Corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Est, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : France, groupement Est, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé septembre Est
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé septembre Est est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions, racines et puissances » (activités numériques). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Développer et factoriser E » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « Tarifs du zoo : système » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Triangle AOB : Pythagore et Thalès » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, la correction reprend « Losange ABEC dans un repère » (activités géométriques).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Boîte de dragées : aire » (exercice 1 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Boîte de dragées : volume » (exercice 2 de géométrie).
Ainsi, le corrigé corrigé septembre Est te fait revoir les fractions, les racines carrées, les puissances de 10, les équations et les systèmes d’équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé septembre Est)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, racines et puissances
1. La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par \(\dfrac{4}{13}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{13}{4}\) :
\[\dfrac{2}{7}\div\dfrac{4}{13}=\dfrac{2}{7}\times\dfrac{13}{4}=\dfrac{26}{28}=\dfrac{13}{14}\]
On met ensuite au même dénominateur 14 :
\[\text{A}=\dfrac{5}{7}-\dfrac{13}{14}=\dfrac{10}{14}-\dfrac{13}{14}=-\dfrac{3}{14}\]
Ensuite, on a bien \(\text{A}=-\dfrac{3}{14}\).
2. Puis on cherche dans 48 et 27 le plus grand carré parfait : \(48=16\times3\) et \(27=9\times3\). Donc \(\sqrt{48}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}\) et \(\sqrt{27}=\sqrt{9}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}\).
\[\text{B}=5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+4\times3\sqrt{3}=5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+12\sqrt{3}=13\sqrt{3}\]
\(\text{B}=13\sqrt{3}\), donc \(a=13\).
3. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[\text{C}=\dfrac{12\times12}{3}\times\dfrac{10^{11}\times10^{-3}}{10^{3}}=48\times\dfrac{10^{8}}{10^{3}}=48\times10^{5}\]
En écriture scientifique, le premier facteur doit être compris entre 1 et 10 : \(48=4{,}8\times10^1\), donc \(\text{C}=4{,}8\times10^1\times10^5\). \(\text{C}=4{,}8\times10^{6}\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe le produit par double distributivité : \((x+2)(4x+5)=4x^2+5x+8x+10=4x^2+13x+10\).
\[E=16x^2-25+4x^2+13x+10=20x^2+13x-15\]
\(E=20x^2+13x-15\).
2. \(16x^2=(4x)^2\) et \(25=5^2\) : c’est une différence de deux carrés, \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Donc \(16x^2-25=(4x-5)(4x+5)\).
Alors on remplace dans \(E\) : le facteur \((4x+5)\) apparaît dans les deux termes.
\[E=(4x-5)(4x+5)+(x+2)(4x+5)=(4x+5)\left[(4x-5)+(x+2)\right]=(4x+5)(5x-3)\]
\(E=(4x+5)(5x-3)\). Contrôle : \((4x+5)(5x-3)=20x^2-12x+25x-15=20x^2+13x-15\), on retrouve le développement.
3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.
\(4x+5=0\) donne \(x=-\dfrac{5}{4}\) ; \(5x-3=0\) donne \(x=\dfrac{3}{5}\).
L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{5}{4}\) et \(\dfrac{3}{5}\).
Corrigé de l’exercice 3 (septembre Est) : les tarifs du zoo
1. Dans \(4x+y=22\), \(x\) est multiplié par 4 (les quatre enfants) et \(y\) par 1 (l’adulte). Donc \(x\) est le prix d’une entrée enfant et \(y\) le prix d’une entrée adulte, en euros.
2. Six enfants et trois adultes paient 42 euros : \(6x+3y=42\), notée \((\text{E}_2)\).
3. Ensuite, on résout par substitution. De \((\text{E}_1)\), on tire \(y=22-4x\). On remplace dans \((\text{E}_2)\) :
\[6x+3(22-4x)=42\]
\[6x+66-12x=42\]
\[-6x=-24\quad\text{donc}\quad x=4\]
Puis \(y=22-4\times4=6\). Vérification dans \((\text{E}_2)\) : \(6\times4+3\times6=24+18=42\). La solution du système est le couple \((x\ ;\ y)=(4\ ;\ 6)\).
