Corrigé du brevet de maths 2006 : Amérique du Nord

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : fraction, puissances de 10 et racines carrées

1. a. On calcule d’abord la parenthèse, avec le dénominateur commun 10 :

\[\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{10}-\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{10}\]

\[\text{A}=\dfrac{1}{10}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\]

\(\text{A}=\dfrac{1}{4}\), fraction irréductible.

b. Au numérateur : \(16\times2=32\), donc \(32\times10^{-1}\). Au dénominateur : \(\left(10^3\right)^2=10^{6}\) puis \(10^6\times10^{-8}=10^{-2}\), donc \(80\times10^{-2}\).

\[\text{B}=\dfrac{32\times10^{-1}}{80\times10^{-2}}=\dfrac{32}{80}\times10^{-1-(-2)}=0{,}4\times10^{1}=4\]

B = 4 : c’est bien un nombre entier.

c. L’opposé de B est \(-4\). Or \(\text{A}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\), qui n’est pas égal à \(-4\) (il n’a même pas le même signe). Brice a tort. En fait, A est l’inverse de B, puisque \(4\times\dfrac{1}{4}=1\).

2. a. On écrit chaque radicande comme un carré parfait multiplié par 6 :

\[\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}\ ;\quad\sqrt{96}=\sqrt{16\times6}=4\sqrt{6}\ ;\quad\sqrt{600}=\sqrt{100\times6}=10\sqrt{6}\]

\[\text{C}=2\times2\sqrt{6}+4\sqrt{6}-10\sqrt{6}=(4+4-10)\sqrt{6}\]

\(\text{C}=-2\sqrt{6}\), donc \(a=-2\).

b. On développe par double distributivité, en se rappelant que \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\) et \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) :

\[\text{D}=\sqrt{3}\times\sqrt{3}+5\sqrt{3}\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\times\sqrt{3}-5\sqrt{2}\times\sqrt{2}=3+5\sqrt{6}-\sqrt{6}-10\]

\(\text{D}=-7+4\sqrt{6}\).

Corrigé de l’exercice 2 : factoriser pour trouver où une expression s’annule

1. On remplace \(x\) par 0,5 : \(E=4\times0{,}5^2+8\times0{,}5-5=4\times0{,}25+4-5=1+4-5\). Pour \(x=0{,}5\), \(E=0\).

2. a. On développe le carré avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :

\[F=4x^2+8x+4-9\]

\(F=4x^2+8x-5\). On remarque que \(F\) et \(E\) sont la même expression.

b. Comme \(9=3^2\), \(F\) est une différence de deux carrés \(a^2-b^2\) avec \(a=2x+2\) et \(b=3\). On utilise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

\[F=(2x+2-3)(2x+2+3)\]

\(F=(2x-1)(2x+5)\).

3. a. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[2x-1=0\ \text{donne}\ x=\dfrac{1}{2}\ ;\qquad 2x+5=0\ \text{donne}\ x=-\dfrac{5}{2}\]

Les solutions sont \(\dfrac{1}{2}\) et \(-\dfrac{5}{2}\) (soit 0,5 et −2,5).

b. D’après la question 2, \(E=F=(2x-1)(2x+5)\). Chercher les valeurs qui annulent \(E\), c’est donc résoudre l’équation de la question 3. a. \(E\) s’annule pour \(x=\dfrac{1}{2}\) et pour \(x=-\dfrac{5}{2}\). On retrouve le résultat de la question 1 pour \(x=0{,}5\).

Corrigé de l’exercice 3 : inéquation et bénéfice du marchand de glaces

1. a. Pour \(x=60\) : \(2{,}5\times60-75=150-75=75\). Or 75 n’est pas strictement supérieur à 76. 60 n’est pas solution de l’inéquation.

b. On ajoute 75 aux deux membres, puis on divise par 2,5, qui est positif (le sens de l’inégalité ne change pas) :

\[2{,}5x-75\gt 76\iff 2{,}5x\gt 151\iff x\gt\dfrac{151}{2{,}5}\iff x\gt 60{,}4\]

Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 60,4. Sur l’axe, on hachure la partie à gauche de 60,4, ce nombre compris (crochet tourné vers l’extérieur des solutions, car 60,4 n’est pas solution).

