Corrigé du brevet de maths 2006 : Académie d’Aix-Marseille

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Sommaire

Ce corrigé du brevet 2006 d’Aix-Marseille (27 juin 2006, commun à la Corse, Montpellier, Nice et Toulouse) détaille toutes les réponses. Côté calcul, tu revois comment simplifier une fraction de fractions, réduire une somme de racines carrées, manipuler les puissances de 10, factoriser grâce à un facteur commun et résoudre un système par combinaison pour trouver le prix d’une boîte et d’un album. En géométrie, le théorème de Thalès et sa réciproque s’appliquent dans une configuration en sablier, la tangente donne un côté, le milieu de l’hypoténuse devient centre du cercle circonscrit, et le coefficient de réduction au cube donne le volume de la petite pyramide. Le problème de la station de ski relie pourcentage, équation et lecture graphique.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2006 : Académie d’Aix-Marseille. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Marseille 2006

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Marseille 2006 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fraction, racines et puissances » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Système : boîtes et albums » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Thalès dans un sablier » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu lis la démarche complète pour « Triangle rectangle et cercle » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Pyramide coupée à mi-hauteur » (exercice 3 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Tarifs d’une station de ski » (problème).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Marseille 2006 sont les fractions, les racines carrées, les puissances de 10, le calcul littéral et les systèmes d’équations, rédigées comme sur une copie.

Corrigé des activités numériques (Marseille 2006)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions, racines et puissances

1. On simplifie d’abord le numérateur et le dénominateur séparément.

Numérateur : \(3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}\). Dénominateur : \(\dfrac{4}{3}\times 7=\dfrac{28}{3}\).

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[\text{A}=\dfrac{7}{3}\div\dfrac{28}{3}=\dfrac{7}{3}\times\dfrac{3}{28}=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4}\]

Donc \(\text{A}=\dfrac{1}{4}\), fraction irréductible.

2. Ensuite, on fait apparaître \(\sqrt{3}\) dans chaque terme en cherchant un carré parfait dans le nombre sous la racine :

\(\sqrt{300}=\sqrt{100\times 3}=\sqrt{100}\times\sqrt{3}=10\sqrt{3}\) et \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}\), donc \(3\sqrt{12}=6\sqrt{3}\).

\[\text{B}=10\sqrt{3}-4\sqrt{3}+6\sqrt{3}=(10-4+6)\sqrt{3}=12\sqrt{3}\]

Donc \(\text{B}=12\sqrt{3}\).

3. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :

\[\text{C}=\dfrac{19\times 6}{14}\times\dfrac{10^{3}\times 10^{-10}}{10^{-2}}=\dfrac{114}{14}\times 10^{3-10-(-2)}=\dfrac{57}{7}\times 10^{-5}\]

Or \(\dfrac{57}{7}\approx 8{,}142\,857\), nombre compris entre 1 et 10. Comme cette division ne tombe pas juste, l’écriture scientifique ne peut être donnée qu’en valeur approchée : \(\text{C}\approx 8{,}14\times 10^{-5}\) (valeur exacte \(\dfrac{57}{7}\times 10^{-5}\)).

À retenir : \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) permet de sortir un carré parfait de la racine ; \(10^{m}\times 10^{n}=10^{m+n}\) et \(\dfrac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}\).

Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre

1. D’abord, on développe chaque morceau. Par double distributivité :

\[(2x-3)(5-x)=10x-2x^2-15+3x=-2x^2+13x-15\]

Avec l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\[(2x-3)^2=4x^2-12x+9\]

Puis on additionne et on réduit :

\[D=-2x^2+13x-15+4x^2-12x+9=2x^2+x-6\]

Donc \(D=2x^2+x-6\).

