Corrigé du brevet de maths 2005 : France, groupement Est, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Est, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Est 2005

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Est 2005 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions, puissances et racines » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Deux équations » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « PGCD et fraction irréductible » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Moyenne et médiane » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, la correction reprend « Parallèle et rapport d’aires » (exercice 5 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Carré, vecteurs et cercle » (activités géométriques). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Le trapèze rectangle » (exercice 1 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Est 2005 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, le calcul littéral et les équations, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé Est 2005)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances et racines

1. D’abord, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur de la grande fraction :

\[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\qquad\text{et}\qquad2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\]

Diviser par \(\dfrac{3}{2}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{2}{3}\) :

\[\text{A}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}\]

\(\text{A}=\dfrac{5}{9}\), fraction irréductible car 5 et 9 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

Remarque : sur l’énoncé, un « 2 » isolé est imprimé juste après la grande fraction. Il s’agit visiblement d’une coquille de mise en page (la question demande seulement d’écrire A comme fraction irréductible). Si on le lisait comme un facteur multiplicatif, on obtiendrait \(\dfrac{5}{9}\times2=\dfrac{10}{9}\).

2. Ensuite, on sépare les nombres et les puissances de 10 :

\[\text{B}=\dfrac{35\times3}{21}\times\dfrac{10^{-3}\times10^{5}}{10^{-1}}=\dfrac{105}{21}\times10^{-3+5-(-1)}=5\times10^{3}\]

\(\text{B}=5\times10^{3}\) (c’est-à-dire 5 000).

3. Puis on extrait les carrés parfaits : \(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=4\sqrt{5}\) et \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\).

\[\text{C}=3\sqrt{5}-2\times4\sqrt{5}+2\sqrt{5}=(3-8+2)\sqrt{5}\]

\(\text{C}=-3\sqrt{5}\).

Corrigé de l’exercice 2 : développer et factoriser

1. Tout d’abord, on développe le produit par double distributivité et le carré avec l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\[(3x-1)(2x+5)=6x^2+15x-2x-5=6x^2+13x-5\]

\[(3x-1)^2=9x^2-6x+1\]

Attention au signe « moins » devant le carré : il change tous les signes de la parenthèse.

\[D=6x^2+13x-5-9x^2+6x-1\]

\(D=-3x^2+19x-6\).

2. Le facteur \((3x-1)\) apparaît dans les deux termes, car \((3x-1)^2=(3x-1)(3x-1)\) :

\[D=(3x-1)\big[(2x+5)-(3x-1)\big]=(3x-1)(2x+5-3x+1)\]

\(D=(3x-1)(-x+6)\).

Vérification en développant : \((3x-1)(-x+6)=-3x^2+18x+x-6=-3x^2+19x-6\), on retrouve le résultat de la question 1.

Corrigé de l’exercice 3 (Est 2005) : deux équations

1. C’est une équation produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul :

• \(x+2=0\), soit \(x=-2\) ;
• \(3x-5=0\), soit \(3x=5\) et \(x=\dfrac{5}{3}\).

L’équation a deux solutions : \(-2\) et \(\dfrac{5}{3}\).

2. Ici, ce n’est pas un produit : on développe puis on réduit.

\[x+6x-10=0\]

\[7x=10\qquad\text{donc}\qquad x=\dfrac{10}{7}\]

Vérification : \(\dfrac{10}{7}+2\left(\dfrac{30}{7}-\dfrac{35}{7}\right)=\dfrac{10}{7}-\dfrac{10}{7}=0\). La solution est \(\dfrac{10}{7}\).

Corrigé de l’exercice 4 : PGCD et fraction irréductible

1. Algorithme d’Euclide :

\[546=462\times1+84\]

\[462=84\times5+42\]

\[84=42\times2+0\]

Le dernier reste non nul est 42. PGCD(462 ; 546) = 42.

