Corrigé du brevet de maths 2005 : France, groupement Sud
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2005 : France, groupement Sud. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Activités numériques
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances, racines carrées
1. La multiplication passe avant la soustraction. On calcule d’abord le produit, que l’on simplifie par 2 :
\[\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}\]
\[\text{A}=\dfrac{13}{3}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{3}{3}=1\]
A = 1.
2. On regroupe les nombres entre eux et les puissances de 10 entre elles, en utilisant \(10^m\times10^n=10^{m+n}\) et \(\dfrac{10^m}{10^n}=10^{m-n}\) :
\[\text{B}=\dfrac{7\times8}{5}\times\dfrac{10^{15}\times10^{-8}}{10^{-4}}=11{,}2\times\dfrac{10^{7}}{10^{-4}}=11{,}2\times10^{11}\]
L’écriture scientifique demande un nombre entre 1 et 10 (10 exclu) devant la puissance : \(11{,}2=1{,}12\times10\), donc \(\text{B}=1{,}12\times10^{12}\).
3. On fait apparaître un carré parfait multiplié par 7 dans chaque racine : \(28=4\times7\) et \(700=100\times7\).
\[\sqrt{28}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\sqrt{7}\qquad\sqrt{700}=\sqrt{100}\times\sqrt{7}=10\sqrt{7}\]
\[\text{C}=4\sqrt{7}-8\times2\sqrt{7}+10\sqrt{7}=(4-16+10)\sqrt{7}=-2\sqrt{7}\]
\(\text{C}=-2\sqrt{7}\).
4. On utilise l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=4\sqrt{5}\) et \(b=2\). Comme \(\left(4\sqrt{5}\right)^2=16\times5=80\) :
\[\left(4\sqrt{5}+2\right)^2=80+2\times4\sqrt{5}\times2+4=84+16\sqrt{5}\]
\(\left(4\sqrt{5}+2\right)^2=84+16\sqrt{5}\).
Corrigé de l’exercice 2 : histogramme des notes
1. On lit la hauteur de chaque rectangle, puis on additionne au fur et à mesure pour obtenir les effectifs cumulés croissants :
| Note | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 2 | 4 | 3 | 7 | 8 |
| Effectif cumulé croissant | 1 | 3 | 7 | 10 | 17 | 25 |
Le dernier effectif cumulé vaut bien 25, le nombre d’élèves.
2. Moyenne pondérée : on multiplie chaque note par son effectif, on additionne, puis on divise par l’effectif total.
\[\bar{x}=\dfrac{0\times1+1\times2+2\times4+3\times3+4\times7+5\times8}{25}=\dfrac{0+2+8+9+28+40}{25}=\dfrac{87}{25}=3{,}48\]
La moyenne de la classe est 3,48 sur 5.
3. Il y a 25 notes (nombre impair). Une fois rangées dans l’ordre croissant, la médiane est la note du milieu, c’est-à-dire la 13e (12 notes avant, 12 après). D’après les effectifs cumulés, les notes n° 1 à 10 valent au plus 3 et les notes n° 11 à 17 valent 4 : la 13e note est 4.
La médiane est 4.
4. L’effectif cumulé sous la note 3 donne 10 élèves ayant 3 ou moins :
\[f=\dfrac{10}{25}=0{,}4\]
La fréquence est 0,4, soit 40 %.
Corrigé de l’exercice 3 : calculs à la calculatrice
1. \(\dfrac{299}{84}\approx3{,}5595\), donc \(\text{A}\approx3{,}56\) au centième.
2. 3,7 h = 3 h + 0,7 h et \(0{,}7\times60=42\) min. 3,7 heures = 3 h 42 min. (Attention : ce n’est pas 3 h 70 min !)
3. À la calculatrice, en plaçant bien les parenthèses : \(\text{B}=\dfrac{338}{945}\approx0{,}35767\), donc \(\text{B}\approx0{,}358\) au millième.
4. \(\dfrac{250}{158}\approx1{,}5823\) et \(\sqrt{1{,}5823}\approx1{,}2579\), donc \(\text{C}\approx1{,}26\) à 0,01 près.
Corrigé de l’exercice 4 : PGCD et fraction
1. (« PGDC » est une coquille de l’énoncé pour PGCD.) Algorithme d’Euclide :
\[6\,209=1\times4\,435+1\,774\]
\[4\,435=2\times1\,774+887\]
\[1\,774=2\times887+0\]
Le dernier reste non nul est 887 : PGCD(6 209 ; 4 435) = 887.
2. Le PGCD de 4 435 et 6 209 vaut 887, et non 1 : ces deux nombres ont donc un diviseur commun autre que 1 (887). On peut simplifier la fraction par 887 : elle n’est pas irréductible.