4. Une entrée enfant coûte 4 euros et une entrée adulte coûte 6 euros. (Avec le premier groupe : \(4\times4+6=22\) euros, c’est cohérent.)
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : Pythagore, Thalès et aires
1. Dans le triangle AOB, le plus grand côté est [AB]. Puis on calcule séparément :
\[\text{AB}^2=15^2=225\qquad\text{OA}^2+\text{OB}^2=9^2+12^2=81+144=225\]
Ensuite, on a \(\text{AB}^2=\text{OA}^2+\text{OB}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOB est rectangle en O.
Ainsi (OB) est perpendiculaire à (OA). Or (CD) est aussi perpendiculaire à (OA). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (CD) et (OB) sont parallèles.
2. Les points A, C, O sont alignés, ainsi que A, D, B, et les droites (CD) et (OB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles ACD et AOB :
\[\dfrac{\text{AC}}{\text{AO}}=\dfrac{\text{AD}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{CD}}{\text{OB}}\]
Avec la première et la dernière égalité : \(\dfrac{3}{9}=\dfrac{\text{CD}}{12}\), donc \(\text{CD}=\dfrac{3\times12}{9}=\dfrac{36}{9}=4\). CD = 4 cm.
3. Les deux triangles sont rectangles (AOB en O, ACD en C), donc on calcule leurs aires avec les côtés de l’angle droit :
\[\mathcal{A}_{\text{AOB}}=\dfrac{\text{OA}\times\text{OB}}{2}=\dfrac{9\times12}{2}=54\ \text{cm}^2\qquad\mathcal{A}_{\text{ACD}}=\dfrac{\text{AC}\times\text{CD}}{2}=\dfrac{3\times4}{2}=6\ \text{cm}^2\]
Or \(54=9\times6\) : l’aire de AOB vaut 9 fois celle de ACD, pas 3 fois. L’élève a tort. Son erreur : le triangle AOB est un agrandissement de rapport 3 du triangle ACD, mais les aires sont multipliées par \(3^2=9\), pas par 3.
Corrigé de l’exercice 2 (septembre Est) : un losange dans un repère
Voici la figure (le repère est à tracer sur papier millimétré, 1 cm par unité).
![Repère orthonormé avec les points A(-1 ; 7), B(1 ; 3), C(3 ; 5), le milieu R(2 ; 4) de [BC] et le point E(5 ; 1) ; le losange ABEC est tracé en bleu avec ses diagonales en pointillés](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2006-france-groupement-est-septembre/gen-geo-ex2-losange-abec.webp)
1. a. Dans un repère orthonormé, \(\text{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
\[\text{AB}=\sqrt{(1-(-1))^2+(3-7)^2}=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\]
\[\text{AC}=\sqrt{(3-(-1))^2+(5-7)^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\]
AB = AC = \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) cm (environ 4,47 cm).
b. Le triangle ABC a deux côtés de même longueur, AB et AC : il est isocèle en A.
2. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[x_R=\dfrac{1+3}{2}=2\qquad y_R=\dfrac{3+5}{2}=4\]
R(2 ; 4).
3. E est le symétrique de A par rapport à R, donc R est le milieu de [AE]. Puis on écrit \(\dfrac{-1+x_E}{2}=2\), soit \(x_E=5\), et \(\dfrac{7+y_E}{2}=4\), soit \(y_E=1\). E(5 ; 1).
4. Les diagonales [AE] et [BC] du quadrilatère ABEC ont le même milieu R : ABEC est un parallélogramme. De plus, ses deux côtés consécutifs [AB] et [AC] ont la même longueur (question 1). Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : ABEC est un losange.
Problème
Corrigé de la partie A : aire de la boîte de dragées
1. a. O est le centre du carré ABCD et I le milieu de [BC]. [OI] relie le centre au milieu d’un côté : sa longueur vaut la moitié de l’arête, \(4\div2=2\). OI = 2 cm.
b. Le triangle SOI est rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{SI}^2=\text{SO}^2+\text{OI}^2=2^2+2^2=8\]
\(\text{SI}=\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). SI = \(2\sqrt{2}\) cm.
