Corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Ouest, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : France, groupement Ouest, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé septembre Ouest
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé septembre Ouest suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 6 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Calcul littéral » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Fraction, racines et puissances » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Système et jeu de Fred » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Cube et pyramide ABFC » (exercice 1 de géométrie). En outre, le corrigé explique « Thalès et réciproque » (exercice 2 de géométrie).
Enfin, la correction reprend « Repère, cercle et losange » (problème).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé septembre Ouest sont le calcul littéral, les fractions, les racines carrées, les puissances de 10 et les équations, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé septembre Ouest)
Corrigé de l’exercice 1 : calcul littéral
1. On développe \((x-5)^2\) avec l’identité \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), puis \((2x+3)(x-5)\) par double distributivité :
\[(x-5)^2 = x^2 – 10x + 25\]
\[(2x+3)(x-5) = 2x^2 – 10x + 3x – 15 = 2x^2 – 7x – 15\]
En additionnant : \(A = x^2 – 10x + 25 + 2x^2 – 7x – 15\), donc \(A = 3x^2 – 17x + 10\).
2. Le facteur \((x-5)\) apparaît dans les deux termes :
\[A = (x-5)(x-5) + (2x+3)(x-5) = (x-5)\big[(x-5) + (2x+3)\big]\]
Dans le crochet : \(x + 2x = 3x\) et \(-5 + 3 = -2\). Donc \(A = (x-5)(3x-2)\).
3. Ensuite, on peut remplacer \(x\) par 3 dans n’importe quelle forme. Avec la forme factorisée :
\[A = (3-5)(3 \times 3 – 2) = (-2) \times 7 = -14\]
Contrôle avec la forme développée : \(3 \times 9 – 17 \times 3 + 10 = 27 – 51 + 10 = -14\). Donc pour \(x = 3\), \(A = -14\).
4. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[x – 5 = 0 \quad \text{ou} \quad 3x – 2 = 0\]
\[x = 5 \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{2}{3}\]
L’équation a deux solutions : \(5\) et \(\dfrac{2}{3}\). (C’est aussi l’équation \(A = 0\), grâce à la question 2.)
Corrigé de l’exercice 2 : fraction, racines et puissances
1. La multiplication est prioritaire : \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{40}\). On met ensuite au même dénominateur 40 :
\[B = \dfrac{5}{8} – \dfrac{9}{40} = \dfrac{25}{40} – \dfrac{9}{40} = \dfrac{16}{40}\]
Puis on simplifie par 8 : \(B = \dfrac{2}{5}\), fraction irréductible (2 et 5 n’ont pas de diviseur commun autre que 1).
2. La question concerne le nombre C (la lettre a été oubliée dans l’énoncé). Alors on fait apparaître des carrés parfaits : \(75 = 25 \times 3\) et \(108 = 36 \times 3\).
\[C = 3 \times 5\sqrt{3} – 2 \times 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3} – 12\sqrt{3}\]
Donc \(C = 3\sqrt{3}\).
3. Ensuite, on sépare les nombres et les puissances de 10 :
\[D = \dfrac{4{,}2}{3} \times \dfrac{10^5}{10^8} = 1{,}4 \times 10^{5-8} = 1{,}4 \times 10^{-3}\]
Comme \(1 \leqslant 1{,}4 \lt 10\), c’est bien l’écriture scientifique : \(D = 1{,}4 \times 10^{-3}\) (soit 0,0014).
Corrigé de l’exercice 3 (septembre Ouest) : système et jeu de Fred
1. La première équation donne \(x = 20 – y\). On remplace dans la seconde :
\[3(20 – y) – 4y = 11 \quad \text{soit} \quad 60 – 3y – 4y = 11\]
\[-7y = -49 \quad \text{donc} \quad y = 7\]
Puis \(x = 20 – 7 = 13\). Vérification : \(13 + 7 = 20\) et \(3 \times 13 – 4 \times 7 = 39 – 28 = 11\). La solution du système est le couple \((13 ; 7)\).
2. Appelons \(x\) le nombre de parties gagnées et \(y\) le nombre de parties perdues.
- Il n’y a pas de partie nulle et Fred a joué 20 parties : \(x + y = 20\).
- Chaque victoire rapporte 3 €, chaque défaite coûte 4 €, et le bilan est un gain de 11 € : \(3x – 4y = 11\).
On retrouve exactement le système de la question 1, donc \(x = 13\) et \(y = 7\). Fred a perdu 7 parties (et en a gagné 13).
Contrôle : 13 victoires rapportent 39 €, 7 défaites coûtent 28 €, et \(39 – 28 = 11\) €.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : le cube et la pyramide ABFC
1. a. ABCD est une face du cube, donc un carré de côté 6 cm. On trace [AB] de 6 cm, on élève des perpendiculaires en A et en B (équerre), on reporte 6 cm sur chacune pour obtenir D et C, puis on trace la diagonale [AC].
b. Les trois côtés du triangle ACF sont des diagonales de faces du cube : [AC] dans la face ABCD, [CF] dans la face BCGF et [AF] dans la face ABFE. Toutes les faces sont des carrés de 6 cm, donc AC = CF = AF : le triangle ACF est équilatéral. Construction : on reporte au compas la longueur AC mesurée sur le carré de la question a, on trace un segment [AC] de cette longueur, puis deux arcs de rayon AC centrés en A et en C ; ils se coupent en F.
2. Dans le carré ABCD, le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 72\]
Donc \(AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\), soit \(AC = 6\sqrt{2} \approx 8{,}5\) cm.
