte » (activités géométriques).

Ensuite, la correction reprend « Triangle AKL dans un repère » (exercice 1 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Périmètre du rectangle APMQ » (exercice 2 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Périmètre du triangle BPM » (exercice 3 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Amérique 2005 sont les fractions, les puissances de 10, la médiane et les statistiques, les systèmes d’équations et les équations, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé Amérique 2005)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions et écriture scientifique

1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : on calcule d’abord \(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{7}{11}\).

\[ A = \dfrac{5}{3} – \dfrac{4 \times 7}{3 \times 11} = \dfrac{5}{3} – \dfrac{28}{33} \]

Ensuite, on met au même dénominateur 33 : \(\dfrac{5}{3} = \dfrac{5 \times 11}{3 \times 11} = \dfrac{55}{33}\).

\[ A = \dfrac{55}{33} – \dfrac{28}{33} = \dfrac{27}{33} = \dfrac{3 \times 9}{3 \times 11} = \dfrac{9}{11} \]

9 et 11 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc la fraction est irréductible : \(A = \dfrac{9}{11}\).

2. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :

\[ B = \dfrac{210 \times 5}{35} \times \dfrac{10^{-6} \times 10^{5}}{10^{4}} = \dfrac{1\,050}{35} \times \dfrac{10^{-1}}{10^{4}} = 30 \times 10^{-5} \]

En écriture scientifique, le premier facteur doit être compris entre 1 et 10 (10 exclu) : \(30 = 3 \times 10^{1}\), donc \(B = 3 \times 10^{1} \times 10^{-5}\).

\(B = 3 \times 10^{-4}\).

Corrigé de l’exercice 2 : les notes de deux classes

1. On compte d’abord les effectifs de chaque note :

Chaque ligne totalise bien 20 élèves. Sur un même axe des notes, on trace pour chaque note un bâton de hauteur égale à l’effectif, d’une couleur pour chaque professeur :

2. La moyenne est la somme des notes divisée par l’effectif total.

Madame A : la somme des notes vaut \(7+8+12+12+18+5+11+6+3+8+5+18+9+20+6+16+6+18+7+15 = 210\), donc la moyenne vaut \(\dfrac{210}{20} = 10{,}5\).

Monsieur B : la somme vaut \(8+8+9+12+11+8+13+15+7+9+10+10+12+8+10+14+12+11+14+9 = 210\), donc la moyenne vaut \(\dfrac{210}{20} = 10{,}5\).

Les deux classes ont la même moyenne : 10,5.

3. Puis on range les notes dans l’ordre croissant. Avec 20 notes, une médiane est la moyenne de la 10^e et de la 11^e note.

Corrigé de l’exercice 2 : les notes de deux classes (suite)

Madame A : 3 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 12 ; 15 ; 16 ; 18 ; 18 ; 18 ; 20. De plus, une médiane est \(\dfrac{8+9}{2} = 8{,}5\).

Monsieur B : 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15. Ensuite, une médiane est 10.

Corrigé de l’exercice 2 : les notes de deux classes (suite)

Médianes : 8,5 pour Madame A et 10 pour Monsieur B.

4. Les moyennes sont identiques, mais les séries sont très différentes :

• dans la classe de Madame A, la moitié des élèves a moins de 8,5 ; les notes vont de 3 à 20 (étendue \(20 – 3 = 17\)) : la classe est très hétérogène, avec de très bonnes et de très faibles notes ;
• dans la classe de Monsieur B, la moitié des élèves a au moins 10 ; les notes vont de 7 à 15 (étendue \(15 – 7 = 8\)) : la classe est beaucoup plus homogène.

Conclusion : même moyenne, mais la classe de Monsieur B est plus homogène et a une médiane plus élevée, tandis que celle de Madame A compte à la fois les meilleurs et les plus faibles résultats.

Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2005) : système d’équations

1. La première équation donne \(x\) en fonction de \(y\) : \(x = 35 + 3y\). Par ailleurs, on remplace \(x\) dans la seconde (méthode par substitution) :

\[ 5(35 + 3y) – 4y = -20 \]

\[ 175 + 15y – 4y = -20 \quad \text{donc} \quad 11y = -195 \quad \text{donc} \quad y = -\dfrac{195}{11} \]

Puis \(x = 35 + 3 \times \left(-\dfrac{195}{11}\right) = \dfrac{385}{11} – \dfrac{585}{11} = -\dfrac{200}{11}\).

