Corrigé du brevet de maths 2006 : Centres étrangers
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé étrangers 2006
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers 2006 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fractions, puissances et racines » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Statistiques : notes de 3e » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Pyramide et trigonométrie » (exercice 1 de géométrie). De plus, en outre, tu lis la démarche complète pour « Repère, distances et vecteurs » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Cordes et réciproque de Thalès » (exercice 3 de géométrie). Puis le corrigé explique « Enseigne en double cône » (1re partie). Enfin, la correction reprend « Tarifs de deux transporteurs » (2e partie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers 2006 sont les fractions, les puissances de 10, les agrandissements et réductions, les racines carrées et les équations, rédigées comme sur une copie.
Corrigé des activités numériques (étrangers 2006)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances et racines
1. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{6}{5}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}\]
\[A=\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{5}\]
Donc \(A=\dfrac{2}{5}\), fraction irréductible car 2 et 5 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
2. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[B=\dfrac{21\times 16}{12}\times\dfrac{10^{-3}\times 10^{7}}{10^{7}}=\dfrac{336}{12}\times 10^{-3}=28\times 10^{-3}\]
Donc \(B=0{,}028\) et son écriture scientifique est \(B=2{,}8\times 10^{-2}\) (le premier facteur doit être compris entre 1 et 10).
3. Ensuite, on fait apparaître un carré parfait sous chaque racine : \(20=4\times 5\) et \(80=16\times 5\).
\[\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\qquad \sqrt{80}=\sqrt{16}\times\sqrt{5}=4\sqrt{5}\]
\[C=3\times 2\sqrt{5}-4\sqrt{5}+\sqrt{5}=(6-4+1)\sqrt{5}\]
Donc \(C=3\sqrt{5}\) (ici \(a=3\)).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe chaque terme. Avec l’identité \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :
\[(4x+1)^2=16x^2+8x+1\]
\[(3x-2)(4x+1)=12x^2+3x-8x-2=12x^2-5x-2\]
Attention au signe « moins » devant le produit, qui change tous les signes :
\[D=16x^2+8x+1-12x^2+5x+2=4x^2+13x+3\]
Donc \(D=4x^2+13x+3\).
2. Le facteur \((4x+1)\) est commun aux deux termes :
\[D=(4x+1)\big[(4x+1)-(3x-2)\big]=(4x+1)(4x+1-3x+2)\]
Donc \(D=(4x+1)(x+3)\). Vérification : \((4x+1)(x+3)=4x^2+12x+x+3=4x^2+13x+3\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[4x+1=0 \quad\text{ou}\quad x+3=0\]
\[x=-\dfrac{1}{4} \quad\text{ou}\quad x=-3\]
L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{1}{4}\) et \(-3\).
4. La forme développée est la plus pratique, car \(\left(\sqrt{3}\right)^2=3\) :
\[D=4\times\left(\sqrt{3}\right)^2+13\sqrt{3}+3=4\times 3+13\sqrt{3}+3=15+13\sqrt{3}\]
Pour \(x=\sqrt{3}\), \(D=15+13\sqrt{3}\) (environ 37,5). Ensuite, la forme factorisée donne le même résultat : \((4\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+3)=12+12\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\).
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2006) : les notes de la 3e B
1. Tout d’abord, on additionne les effectifs : \(1+2+6+2+1+4+2+3+1+1=23\). Par ailleurs, la classe compte 23 élèves.
2. La moyenne pondérée est la somme des produits « note × effectif » divisée par l’effectif total :
\[5\times1+6\times2+8\times6+9\times2+11\times1+12\times4+13\times2+15\times3+18\times1+19\times1=250\]
\[\text{moyenne}=\dfrac{250}{23}\approx 10{,}87\]
La note moyenne est d’environ 10,9 sur 20 au dixième près.
3. Les notes inférieures ou égales à 8 sont 5, 6 et 8, obtenues par \(1+2+6=9\) élèves.
\[\dfrac{9}{23}\times 100\approx 39{,}1\]
Ces élèves représentent environ 39 % de la classe.
4. L’effectif 23 est impair : la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 12e note quand on range les notes dans l’ordre croissant (11 notes avant, 11 notes après). Puis en cumulant les effectifs : 1 (note 5), 3 (note 6), 9 (note 8), 11 (note 9), 12 (note 11). Ensuite, la 12e note est 11.