2. Le bénéfice est la recette moins les dépenses. Si le marchand vend \(x\) glaces à 2,50 € dans la semaine, il encaisse \(2{,}5x\) euros et a dépensé 75 € : son bénéfice est \(2{,}5x-75\) euros.

Vouloir un bénéfice supérieur à 76 €, c’est chercher \(x\) tel que \(2{,}5x-75\gt 76\) : c’est exactement l’inéquation de la question 1, dont les solutions sont \(x\gt 60{,}4\). Comme on vend un nombre entier de glaces, le plus petit entier qui convient est 61.

Vérification : 61 glaces donnent \(2{,}5\times61-75=77{,}5\) €, plus que 76 € ; avec 60 glaces, on n’a que 75 €. Il doit vendre au minimum 61 glaces.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : lecture de coordonnées et de vecteurs

1. a. En comptant les carreaux depuis O (1 carreau = 1 unité), E(−3 ; 1) et F(1 ; 3).

b. Les coordonnées de \(\overrightarrow{\text{EF}}\) sont \((x_F-x_E\ ;\ y_F-y_E)=(1-(-3)\ ;\ 3-1)\). \(\overrightarrow{\text{EF}}\,(4\ ;\ 2)\).

2. a. Pour aller de F à L, on se déplace de 4 carreaux vers la droite et de 2 vers le haut ; de même pour aller de H à G. \(\overrightarrow{\text{FL}}\,(4\ ;\ 2)\) et \(\overrightarrow{\text{HG}}\,(4\ ;\ 2)\). (Avec L(5 ; 5), H(2 ; −1) et G(6 ; 1), le calcul le confirme.)

b. Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{FL}}\) et \(\overrightarrow{\text{HG}}\) ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux. Or \(\overrightarrow{\text{FL}}=\overrightarrow{\text{HG}}\) signifie que FLGH est un parallélogramme.

3. D’après les questions 1. b. et 2. a., \(\overrightarrow{\text{EF}}=\overrightarrow{\text{FL}}\), les deux valant (4 ; 2). Aller de E à F ou de F à L, c’est le même déplacement : E, F et L sont alignés et \(\text{EF}=\text{FL}\). F est le milieu du segment [EL].

4. Comme \(\overrightarrow{\text{FL}}=\overrightarrow{\text{HG}}\), on remplace et on applique la relation de Chasles :

\[\overrightarrow{\text{FL}}+\overrightarrow{\text{EH}}=\overrightarrow{\text{EH}}+\overrightarrow{\text{HG}}=\overrightarrow{\text{EG}}\]

\(\overrightarrow{\text{FL}}+\overrightarrow{\text{EH}}=\overrightarrow{\text{EG}}\). Vérification avec les coordonnées : \((4\ ;\ 2)+(5\ ;\ -2)=(9\ ;\ 0)\), et \(\overrightarrow{\text{EG}}\) a bien pour coordonnées \((6-(-3)\ ;\ 1-1)=(9\ ;\ 0)\).

Corrigé de l’exercice 2 : Pythagore, Thalès et trigonométrie

1. Le triangle OCA est rectangle en C, d’hypoténuse [OA]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{OA}^2=\text{OC}^2+\text{AC}^2\quad\text{donc}\quad\text{AC}^2=6^2-3^2=36-9=27\]

\(\text{AC}=\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}\), donc \(\text{AC}=3\sqrt{3}\) cm.

2. a. Le triangle ENO est rectangle en E, donc (NE) est perpendiculaire à (EO). Le triangle OCA est rectangle en C, donc (AC) est perpendiculaire à (OC). Comme E, O et C sont alignés, (EO) et (OC) sont la même droite (EC). Les droites (NE) et (AC) sont perpendiculaires à la même droite, donc elles sont parallèles. Or S est sur (NE), donc (NS) est la droite (NE) : (NS) et (AC) sont parallèles.

b. Les points S, O, A sont alignés, ainsi que E, O, C, et les droites (SE) et (AC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{OS}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{OE}}{\text{OC}}=\dfrac{\text{SE}}{\text{AC}}\quad\text{soit}\quad\dfrac{\text{OS}}{6}=\dfrac{5}{3}=\dfrac{\text{SE}}{3\sqrt{3}}\]

\[\text{OS}=\dfrac{6\times5}{3}=10\qquad\text{et}\qquad\text{ES}=\dfrac{3\sqrt{3}\times5}{3}=5\sqrt{3}\]

OS = 10 cm et \(\text{ES}=5\sqrt{3}\) cm (environ 8,66 cm).

