Corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Nord

Corrigé de maths – Brevet 2006 : France, groupement Nord – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet 2006 du groupement Nord (27 juin 2006) détaille chaque question comme en classe. Tu revois la priorité de la division sur l’addition, la simplification de racines carrées comme \(\sqrt{125}\), les puissances de 10, la factorisation par un facteur commun et l’équation produit nul. Le partage des friandises se règle avec le PGCD de 84 et 147, et le prix de la balade en mer avec un système résolu par combinaison. En géométrie, la réciproque de Pythagore, une translation, le cosinus et l’angle au centre, puis la tangente et la réciproque de Thalès sont mobilisés. Le problème de la pyramide coupée montre comment une réduction de coefficient \(k\) multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\).

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : France, groupement Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Nord 2006

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2006 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions, racines et puissances » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Partage des friandises » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Système et balade en mer » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Rectangle dans un repère » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, la correction reprend « Triangle inscrit dans un cercle » (activités géométriques). Puis tu lis la démarche complète pour « Tangente et parallélisme » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Section EFGH de la pyramide » (exercice 2 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Aire de la section MNPQ » (exercice 3 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2006 sont les racines carrées, les puissances de 10, les équations, les diviseurs communs et les systèmes d’équations, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé Nord 2006)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions, racines et puissances

1. La division est prioritaire sur l’addition. Diviser par \(\dfrac{3}{2}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{2}{3}\) :

\[A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{10}{18} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{8}{9}\]

8 et 9 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc \(A = \dfrac{8}{9}\) est irréductible.

2. Ensuite, on fait apparaître des carrés parfaits : \(45 = 9 \times 5\) et \(125 = 25 \times 5\). Donc \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) et \(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\).

\[B = 50 \times 3\sqrt{5} – 3\sqrt{5} + 6 \times 5\sqrt{5} = 150\sqrt{5} – 3\sqrt{5} + 30\sqrt{5} = 177\sqrt{5}\]

Ainsi \(B = 177\sqrt{5}\), avec \(a = 177\).

3. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :

\[C = \dfrac{5 \times 7}{2} \times \dfrac{10^{-2} \times 10^5}{10^7} = 17{,}5 \times \dfrac{10^{3}}{10^7} = 17{,}5 \times 10^{-4}\]

Pour l’écriture scientifique, le nombre devant la puissance de 10 doit être entre 1 et 10 : \(17{,}5 = 1{,}75 \times 10^1\). Donc \(C = 1{,}75 \times 10^{-3}\), c’est-à-dire 0,001 75.

À retenir : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse ; pour simplifier \(\sqrt{n}\), on cherche le plus grand carré parfait qui divise \(n\) ; on a \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) et \(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\).

Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre

1. On développe le carré avec \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), puis le produit terme à terme :

\[(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9\]

\[(2x+3)(7x-2) = 14x^2 – 4x + 21x – 6 = 14x^2 + 17x – 6\]

\[D = 4x^2 + 12x + 9 + 14x^2 + 17x – 6 = 18x^2 + 29x + 3\]

Donc \(D = 18x^2 + 29x + 3\).

2. Le facteur \((2x+3)\) est commun aux deux termes, car \((2x+3)^2 = (2x+3)(2x+3)\) :

\[D = (2x+3)\big[(2x+3) + (7x-2)\big] = (2x+3)(9x+1)\]

Donc \(D = (2x+3)(9x+1)\).

3. La forme factorisée est la plus rapide : pour \(x = -4\), \(2 \times (-4) + 3 = -5\) et \(9 \times (-4) + 1 = -35\), donc \(D = (-5) \times (-35) = 175\). Vérification avec la forme développée : \(18 \times 16 + 29 \times (-4) + 3 = 288 – 116 + 3 = 175\). On a \(D = 175\).

4. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[2x + 3 = 0 \iff x = -\dfrac{3}{2} \qquad \text{ou} \qquad 9x + 1 = 0 \iff x = -\dfrac{1}{9}\]

L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{3}{2}\) et \(-\dfrac{1}{9}\).

À retenir : pour factoriser, on repère le facteur commun (parfois caché dans un carré) et on regroupe le reste entre crochets ; une équation produit nul se résout en annulant chaque facteur.

Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2006) : le partage des friandises

1. Chaque personne reçoit le même nombre de sucettes, donc le nombre de personnes divise 84. De même, il divise 147. Le nombre maximal de personnes est donc le plus grand diviseur commun de 84 et 147. Puis on l’obtient par l’algorithme d’Euclide :

\(147 = 1 \times 84 + 63\)
\(84 = 1 \times 63 + 21\)
\(63 = 3 \times 21 + 0\)

Le dernier reste non nul est 21 : PGCD(84 ; 147) = 21. On peut aussi décomposer : \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(147 = 3 \times 7^2\), le facteur commun est \(3 \times 7 = 21\). Au maximum, 21 personnes (Pierre compris) pourront partager les friandises.