3. La base ABF est la moitié de la face carrée ABFE, coupée par sa diagonale : c’est un triangle rectangle en B dont l’aire vaut \(\dfrac{6 \times 6}{2} = 18\ \text{cm}^2\). La hauteur est BC = 6 cm (l’arête [BC] est perpendiculaire à la face ABFE). Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\) :
\[V = \dfrac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36\]
Le volume de la pyramide ABFC est \(36\ \text{cm}^3\).
4. De même, le volume du cube est \(6^3 = 216\ \text{cm}^3\). On calcule quelle part représente la pyramide :
\[\dfrac{36}{216} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667\]
La pyramide représente environ 16,7 % du cube, et non 18 %. (Contrôle : 18 % de 216 donnerait \(0{,}18 \times 216 = 38{,}88\ \text{cm}^3\), pas 36.) C’est donc faux : la pyramide vaut exactement un sixième du cube, soit environ 16,7 %.
Corrigé de l’exercice 2 (septembre Ouest) : Thalès et sa réciproque
1. Les droites (LK) et (MJ) se coupent en I, et les droites (LM) et (JK) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès (configuration en papillon) :
\[\dfrac{IL}{IK} = \dfrac{IM}{IJ} = \dfrac{LM}{KJ}\]
\[\dfrac{4}{6} = \dfrac{IM}{7{,}5} \quad \text{donc} \quad IM = \dfrac{4 \times 7{,}5}{6} = \dfrac{30}{6} = 5\]
Puis on obtient IM = 5 cm.
2. Ensuite, on se place cette fois en K. Les points K, I, L sont alignés dans cet ordre, ainsi que K, J, N (N est au-delà de J sur la droite (JK)). Puis on calcule :
\[KL = KI + IL = 6 + 4 = 10 \qquad KN = KJ + JN = 9 + 6 = 15\]
\[\dfrac{KI}{KL} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \dfrac{KJ}{KN} = \dfrac{9}{15} = 0{,}6\]
Les deux rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IJ) et (LN) sont parallèles : oui, (LN) et (IJ) sont parallèles.
Problème
Corrigé du problème : du cercle au losange
La figure complète, à obtenir au fil des questions :
![Repère orthonormé avec A(-6 ; 8), O, le milieu M(-3 ; 4), le cercle de diamètre [AO], le point N(1 ; 1) sur ce cercle, B(2 ; 2), C(8 ; -6) et le losange ABCO dont les diagonales se coupent en N](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2006-france-groupement-ouest-septembre/gen-repere-losange-abco.webp)
1. a. Alors on place A à l’abscisse −6 et à l’ordonnée 8.
b. Le milieu d’un segment a pour coordonnées les moyennes des coordonnées des extrémités. Avec O(0 ; 0) :
\[x_M = \dfrac{-6 + 0}{2} = -3 \qquad y_M = \dfrac{8 + 0}{2} = 4\]
Donc M(−3 ; 4).
c. Le cercle de diamètre [AO] a pour centre le milieu M et passe par A et par O : on pique le compas en M avec l’écartement MO.
d. Dans un repère orthonormé :
\[AO = \sqrt{(0 – (-6))^2 + (0 – 8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]
AO = 10, et le rayon du cercle est la moitié du diamètre : le rayon de \(\mathcal{C}\) est 5.
2. a. Ensuite, on place N(1 ; 1).
b. \[MN = \sqrt{(1 – (-3))^2 + (1 – 4)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]
Donc MN = 5.
c. Le cercle \(\mathcal{C}\) est l’ensemble des points situés à la distance 5 de son centre M. Comme MN = 5, N appartient au cercle \(\mathcal{C}\).
d. Le triangle OAN est inscrit dans le cercle \(\mathcal{C}\) et son côté [AO] est un diamètre de ce cercle. Un triangle inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre est rectangle, l’angle droit étant au sommet opposé au diamètre. Le triangle OAN est donc rectangle en N.
e. B est le symétrique de O par rapport à N : N est le milieu de [OB]. Puis on trace la demi-droite [ON) et on reporte au compas la longueur ON au-delà de N.
f. Ensuite, on lit B(2 ; 2). Vérification par le calcul : N milieu de [OB] donne \(x_B = 2 \times 1 – 0 = 2\) et \(y_B = 2 \times 1 – 0 = 2\).
3. a. Pour construire C, on applique à O la translation qui envoie A sur B : depuis O, on se déplace comme pour aller de A à B (8 carreaux vers la droite, 6 vers le bas).
b. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent par « arrivée moins départ » :
\[\overrightarrow{AB}\,\big(2 – (-6) \ ; \ 2 – 8\big) \quad \text{soit} \quad \overrightarrow{AB}\,(8 \ ; -6)\]
Donc \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((8 ; -6)\).
c. \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB}\) et O est l’origine, donc les coordonnées de C sont celles du vecteur : C(8 ; −6).
4. Première étape : l’égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC}\) signifie que ABCO est un parallélogramme.
Deuxième étape : on compare deux côtés consécutifs. D’une part \(AB = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{100} = 10\) ; d’autre part AO = 10 (question 1. d). Le parallélogramme ABCO a deux côtés consécutifs [AB] et [AO] de même longueur, c’est donc un losange.
Autre justification possible : les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le milieu de [OB] est N, donc N est aussi le milieu de [AC] (vérification : \(\left(\dfrac{-6+8}{2} ; \dfrac{8-6}{2}\right) = (1 ; 1)\)). Comme le triangle OAN est rectangle en N, la diagonale (AC) est perpendiculaire à la diagonale (OB). Un parallélogramme à diagonales perpendiculaires est un losange. ABCO est bien un losange.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé septembre Ouest
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Quant aux fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de identités remarquables sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé septembre Ouest parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé septembre Ouest
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre Ouest en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2006. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur le calcul littéral, les fractions, les racines carrées et les puissances de 10. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé septembre Ouest
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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