La médiane est 11 : au moins la moitié des élèves a eu 11 ou moins, et au moins la moitié a eu 11 ou plus.
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : la pyramide SABCD
1. [SA] est la hauteur, donc (SA) est perpendiculaire au plan de la base et à toutes les droites de ce plan qui passent par A, en particulier (AB) et (AD). SAB est rectangle en A et SAD est rectangle en A.
2. Dans le triangle SAB rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{SBA}\), [SA] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent :
\[\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{4}{8{,}2}\approx 0{,}488\]
À la calculatrice (touche \(\tan^{-1}\)), \(\widehat{SBA}\approx 26{,}0°\), donc \(\widehat{SBA}\approx 26°\).
3. Dans le triangle SAD rectangle en A, l’hypoténuse est [SD] et [SA] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{ASD}\) :
\[\cos\widehat{ASD}=\dfrac{SA}{SD} \quad\text{donc}\quad SD=\dfrac{SA}{\cos 30°}=\dfrac{4}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{8}{\sqrt{3}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\]
La valeur exacte est \(SD=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\) cm, soit SD ≈ 4,6 cm au millimètre près (\(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\approx 4{,}619\)).
Si tu ne connais pas la valeur exacte de \(\cos 30°\), tu peux écrire \(SD=\dfrac{4}{\cos 30°}\) comme valeur exacte, puis l’arrondir à la calculatrice.
Corrigé de l’exercice 2 : points et vecteurs dans un repère
1. Les points sont placés sur la figure ci-dessous (avec le point R de la question 4).
![Repère avec les points B(2 ; 3), U(3 ; 0), T(-4 ; 1) et R(-5 ; 4), parallélogramme BUTR, vecteurs UB et TR égaux en bleu, diagonale [BT] en pointillés et angle droit en B dans le triangle BUT](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2006-centres-etrangers/gen-parallelogramme-butr.webp)
2. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
\[BU=\sqrt{(3-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\]
\[BT=\sqrt{(-4-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\]
\[TU=\sqrt{(3-(-4))^2+(0-1)^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]
Donc \(BU=\sqrt{10}\) cm, \(BT=2\sqrt{10}\) cm et \(TU=5\sqrt{2}\) cm.
3. Le plus grand côté est [TU]. Puis on compare : \(TU^2=50\) et \(BU^2+BT^2=10+40=50\).
Comme \(TU^2=BU^2+BT^2\), la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure : le triangle BUT est rectangle en B.
4. \(\overrightarrow{UB}=\overrightarrow{TR}\) signifie que le quadrilatère UBRT est un parallélogramme (on lit les points dans l’ordre U, B, R, T). Ses côtés sont [UB], [BR], [RT] et [TU] : ce sont les mêmes que ceux de BUTR. BUTR est un parallélogramme.
Attention : l’angle droit trouvé à la question 3 est l’angle \(\widehat{UBT}\), entre le côté [BU] et la diagonale [BT] du parallélogramme. Puis les angles du parallélogramme ne sont pas droits (par exemple \(BR^2=(-5-2)^2+(4-3)^2=50\) et \(BU^2+BR^2=60\neq UR^2\)), donc BUTR n’est pas un rectangle.
Construction de R : pour aller de U à B, on se déplace de 1 unité vers la gauche et de 3 unités vers le haut. De plus, on fait le même déplacement à partir de T : \(x_R=-4-1=-5\) et \(y_R=1+3=4\). Donc R(−5 ; 4). Au compas, on peut aussi reporter BR = UT depuis B et TR = UB depuis T : les deux arcs se coupent en R.
e. UBRT est un parallélogramme de sommet U ; d’après la règle du parallélogramme, la somme de deux vecteurs issus de U est le vecteur de la diagonale issue de U : \(\overrightarrow{UB}+\overrightarrow{UT}=\overrightarrow{UR}\).
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2006) : les deux cordes
Les points A, E, D sont alignés et les points C, E, B sont alignés, dans le même ordre (E est entre A et D, et entre C et B). Alors on compare les rapports des longueurs :
\[\dfrac{EA}{ED}=\dfrac{7}{9{,}1}=\dfrac{70}{91}=\dfrac{10}{13}\qquad \dfrac{EC}{EB}=\dfrac{10}{13}\]
Les deux rapports sont égaux. Par la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Pour vérifier l’égalité autrement, on peut faire les produits en croix : \(7\times 13=91\) et \(9{,}1\times 10=91\).