Vérification dans la seconde équation : \(5 \times \left(-\dfrac{200}{11}\right) – 4 \times \left(-\dfrac{195}{11}\right) = \dfrac{-1\,000 + 780}{11} = \dfrac{-220}{11} = -20\).

La solution du système est le couple \(x = -\dfrac{200}{11}\) et \(y = -\dfrac{195}{11}\).

2. Alors on calcule chaque membre avec ces valeurs.

\(x – 5 = -\dfrac{255}{11}\) et \(y – 5 = -\dfrac{250}{11}\), donc \(8 \times \dfrac{x-5}{y-5} = 8 \times \dfrac{255}{250} = \dfrac{204}{25} = 8{,}16\).

\(x + 20 = \dfrac{20}{11}\) et \(y + 20 = \dfrac{25}{11}\), donc \(3 \times \dfrac{x+20}{y+20} = 3 \times \dfrac{20}{25} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\).

Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2005) : système d’équation (suite)

Comme \(8{,}16 \neq 2{,}4\), la condition n’est pas vérifiée par la solution du système tel qu’il est écrit : l’énoncé comporte une erreur, et on ne peut pas « montrer » une égalité fausse.

Pour comprendre : le couple \(x = -10\) et \(y = -15\) vérifie bien la première équation (\(-10 + 45 = 35\)) et la condition (\(8 \times \dfrac{-15}{-20} = 6\) et \(3 \times \dfrac{10}{5} = 6\)). Puis il correspond à une seconde équation \(5x – 4y = 10\) au lieu de \(5x – 4y = -20\) : c’est très probablement le système prévu par les auteurs du sujet.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : six transformations

Un premier tri est utile : une symétrie axiale « retourne » la figure (elle inverse le sens de parcours des sommets), alors qu’une translation, une rotation ou une symétrie centrale gardent la figure dans le même sens. Ensuite, une translation ne change pas non plus l’orientation des côtés.

a. La figure grise est le reflet de la blanche dans un miroir vertical. Symétrie axiale ; l’axe est la droite verticale située à égale distance des deux figures (la médiatrice du segment qui joint un sommet à son image).

b. La figure grise est la blanche « retournée tête en bas », sans être inversée. Symétrie centrale (rotation d’un demi-tour) ; le centre O est le milieu du segment qui joint un sommet de la figure blanche au sommet correspondant de la figure grise.

c. La figure grise est la blanche glissée vers la droite et vers le bas, sans être tournée ni retournée. Translation ; son vecteur \(\vec{u}\) va d’un point de la figure blanche au point correspondant de la figure grise.

d. Les deux figures ont le point A en commun et la grise est la blanche tournée d’un quart de tour. Rotation de centre A, d’angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Corrigé de l’exercice 1 : six transformations (suite)

e. La figure grise est la blanche glissée vers la gauche et vers le haut. Translation ; son vecteur \(\vec{v}\) va d’un point de la figure blanche (en bas à droite) au point correspondant de la figure grise (en haut à gauche).

f. (case notée « c. » par erreur dans le tableau de réponse) La figure grise est inclinée et surtout retournée par rapport à la blanche : seule une symétrie axiale fait cela parmi les transformations proposées. Symétrie axiale ; l’axe est la médiatrice du segment joignant un sommet à son image, une droite oblique qui descend de gauche à droite entre les deux figures.

Corrigé de l’exercice 2 : deux boules dans une boîte

Volume de la boîte (pavé droit) : \(V_{\text{boîte}} = 4 \times 4 \times 8 = 128\ \text{cm}^3\).

Volume d’une boule de rayon 2 cm : \(\dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \dfrac{32}{3}\pi\ \text{cm}^3\). Puis pour les deux boules : \(V_{\text{boules}} = 2 \times \dfrac{32}{3}\pi = \dfrac{64}{3}\pi \approx 67{,}02\ \text{cm}^3\).