2. Alors on divise le numérateur et le dénominateur par 42 : \(462\div42=11\) et \(546\div42=13\).

\[\dfrac{462}{546}=\dfrac{11\times42}{13\times42}=\dfrac{11}{13}\]

\(\dfrac{462}{546}=\dfrac{11}{13}\), irréductible car on a divisé par le PGCD.

Corrigé de l’exercice 5 : moyenne et médiane

1. Pour commencer, on additionne les 13 notes : \(6+8+8+9+9+10+11+12+14+17+18+18+19=159\).

\[\text{moyenne}=\dfrac{159}{13}\approx12{,}230\]

La moyenne est environ 12,23.

2. Les notes sont déjà rangées dans l’ordre croissant et l’effectif est impair (13). La médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 7^e : 6 notes sont avant, 6 notes sont après. La médiane est 11.

Interprétation : au moins la moitié des élèves a eu 11 ou moins, et au moins la moitié a eu 11 ou plus. La moyenne est plus élevée que la médiane à cause des quelques très bonnes notes (17, 18, 18, 19).

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (Est 2005) : parallèle, hauteur et rapport d’aires

1. Les points A, M, B sont alignés, ainsi que les points A, N, C, dans le même ordre. Ensuite, on compare les rapports :

\[\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\qquad\text{et}\qquad\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\]

Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

2. Dans le triangle ABH, le point M est sur [AB], le point D est sur [AH], et la droite (MD), qui est la droite (MN), est parallèle à (BH), qui est la droite (BC). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{3}\qquad\text{donc}\qquad AD=\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5\]

AD = 2,5 cm.

3. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles et la droite (AB) les coupe. Les angles \(\widehat{\text{AMN}}\) et \(\widehat{\text{ABC}}\) sont situés du même côté de la sécante (AB) et du même côté de chacune des parallèles : ce sont des angles correspondants. Des angles correspondants formés par deux droites parallèles et une sécante sont égaux, donc \(\widehat{\text{AMN}}=\widehat{\text{ABC}}\).

4. Puis on sait que (AH) est perpendiculaire à (MN) et que (MN) est parallèle à (BC). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc (AH) est perpendiculaire à (BC), c’est-à-dire à (HB). Le triangle AHB est rectangle en H.

5. [AH] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC (question 4), et [AD] est la hauteur issue de A dans le triangle AMN (car (AD) est perpendiculaire à (MN)).

D’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC, \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{3}\), donc \(BC=3\,MN\). D’après la question 2, \(AH=3\,AD\).

\[\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{3\,MN\times3\,AD}{2}=9\times\dfrac{MN\times AD}{2}=9\times\mathcal{A}_{AMN}\]

L’aire du triangle ABC est bien égale à 9 fois l’aire du triangle AMN. Autre façon de le voir : AMN est une réduction de ABC de rapport \(\dfrac{1}{3}\), et les aires sont multipliées par \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\).

Corrigé de l’exercice 2 : carré, vecteurs et cercle

1. Construction pas à pas :

• a. Trace un carré ABCD de 3 cm de côté (équerre et règle) ; son centre O est le point d’intersection des diagonales [AC] et [BD].
• b. D’après la règle du parallélogramme, \(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OE}}\) signifie que OAEB est un parallélogramme : E est le symétrique de O par rapport au milieu de [AB]. Comme OA = OB et que les diagonales d’un carré sont perpendiculaires, OAEB est même un carré.
• c. F est le symétrique de O par rapport à C : on prolonge la demi-droite [OC) et on reporte CF = CO. C est alors le milieu de [OF].
• d. \(\overrightarrow{\text{CG}}=\overrightarrow{\text{BO}}\) : on part de C et on fait le même déplacement que de B vers O. BOGC est un parallélogramme.

2. a. Montrons que C est à la même distance de O, F et G :

• C est le milieu de [OF], donc CF = CO ;
• \(\overrightarrow{\text{CG}}=\overrightarrow{\text{BO}}\), donc les longueurs sont égales : CG = BO ;
• les diagonales d’un carré ont la même longueur et se coupent en leur milieu, donc BO = CO.