3. \(4\,435\div887=5\) et \(6\,209\div887=7\), d’où :
\[\dfrac{4\,435}{6\,209}=\dfrac{5\times887}{7\times887}=\dfrac{5}{7}\]
La fraction irréductible est \(\dfrac{5}{7}\).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : le parallélépipède rectangle
1. a. Toutes les faces d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles. La face ABFE est un rectangle, donc ses côtés consécutifs [AE] et [AB] forment un angle droit : les droites (AE) et (AB) sont perpendiculaires.
b. La droite (EH) est une arête de la face arrière EFGH, et la droite (AB) est parallèle à (EF). Les droites (EH) et (AB) ne sont pas dans un même plan : elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles. Elles ne sont pas sécantes. (Attention au dessin en perspective : deux droites qui semblent se croiser sur la feuille ne se coupent pas forcément dans l’espace.)
2. a. Dans la face EFGH, qui est un rectangle, EF = AB = 6 m et FG = BC = AD = 4 m. Le triangle EFG est rectangle en F ; d’après le théorème de Pythagore :
\[\text{EG}^2=\text{EF}^2+\text{FG}^2=6^2+4^2=36+16=52\]
\(\text{EG}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) m (environ 7,2 m).
b. L’arête [GC] est perpendiculaire à la face EFGH, donc à la droite (EG) : le triangle EGC est rectangle en G, avec GC = AE = 3 m. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{EC}^2=\text{EG}^2+\text{GC}^2=52+3^2=52+9=61\]
\(\text{EC}=\sqrt{61}\) m (environ 7,8 m).
3. Le volume d’un parallélépipède rectangle est le produit de ses trois dimensions :
\[V=\text{AB}\times\text{AD}\times\text{AE}=6\times4\times3=72\]
Le volume est bien de 72 m³.
4. Le pavé a six faces rectangulaires, égales deux à deux : deux faces de 6 m × 4 m, deux de 6 m × 3 m et deux de 4 m × 3 m.
\[\mathcal{A}=2\times(6\times4)+2\times(6\times3)+2\times(4\times3)=48+36+24=108\]
L’aire totale est bien de 108 m².
Corrigé de l’exercice 2 : Thalès et sa réciproque
1. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, et (AB) est parallèle à (CD). D’après le théorème de Thalès dans les triangles OCD et OAB :
\[\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{OD}}{\text{OB}}=\dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}\quad\text{soit}\quad\dfrac{3}{3{,}5}=\dfrac{\text{OD}}{4{,}9}=\dfrac{1{,}8}{\text{AB}}\]
\[\text{OD}=\dfrac{3\times4{,}9}{3{,}5}=\dfrac{14{,}7}{3{,}5}=4{,}2\qquad\text{AB}=\dfrac{1{,}8\times3{,}5}{3}=\dfrac{6{,}3}{3}=2{,}1\]
OD = 4,2 cm et AB = 2,1 cm.
2. On compare les rapports des longueurs portées par chaque droite :
\[\dfrac{\text{OE}}{\text{OA}}=\dfrac{2}{3{,}5}=\dfrac{4}{7}\qquad\dfrac{\text{OF}}{\text{OB}}=\dfrac{2{,}8}{4{,}9}=\dfrac{4}{7}\]
Les deux rapports sont égaux. De plus, les points A, O, E d’une part et B, O, F d’autre part sont alignés dans le même ordre (E et F sont tous les deux de l’autre côté de O par rapport à A et B). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 3 : triangle rectangle
1. Construction : trace le segment [AC] de 7 cm. Ouvre le compas à 4,2 cm, pointe en A et trace un arc ; ouvre-le à 5,6 cm, pointe en C et trace un second arc qui coupe le premier. Le point d’intersection est B ; il reste à tracer [AB] et [BC]. En vérifiant à l’équerre, tu constates que l’angle en B est droit.
2. Le plus long côté est [AC]. On compare :
\[\text{AC}^2=7^2=49\qquad\text{AB}^2+\text{BC}^2=4{,}2^2+5{,}6^2=17{,}64+31{,}36=49\]
On a \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
3. Périmètre : \(4{,}2+5{,}6+7=16{,}8\). Le périmètre est 16,8 cm.
Aire : dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont une base et la hauteur associée.
\[\mathcal{A}=\dfrac{\text{AB}\times\text{BC}}{2}=\dfrac{4{,}2\times5{,}6}{2}=\dfrac{23{,}52}{2}=11{,}76\]
L’aire est 11,76 cm².
Problème
Corrigé de la partie 1 : la cloison pour x = 3 m
Rappel des données : le séjour ABCD mesure 12 m sur 4 m, donc CD = 4 m, et HC = \(x\). Le cagibi HCD est un triangle rectangle en C (angle d’un rectangle).