2. \(84 \div 21 = 4\) et \(147 \div 21 = 7\). Chaque personne aura 4 sucettes et 7 bonbons.

À retenir : un partage équitable « en un maximum de parts » de deux quantités se ramène au PGCD de ces deux quantités, que l’on calcule par l’algorithme d’Euclide ou par la décomposition en facteurs premiers.

Corrigé de l’exercice 4 : la balade en mer

1. D’abord, on multiplie la première équation par 3 pour avoir le même coefficient devant \(y\) dans les deux équations :

\[24x + 9y = 118{,}5\]

On soustrait la seconde équation \(7x + 9y = 50{,}5\) : \(17x = 68\), donc \(x = 4\).

On remplace dans la première équation : \(8 \times 4 + 3y = 39{,}5\), soit \(3y = 7{,}5\), donc \(y = 2{,}5\).

Vérification dans la seconde : \(7 \times 4 + 9 \times 2{,}5 = 28 + 22{,}5 = 50{,}5\). La solution du système est \((x\ ;\ y) = (4\ ;\ 2{,}5)\).

2. Notons \(x\) le prix d’un ticket adulte et \(y\) celui d’un ticket enfant, en euros. Le premier groupe donne \(8x + 3y = 39{,}5\) et le second \(7x + 9y = 50{,}5\) : c’est exactement le système de la question 1. Un ticket adulte coûte donc 4 € et un ticket enfant 2,50 €.

À retenir : pour résoudre un système par combinaison, on multiplie une équation pour obtenir le même coefficient devant une inconnue, puis on soustrait ; on vérifie toujours le couple trouvé dans les deux équations.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2006) : un rectangle dans un repère

1. Tout d’abord, on place A, B et C avec l’unité du repère (1 cm). La figure complète, avec le point D de la question 4, est ci-dessous.

2. Dans un repère orthonormal, \(AC = \sqrt{(x_C – x_A)^2 + (y_C – y_A)^2}\) :

\[AC = \sqrt{(3 – (-3))^2 + (-2 – 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}\]

Alors on a bien \(AC = \sqrt{45}\).

3. Le plus grand côté est [AC]. Ensuite, on compare \(AC^2\) à la somme des carrés des deux autres côtés :

\[AC^2 = 45 \qquad AB^2 + BC^2 = 4{,}5 + 40{,}5 = 45\]

Comme \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

4. Pour aller de B à A, on se déplace de \(-3 – (-1{,}5) = -1{,}5\) en abscisse et de \(1 – 2{,}5 = -1{,}5\) en ordonnée. On fait le même déplacement à partir de C : \(D(3 – 1{,}5\ ;\ -2 – 1{,}5)\), donc \(D(1{,}5\ ;\ -3{,}5)\).

5. D est l’image de C par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BA}\), donc \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}\), ce qui équivaut à \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) : ABCD est un parallélogramme. Ce parallélogramme a un angle droit en B (question 3), donc ABCD est un rectangle. Ce n’est pas un carré, car \(AB = \sqrt{4{,}5}\) et \(BC = \sqrt{40{,}5}\) sont différents.

À retenir : la distance entre deux points d’un repère orthonormal se calcule avec \(\sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\) ; un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.

Corrigé de l’exercice 2 : triangle inscrit dans un cercle

1. On trace [ST] de 7 cm, son milieu O, puis le cercle de centre O et de rayon 3,5 cm. Avec le compas, on reporte 3 cm depuis S sur le cercle : c’est le point U.

2. Le point U est sur le cercle de diamètre [ST] et distinct de S et de T. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Donc STU est rectangle en U.

3. Dans le triangle STU rectangle en U, [SU] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{STU}\) et [ST] l’hypoténuse :

\[\sin \widehat{STU} = \dfrac{SU}{ST} = \dfrac{3}{7} \quad \text{donc} \quad \widehat{STU} \approx 25{,}38^\circ\]

Arrondi au dixième, \(\widehat{STU} \approx 25{,}4^\circ\).

4. L’angle inscrit \(\widehat{STU}\) et l’angle au centre \(\widehat{SOU}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{SU}\). L’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit : \(\widehat{SOU} = 2 \times \widehat{STU} \approx 2 \times 25{,}38^\circ \approx 50{,}75^\circ\).

On peut le retrouver autrement : OT = OU (rayons), donc le triangle OTU est isocèle en O et \(\widehat{OUT} = \widehat{OTU}\). L’angle \(\widehat{SOU}\) est l’angle extérieur en O de ce triangle, il vaut la somme des deux autres angles, soit \(2\widehat{STU}\). On obtient \(\widehat{SOU} \approx 50{,}8^\circ\).

À retenir : un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle ; un angle au centre mesure le double d’un angle inscrit qui intercepte le même arc.