L’espace libre est la différence :

\[ V_{\text{libre}} = 128 – \dfrac{64}{3}\pi \approx 128 – 67{,}02 = 60{,}98 \]

L’espace laissé libre mesure environ 61 cm³. De plus, les deux boules, de diamètre 4 cm, tiennent bien dans la boîte l’une au-dessus de l’autre (\(2 \times 4 = 8\) cm).

Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2005) : le triangle AKL dans un repère

1. D’abord, on place A(6 ; 0) sur l’axe des abscisses, L(0 ; 8) sur l’axe des ordonnées et K(4 ; 10), avec 1 cm par unité.

2. Dans un repère orthonormé, \(AL = \sqrt{(x_L – x_A)^2 + (y_L – y_A)^2}\) :

\[ AL = \sqrt{(0-6)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

AL = 10 cm.

3. Si le triangle AKL était rectangle en L, son hypoténuse serait [AK] et, d’après le théorème de Pythagore, on aurait \(AK^2 = AL^2 + LK^2\). Or :

\[ AK^2 = 104 \qquad AL^2 + LK^2 = 100 + 20 = 120 \]

\(104 \neq 120\), donc l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée : le triangle AKL n’est pas rectangle en L.

4. a. La hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à (LK) ; elle coupe (LK) en H. Ensuite, le symétrique de L par rapport à cette droite est sur la perpendiculaire à l’axe passant par L, c’est-à-dire sur la droite (LK) elle-même, de l’autre côté de H et à la même distance : on reporte au compas la longueur LH à partir de H sur (LK). Ensuite, on obtient L’, entre H et K.

4. b. A est sur l’axe de symétrie, donc A est son propre symétrique. Par ailleurs, la symétrie axiale conserve les longueurs : le segment [AL’] est l’image de [AL], donc AL’ = AL = 10 cm.

4. c. Sur la figure, on lit L'(3,2 ; 9,6) environ.

Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2005) : le triangle AKL dans un (suite)

5. a. \(AM = 10\) équivaut à \(AM^2 = 100\) (une longueur est positive) :

\[ \dfrac{5}{4}x^2 – 4x + 100 = 100 \quad \text{donc} \quad \dfrac{5}{4}x^2 – 4x = 0 \quad \text{donc} \quad x\left(\dfrac{5}{4}x – 4\right) = 0 \]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x = 0\) ou \(\dfrac{5}{4}x = 4\), c’est-à-dire \(x = \dfrac{16}{5} = 3{,}2\).

Les valeurs cherchées sont \(x = 0\) et \(x = 3{,}2\).

5. b. Les points de (LK) situés à 10 cm de A sont L et L’, puisque AL = AL’ = 10. Puis pour \(x = 0\), l’ordonnée vaut 8 : c’est L(0 ; 8), déjà connu. Ensuite, la question porte donc en réalité sur L’ (le prime a été oublié dans l’énoncé) : pour \(x = \dfrac{16}{5}\), l’ordonnée vaut \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{16}{5} + 8 = \dfrac{8}{5} + 8 = \dfrac{48}{5}\).

Coordonnées exactes : L’\(\left(\dfrac{16}{5}\,;\,\dfrac{48}{5}\right)\), soit (3,2 ; 9,6), ce qui confirme la lecture graphique. Vérification : \(\left(\dfrac{16}{5}-6\right)^2 + \left(\dfrac{48}{5}\right)^2 = 7{,}84 + 92{,}16 = 100\).

Problème

Corrigé de la première partie : périmètre du rectangle APMQ

1. APMQ est un rectangle, donc (PM) est perpendiculaire à (AB). Comme (AC) est aussi perpendiculaire à (AB), les droites (PM) et (AC) sont parallèles.

Dans le triangle ABC, P est sur [BA], M sur [BC] et (PM) est parallèle à (AC). D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{BP}{BA} = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{PM}{AC} \quad \text{donc} \quad \dfrac{x}{4} = \dfrac{PM}{3} \quad \text{donc} \quad PM = \dfrac{3x}{4} \]

Puis on a bien \(PM = \dfrac{3}{4}x\).