2. a. La pyramide est régulière, donc SB = SC : le triangle SBC est isocèle en S. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur. I est le milieu de [BC], donc [SI] est cette médiane : (SI) est perpendiculaire à (BC), et [SI] est la hauteur du triangle SBC relative à [BC].
b. \(\mathcal{A}_{\text{SBC}}=\dfrac{\text{BC}\times\text{SI}}{2}=\dfrac{4\times2\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\). L’aire du triangle SBC est \(4\sqrt{2}\ \text{cm}^2\).
Les quatre faces latérales de la pyramide régulière sont des triangles identiques : \(4\times4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\). Les faces latérales ont une aire totale de \(16\sqrt{2}\ \text{cm}^2\).
c. Le solide a neuf faces : les quatre triangles de la pyramide et cinq faces carrées du cube (la face ABCD est à l’intérieur, recouverte par la pyramide). Chaque carré a une aire de \(4\times4=16\ \text{cm}^2\).
\[\mathcal{A}_{\text{totale}}=5\times16+16\sqrt{2}=80+16\sqrt{2}\]
Aire totale \(=80+16\sqrt{2}\ \text{cm}^2\approx102{,}63\ \text{cm}^2\) (au centième).
Corrigé de la partie B : volume selon la hauteur de la pyramide
1. Le volume du cube est \(4^3=64\ \text{cm}^3\). La pyramide a pour base le carré ABCD d’aire \(b=16\ \text{cm}^2\) et pour hauteur \(h=\text{SO}=x\) :
\[\mathcal{V}_{\text{pyramide}}=\dfrac{1}{3}\times16\times x=\dfrac{16}{3}x\]
En additionnant : \(\mathcal{V}=\dfrac{16}{3}x+64\).
2. \(f\) est affine, sa représentation est une droite : deux points suffisent. \(f(0)=64\) et \(f(3)=16+64=80\) ; on peut ajouter \(f(4{,}5)=24+64=88\) pour aller jusqu’au bout de l’intervalle.
| \(x\) | 0 | 3 | 4,5 |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 64 | 80 | 88 |
Avec les unités imposées, \(x=4{,}5\) est placé à 18 cm de l’origine et \(f(x)=88\) à 17,6 cm au-dessus : la droite tient sur la feuille. Alors on trace le segment qui joint les points (0 ; 64) et (4,5 ; 88).
3. Ensuite, on trace la droite horizontale d’ordonnée 80. Elle coupe la représentation de \(f\) au point d’abscisse 3. Comme la droite monte, les volumes sont au-dessus de 80 à droite de ce point. La condition est remplie dès que \(x\geqslant3\) cm.
4. Puis on résout l’inéquation \(\dfrac{16}{3}x+64\geqslant80\) :
\[\dfrac{16}{3}x\geqslant16\]
\[x\geqslant16\times\dfrac{3}{16}\quad\text{soit}\quad x\geqslant3\]
(on multiplie par \(\dfrac{3}{16}\), nombre positif, donc le sens de l’inégalité ne change pas). Il faut une hauteur SO d’au moins 3 cm, ce qui confirme la lecture graphique.
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2006 : France, groupement Est, septembre.
Comment utiliser le corrigé corrigé septembre Est
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé septembre Est, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé septembre Est
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre Est en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2006. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, les puissances de 10 et les équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé septembre Est
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
Les autres corrigés du brevet 2006
- Corrigé du brevet de maths 2006 : Académie d’Aix-Marseille
- Corrigé du brevet de maths 2006 : Académie de Bordeaux
- De même, corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Est
- Corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Nord
- Corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Nord, septembre
- De même, corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Ouest, septembre
- Corrigé du brevet de maths 2006 : Amérique du Nord
- Corrigé du brevet de maths 2006 : Centres étrangers
Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2006 : France, groupement Est, septembre» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