Corrigé de l’exercice 3 : tangente et réciproque de Thalès

1. Le triangle AOB est rectangle en O. Par rapport à l’angle \(\widehat{OAB}\), [OB] est le côté opposé et [OA] le côté adjacent :

\[\tan \widehat{OAB} = \dfrac{OB}{OA} \quad \text{donc} \quad OB = OA \times \tan 60^\circ = 3\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \times 3 = 9\]

Puis on a bien OB = 9 cm (avec la calculatrice, \(\tan 60^\circ \approx 1{,}732\) et \(3\sqrt{3} \approx 5{,}196\), dont le produit vaut 9).

2. Les points C, O, B sont alignés, ainsi que les points D, O, A, dans le même ordre (O entre C et B, et entre D et A). Ensuite, on compare les rapports :

\[\dfrac{OC}{OB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{OD}{OA} = \dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}\]

Les deux rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (AB) sont parallèles.

À retenir : pour appliquer la réciproque de Thalès, il faut des points alignés dans le même ordre et deux rapports égaux ; simplifier les racines carrées (ici \(\sqrt{3}\) au numérateur et au dénominateur) évite les valeurs approchées.

Problème (corrigé Nord 2006)

Corrigé de la partie A : la section EFGH

1. a. La section EFGH est parallèle à la base, donc (EF) est parallèle à (AB). Dans le triangle SAB, E est sur [SA], F sur [SB] et (EF) // (AB). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{SE}{SA} = \dfrac{EF}{AB} \quad \text{donc} \quad EF = \dfrac{3}{12} \times 9 = 2{,}25\]

Puis on obtient EF = 2,25 cm.

1. b. Le triangle SAB est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\[SB^2 = SA^2 + AB^2 = 144 + 81 = 225 \quad \text{donc} \quad SB = \sqrt{225} = 15\]

Alors on obtient SB = 15 cm.

2. a. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\). La base est un carré de côté 9 cm, d’aire 81 cm², et la hauteur est SA = 12 cm :

\[V = \dfrac{1}{3} \times 81 \times 12 = 324\]

Le volume de SABCD est 324 cm³.

2. b. La pyramide SEFGH est une réduction de SABCD. Le coefficient est le rapport de deux longueurs correspondantes : \(k = \dfrac{SE}{SA} = \dfrac{3}{12}\), soit \(k = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).

2. c. Dans une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :

\[V^{\prime} = 324 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{324}{64} = 5{,}062\,5\]

Le volume de SEFGH est d’environ 5 cm³.

À retenir : une section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base ; si les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires le sont par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\).

Corrigé de la partie B : l’aire de la section MNPQ

1. Comme en partie A, (MN) est parallèle à (AB), avec M sur [SA] et N sur [SB]. D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAB :

\[\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{SM}{SA} \quad \text{donc} \quad MN = \dfrac{x}{12} \times 9 = \dfrac{9}{12}x = 0{,}75x\]

Ensuite, on a bien \(MN = 0{,}75x\).

2. MNPQ est un carré de côté MN (réduction du carré ABCD), donc son aire est :

\[A(x) = MN^2 = (0{,}75x)^2 = 0{,}75^2 \times x^2 = 0{,}5625x^2\]

Puis on a bien \(A(x) = 0{,}5625x^2\).

3. On calcule \(0{,}5625x^2\) pour chaque valeur (par exemple \(A(6) = 0{,}5625 \times 36 = 20{,}25\)) :

\(x\) : longueur SM en cm	0	2	4	6	8	10	12
\(A(x)\) : aire du carré MNPQ	0	2,25	9	20,25	36	56,25	81

Pour \(x = 12\), on retrouve bien l’aire de la base : 81 cm².

4. Ensuite, on place les sept points (0 ; 0), (2 ; 2,25), (4 ; 9), (6 ; 20,25), (8 ; 36), (10 ; 56,25) et (12 ; 81) sur l’annexe 2, avec 1 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 10 cm² en ordonnée.

5. Une situation de proportionnalité se représente par des points alignés avec l’origine du repère. Ici, les points sont sur une courbe qui s’incurve : ils ne sont pas alignés (par exemple, le point (6 ; 20,25) est loin sous la droite qui joint O au point (12 ; 81), qui passerait par (6 ; 40,5)). L’aire de MNPQ n’est donc pas proportionnelle à SM. On le voit aussi dans le tableau : quand \(x\) double de 4 à 8, l’aire est multipliée par 4 (de 9 à 36).

À retenir : graphiquement, deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les points sont alignés avec l’origine ; une aire qui dépend d’une longueur au carré n’est pas proportionnelle à cette longueur.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2006 : France, groupement Nord.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nord 2006

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

En ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de racine carrée sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Nord 2006 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2006

Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2006 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2006. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les racines carrées, les puissances de 10, les équations et les diviseurs communs. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2006

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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Tous les sujets classés par année : brevet de maths.

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