1. Dans le triangle HCD rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore, avec HC = 3 m :
\[\text{HD}^2=\text{HC}^2+\text{CD}^2=3^2+4^2=9+16=25\quad\text{donc}\quad\text{HD}=5\]
La cloison mesure 5 m.
2. Dans le triangle HCD rectangle en C, pour l’angle \(\widehat{\text{HDC}}\), [HC] est le côté opposé et [DC] le côté adjacent :
\[\tan\widehat{\text{HDC}}=\dfrac{\text{HC}}{\text{DC}}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{HDC}}\approx36{,}87^\circ\), soit \(\widehat{\text{HDC}}\approx37^\circ\) à 1° près. (Avec le cosinus : \(\cos\widehat{\text{HDC}}=\dfrac{4}{5}\), même résultat.)
3. Les angles aigus du triangle rectangle HCD sont complémentaires : \(\widehat{\text{DHC}}=90^\circ-36{,}87^\circ=53{,}13^\circ\). Les points B, H, C sont alignés, donc \(\widehat{\text{DHB}}\) et \(\widehat{\text{DHC}}\) sont supplémentaires :
\[\widehat{\text{DHB}}=180^\circ-53{,}13^\circ=126{,}87^\circ\]
\(\widehat{\text{DHB}}\approx127^\circ\) à 1° près. (Attention : on arrondit à la fin, pas l’angle intermédiaire.)
Corrigé de la partie 2 : surfaces et fonctions
1. a. Le cagibi est le triangle HCD rectangle en C, de côtés de l’angle droit HC = \(x\) et CD = 4 :
\[f(x)=\dfrac{x\times4}{2}=2x\]
\(f(x)=2x\) (en m²).
b. Le séjour est ce qui reste de la pièce, dont l’aire vaut \(12\times4=48\) m² :
\(g(x)=48-2x\) (en m²).
2. a. \(f(x)=2x\) est de la forme \(ax\) : \(f\) est une fonction linéaire (de coefficient 2). \(g(x)=-2x+48\) est de la forme \(ax+b\) : \(g\) est une fonction affine (de coefficient \(-2\) et d’ordonnée à l’origine 48).
b. Chaque représentation est une droite ; deux points suffisent pour chacune.
| \(x\) | 0 | 10 |
|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | 20 |
| \(g(x)\) | 48 | 28 |
Avec l’échelle demandée, \(x=10\) se place à 20 cm de l’origine et l’ordonnée 48 à 9,6 cm. La droite de \(f\) passe par l’origine et par (10 ; 20), celle de \(g\) par (0 ; 48) et (10 ; 28).
3. a. On trace la droite horizontale d’ordonnée 35 : elle coupe la droite de \(g\) au point d’abscisse 6,5. À gauche de ce point, la droite de \(g\) est au-dessus de 35. La valeur maximale de \(x\) est 6,5 m.
b. La surface du séjour doit être au moins de 35 m² : \(48-2x\geqslant35\).
c. On résout :
\[48-2x\geqslant35\]
\[-2x\geqslant35-48\]
\[-2x\geqslant-13\]
On divise par \(-2\), un nombre négatif : le sens de l’inégalité change.
\[x\leqslant\dfrac{-13}{-2}\quad\text{soit}\quad x\leqslant6{,}5\]
Les solutions sont les nombres \(x\leqslant6{,}5\) ; comme \(x\) est une longueur, \(0\leqslant x\leqslant6{,}5\). Le calcul confirme la lecture graphique.
Corrigé de la partie 3 : la maquette à l’échelle 1/200
1. Une échelle de 1/200 signifie que les longueurs sur la maquette sont 200 fois plus petites que les longueurs réelles : 1 cm sur la maquette représente 200 cm, soit 2 m, dans la réalité.
2. 12 m = 1 200 cm et \(1\,200\div200=6\). Le mur de 12 m mesure 6 cm sur la maquette.
3. Quand les longueurs sont multipliées par \(\dfrac{1}{200}\), les aires sont multipliées par \(\left(\dfrac{1}{200}\right)^2=\dfrac{1}{40\,000}\). Or 48 m² = 480 000 cm² :
\[480\,000\div40\,000=12\]
La surface du sol du séjour sur la maquette est 12 cm². Contrôle : la maquette mesure 6 cm sur 2 cm, et \(6\times2=12\).
4. Pour passer de la maquette à la réalité, les longueurs sont multipliées par 200, donc les volumes par \(200^3=8\,000\,000\) :
\[13{,}125\times8\,000\,000=105\,000\,000\]
Le volume réel est de 105 000 000 cm³. Comme 1 m³ = 1 000 000 cm³, le volume réel du séjour est 105 000 000 cm³, soit 105 m³.
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