3. Dans le triangle ENO rectangle en E, on connaît le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{NOE}}\) (EO = 5 cm) et on cherche l’hypoténuse ON : on utilise le cosinus.

\[\cos\widehat{\text{NOE}}=\dfrac{\text{OE}}{\text{ON}}\quad\text{donc}\quad\text{ON}=\dfrac{5}{\cos30^\circ}\approx5{,}77\]

ON ≈ 5,8 cm au millimètre près.

4. a. Dans le triangle OCA rectangle en C, on connaît le côté adjacent OC et l’hypoténuse OA :

\[\cos\widehat{\text{COA}}=\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}}=\dfrac{3}{6}=0{,}5\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{COA}}=60^\circ\).

b. Les angles \(\widehat{\text{EOS}}\) et \(\widehat{\text{COA}}\) sont opposés par le sommet (les droites (EC) et (SA) se coupent en O), donc ils ont la même mesure : \(\widehat{\text{EOS}}=60^\circ\).

Les demi-droites [ON) et [OS) sont de part et d’autre de la droite (EC), et [OE) est entre elles. Donc :

\[\widehat{\text{NOS}}=\widehat{\text{NOE}}+\widehat{\text{EOS}}=30^\circ+60^\circ=90^\circ\]

Le triangle SON est rectangle en O.

Problème

Corrigé de la partie 1 : volume du saladier

1. Le volume d’une boule de rayon \(r\) est \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\). Le saladier est une demi-boule, donc son volume est la moitié :

\[V=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\pi\times12^3=\dfrac{2}{3}\pi\times1\,728=1\,152\pi\]

Le volume du saladier est bien \(1\,152\pi\) cm³.

2. \(1\,152\pi\approx3\,619\) cm³. Comme 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, le saladier contient environ 3,6 L. Il faut 1,5 L de lait, et \(1{,}5\lt 3{,}6\). Oui, elle pourra utiliser ce saladier (il reste même de la place pour la farine et les œufs).

Corrigé de la partie 2 : prix de vente et fonction linéaire

1. \(800\times5{,}50=4\,400\). 800 saladiers coûtent 4 400 €.

2. a. Chaque saladier coûte 5,50 €, donc \(x\) saladiers coûtent \(5{,}5\times x\) euros. \(f(x)=5{,}5x\) : \(f\) est une fonction linéaire.

b. On cherche \(x\) tel que \(f(x)=6\,600\) :

\[5{,}5x=6\,600\iff x=\dfrac{6\,600}{5{,}5}=1\,200\]

1 200 a pour image 6 600 : avec 6 600 €, le supermarché achète 1 200 saladiers (ou : 1 200 saladiers coûtent 6 600 €).

c. La représentation d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine. Il suffit d’un second point, par exemple (800 ; 4 400) calculé à la question 1, ou (1 200 ; 6 600).

3. On part de 6 600 sur l’axe des ordonnées (16,5 cm avec l’échelle demandée), on trace l’horizontale jusqu’à la droite, puis la verticale jusqu’à l’axe des abscisses. On lit 1 200 saladiers, ce qui confirme la question 2. b.

Corrigé de la partie 3 : pourcentages des ventes

1. \(220+200+290+250=960\). 960 saladiers ont été vendus.

2. Natacha en a vendu 200 sur 960 :

\[\dfrac{200}{960}\times100\approx20{,}83\]

Natacha a vendu environ 20,8 % des saladiers.

3. Appelons \(S\) le stock acheté. Les 960 saladiers vendus représentent 80 % du stock, donc \(0{,}8\times S=960\).

\[S=\dfrac{960}{0{,}8}=1\,200\]

Il avait acheté 1 200 saladiers. On peut vérifier : 80 % de 1 200, c’est \(0{,}8\times1\,200=960\). On remarque que cela correspond justement à l’achat de 6 600 € de la partie 2.

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