Corrigé du problème
Corrigé de la 1re partie : volumes de l’enseigne et de l’étui
1. Chaque cône a un rayon \(R=24\div 2=12\) cm et une hauteur \(h=40\) cm. Volume d’un cône :
\[V_{\text{cône}}=\dfrac{\pi\times 12^2\times 40}{3}=\dfrac{5\,760\pi}{3}=1\,920\pi\ \text{cm}^3\]
L’enseigne est formée de deux cônes identiques :
\[V_{\text{enseigne}}=2\times 1\,920\pi=3\,840\pi\ \text{cm}^3\approx 12\,064\ \text{cm}^3\]
Comme \(1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3\), le volume vaut \(3\,840\pi\) cm³, soit environ 12 dm³.
2. Le plus petit cylindre qui contient l’enseigne a la même base (rayon 12 cm) et une hauteur égale à la longueur totale de l’enseigne, \(40+40=80\) cm :
\[V_{\text{étui}}=\pi\times 12^2\times 80=11\,520\pi\ \text{cm}^3\approx 36\,191\ \text{cm}^3\]
Le volume de l’étui est \(11\,520\pi\) cm³, soit environ 36 dm³.
Remarque : l’étui a un volume triple de celui de l’enseigne, car un cône occupe le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.
Corrigé de la 2e partie : comparer deux tarifs
1. Vitlivré : on multiplie la distance par 3,20 € (par exemple \(100\times 3{,}2=320\)). Rapido : on double la distance et on ajoute 180 € (par exemple \(2\times 40+180=260\)).
| Distance en km | 40 | 100 | 130 | 200 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|
| Coût en € avec l’entreprise Vitlivré | 128 | 320 | 416 | 640 | 800 |
| Coût en € avec l’entreprise Rapido | 260 | 380 | 440 | 580 | 680 |
2. a. Avec Vitlivré, le prix est proportionnel à la distance : \(v(x)=3{,}2x\).
b. Avec Rapido, on ajoute le forfait : \(r(x)=2x+180\).
3. \(v\) est une fonction linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine, et par exemple par le point (100 ; 320). \(r\) est une fonction affine : sa droite coupe l’axe des ordonnées en 180 et passe par exemple par (100 ; 380). De même, avec l’échelle imposée, le point (100 ; 320) est à 5 cm à droite de l’origine et 8 cm au-dessus.
4. a. Ensuite, on part de 180 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la droite de Rapido et on lit l’ordonnée : la facture est de 540 € (calcul : \(2\times 180+180=540\)).
b. Puis on part de 160 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la droite de Vitlivré et on lit l’abscisse : le livreur a parcouru 50 km.
c. Ensuite, les deux droites se coupent au point de coordonnées (150 ; 480) : pour 150 km, les deux entreprises demandent le même prix, 480 €.
Corrigé de la 2e partie : comparer deux tarifs (suite)
5. On compare la position des deux droites : pour une distance inférieure à 150 km, la droite de Vitlivré est en dessous, donc Vitlivré est moins chère en dessous de 150 km ; au-delà de 150 km, c’est la droite de Rapido qui est en dessous, donc Rapido est moins chère au-delà de 150 km ; à 150 km, les prix sont égaux.
6. On cherche \(x\) tel que \(v(x)=r(x)\) :
\[3{,}2x=2x+180\]
\[1{,}2x=180 \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{180}{1{,}2}=150\]
Le prix est alors \(v(150)=3{,}2\times 150=480\) et on vérifie \(r(150)=2\times 150+180=480\). Par ailleurs, on retrouve bien 150 km pour un prix de 480 €.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé étrangers 2006
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. Puis en effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Ensuite, pour les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Puis en ce qui concerne les agrandissements et réductions, calcule d’abord le coefficient d’agrandissement ou de réduction, puis applique-le aux longueurs, aux aires et aux volumes. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé étrangers 2006 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers 2006
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2006 en entier ?
Non, pas forcément. De plus, en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2006. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les agrandissements et réductions et les racines carrées. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. Ensuite, en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers 2006
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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