Ainsi CO = CF = CG. La diagonale du carré mesure \(\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) cm, et CO en est la moitié. Les points O, F et G sont sur le cercle de centre C et de rayon \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) cm (environ 2,12 cm).

2. b. Dans ce cercle, [OF] est un diamètre puisque son milieu C est le centre. Le point G est sur le cercle et distinct de O et de F. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle, l’angle droit étant le sommet opposé au diamètre. Le triangle OFG est rectangle en G.

Problème

Corrigé du problème : le trapèze rectangle

1. Les bases du trapèze sont [DC] (grande base, 10 cm) et [AB] (petite base, 6 cm) ; la hauteur est AD = 8 cm puisque le trapèze est rectangle en A et D.

\[\mathcal{A}=\dfrac{(10+6)\times8}{2}=\dfrac{128}{2}=64\]

L’aire du trapèze ABCD est 64 cm².

2. a. Le quadrilatère ADHB a trois angles droits : en A et en D (trapèze rectangle) et en H (car (HB) est perpendiculaire à (DC)). Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle. ADHB est un rectangle.

Ses côtés opposés ont la même longueur, donc DH = AB = 6 cm et BH = AD = 8 cm. Comme H est sur [DC] : HC = DC − DH = 10 − 6 = 4 cm.

2. b. Le triangle BHC est rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore :

\[BC^2=BH^2+HC^2=8^2+4^2=64+16=80\]

\(BC=\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}\). BC = \(4\sqrt{5}\) cm (environ 8,94 cm).

3. Dans le triangle BHC rectangle en H, pour l’angle \(\widehat{\text{BCH}}\) (qui est l’angle \(\widehat{\text{BCD}}\)), le côté opposé est [BH] et le côté adjacent est [HC] :

\[\tan\widehat{\text{BCD}}=\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{8}{4}=2\]

À la calculatrice, \(\tan^{-1}(2)\approx63{,}43^\circ\). \(\widehat{\text{BCD}}\approx63{,}4^\circ\) au dixième de degré.

4. a. ARSD est un rectangle de longueur AD = 8 cm et de largeur AR = \(x\). \(f(x)=8x\).

4. b. RBCS est un trapèze rectangle de hauteur RS = 8 cm. Sa petite base est RB = 6 − \(x\), et sa grande base est SC = DC − DS = 10 − \(x\) (car DS = AR = \(x\)).

\[g(x)=\dfrac{\big[(10-x)+(6-x)\big]\times8}{2}=4(16-2x)\]

\(g(x)=64-8x\). Contrôle : \(f(x)+g(x)=64\), c’est bien l’aire totale du trapèze ABCD.

4. c. Ensuite, on résout \(f(x)=g(x)\) :

\[8x=64-8x\]

\[16x=64\qquad\text{donc}\qquad x=4\]

Alors \(f(4)=8\times4=32\) et \(g(4)=64-32=32\). Les deux aires sont égales pour \(x=4\) cm, et elles valent chacune 32 cm² (la moitié du trapèze).

5. \(f\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et par (6 ; 48). \(g\) est affine : sa droite passe par (0 ; 64) et (6 ; 16). Puis on ne trace que la partie correspondant à \(x\) entre 0 et 6. Avec l’échelle demandée, 1 cm en abscisse pour 1 cm de longueur et 1 cm en ordonnée pour 4 cm² d’aire.

6. (L’énoncé dit « question 5 », mais le résultat à retrouver est celui de la question 4. c.) Les deux aires sont égales à l’abscisse du point d’intersection des deux droites. En traçant les pointillés depuis ce point vers les deux axes, on lit \(x=4\) et une aire de 32 cm². Alors on retrouve bien \(x=4\) cm et une aire commune de 32 cm².

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Est, septembre.

Bien réviser avec le corrigé corrigé Est 2005

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Est 2005 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Est 2005

Faut-il lire le corrigé corrigé Est 2005 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2005. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et le calcul littéral. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Est 2005

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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