2. \(AP = AB – BP = 4 – x\). Puis le périmètre d’un rectangle vaut deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur :

\[ \mathcal{P}_{APMQ} = 2\left(4 – x + \dfrac{3}{4}x\right) = 2\left(4 – \dfrac{1}{4}x\right) = 8 – \dfrac{x}{2} \]

Le périmètre vaut bien \(8 – \dfrac{x}{2}\).

3. a. P est un point du segment [AB], donc la distance BP est comprise entre 0 (P en B) et la longueur AB = 4 cm (P en A). D’où \(0 \leqslant x \leqslant 4\).

Corrigé de la première partie : périmètre du rectangle APMQ (suite)

3. b. Ensuite, on résout \(8 – \dfrac{x}{2} = p\) pour chaque périmètre \(p\), et on regarde si la solution est entre 0 et 4.

• \(8 – \dfrac{x}{2} = 7\) donne \(\dfrac{x}{2} = 1\), soit \(x = 2\) : c’est possible.
• \(8 – \dfrac{x}{2} = 4\) donne \(x = 8\) : impossible car \(8 \gt 4\).
• \(8 – \dfrac{x}{2} = 10\) donne \(x = -4\) : impossible car une longueur n’est pas négative.

Seul le périmètre de 7 cm est possible (avec \(x = 2\)). De plus, en fait, quand \(x\) va de 0 à 4, le périmètre va de 8 cm à 6 cm.

4. Pour un périmètre de 7 cm, \(x = 2\) : P est le milieu de [AB], \(PM = \dfrac{3}{4} \times 2 = 1{,}5\) cm et M est le milieu de [BC]. Ensuite, on trace ABC (AB = 4 cm, AC = 3 cm, angle droit en A), on place P à 2 cm de B, on élève la perpendiculaire à (AB) en P jusqu’à [BC] pour obtenir M, puis la parallèle à (AB) par M jusqu’à [AC] pour obtenir Q.

Corrigé de la deuxième partie : périmètre du triangle BPM

1. a. Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 16 + 9 = 25 \quad \text{donc} \quad BC = 5 \]

BC = 5 cm.

1. b. Avec les égalités de Thalès de la première partie : \(\dfrac{BM}{BC} = \dfrac{BP}{BA}\), soit \(\dfrac{BM}{5} = \dfrac{x}{4}\), donc \(BM = \dfrac{5x}{4}\).

2. Le périmètre du triangle BPM est la somme de ses trois côtés :

\[ \mathcal{P}_{BPM} = x + \dfrac{3x}{4} + \dfrac{5x}{4} = x + \dfrac{8x}{4} = x + 2x = 3x \]

Le périmètre de BPM vaut \(3x\).

3. La fonction \(x \longmapsto 3x\) est linéaire : sa représentation est une droite passant par l’origine et par le point (4 ; 12). Par ailleurs, la fonction \(x \longmapsto 8 – \dfrac{x}{2}\) est affine : sa représentation est une droite passant par (0 ; 8) et (4 ; 6). Puis on les trace pour \(x\) entre 0 et 4.

Corrigé de la deuxième partie : périmètre du triangle BPM (suite)

4. a. Les deux périmètres sont égaux à l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Alors on lit \(x \approx 2{,}3\).

4. b. Ensuite, on résout l’équation :

\[ 3x = 8 – \dfrac{x}{2} \quad \text{donc} \quad 3x + \dfrac{x}{2} = 8 \quad \text{donc} \quad \dfrac{7x}{2} = 8 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{16}{7} \]

La valeur exacte est \(x = \dfrac{16}{7} \approx 2{,}29\) cm, ce qui confirme la lecture graphique. Puis les deux périmètres valent alors \(3 \times \dfrac{16}{7} = \dfrac{48}{7} \approx 6{,}86\) cm.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2005 : Amérique du Nord.

Comment utiliser le corrigé corrigé Amérique 2005

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Ensuite, dans les questions sur la médiane et les statistiques, range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant, puis repère la position du milieu de la série. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Amérique 2005 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Amérique 2005

Faut-il lire le corrigé corrigé Amérique 2005 en entier ?

Non, pas forcément. Puis en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2005. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, la médiane et les statistiques et les systèmes d’équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. Puis en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Amérique 2005

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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