2. Le facteur \((2x-3)\) est commun aux deux termes, car \((2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)\) :

\[D=(2x-3)\big[(5-x)+(2x-3)\big]=(2x-3)(x+2)\]

Donc \(D=(2x-3)(x+2)\). Contrôle : \((2x-3)(x+2)=2x^2+4x-3x-6=2x^2+x-6\), on retrouve bien le développement.

3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\(2x-3=0\), soit \(x=\dfrac{3}{2}\) ; ou \(x+2=0\), soit \(x=-2\).

L’équation a deux solutions : \(\dfrac{3}{2}\) et \(-2\).

À retenir : pour factoriser, repère le facteur commun (ici \(2x-3\)) et mets le reste entre crochets ; une équation produit nul se résout facteur par facteur.

Corrigé de l’exercice 3 (Marseille 2006) : système et prix de rangements

1. Tout d’abord, on élimine \(x\) par combinaison. En multipliant la seconde équation par 2, on obtient \(6x+14y=111\). On lui soustrait la première équation \(6x+5y=57\) :

\[(6x+14y)-(6x+5y)=111-57 \quad\text{donc}\quad 9y=54 \quad\text{donc}\quad y=6\]

On remplace \(y\) par 6 dans la première équation : \(6x+30=57\), donc \(6x=27\) et \(x=\dfrac{27}{6}=4{,}5\).

Vérification dans la seconde : \(3\times 4{,}5+7\times 6=13{,}5+42=55{,}5\). La solution du système est \(x=4{,}5\) et \(y=6\).

2. Alors on note \(x\) le prix d’une boîte et \(y\) le prix d’un album, en euros. L’achat de Léa donne \(6x+5y=57\) et celui de Hugo \(3x+7y=55{,}5\) : c’est exactement le système de la question 1.

Donc une boîte coûte 4,50 € et un album coûte 6 €. (Contrôle : Léa paie \(6\times 4{,}5+5\times 6=27+30=57\) €.)

À retenir : pour résoudre un système par combinaison, multiplie une équation pour obtenir le même coefficient devant une inconnue, puis soustrais ; vérifie toujours la solution dans les deux équations.

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : Thalès dans un sablier

1. Les points A, C, F sont alignés, les points B, C, G sont alignés, et les droites (AB) et (GF) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, dans les triangles CAB et CFG :

\[\dfrac{CA}{CF}=\dfrac{CB}{CG}=\dfrac{AB}{FG}\]

On utilise l’égalité qui contient CA et des longueurs connues : \(\dfrac{CA}{8{,}4}=\dfrac{3}{11{,}2}\), d’où :

\[CA=\dfrac{8{,}4\times 3}{11{,}2}=\dfrac{25{,}2}{11{,}2}=2{,}25\]

Donc CA = 2,25 cm.

2. Ensuite, on regarde le triangle FCG, avec D sur [FC] et E sur [FG]. Puis on calcule séparément les deux rapports :

\[\dfrac{FD}{FC}=\dfrac{6{,}3}{8{,}4}=0{,}75 \qquad \dfrac{FE}{FG}=\dfrac{8{,}4}{11{,}2}=0{,}75\]

Les rapports sont égaux, et les points F, D, C d’une part, F, E, G d’autre part, sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (ED) et (GC) sont parallèles.

À retenir : Thalès sert à calculer une longueur quand on sait que deux droites sont parallèles ; sa réciproque sert à prouver le parallélisme à partir de deux rapports égaux et de points alignés dans le même ordre.

Corrigé de l’exercice 2 (Marseille 2006) : triangle rectangle et cercle circonscrit

1. Construction : trace le segment [AC] de 5 cm ; en C, trace la perpendiculaire à (AC) à l’équerre ; en A, trace au rapporteur une demi-droite faisant un angle de 40° avec [AC] ; elle coupe la perpendiculaire en B.

2. Dans le triangle ABC rectangle en C, on connaît l’angle en A et le côté adjacent [AC] ; on cherche le côté opposé [BC]. Ensuite, on utilise la tangente :

\[\tan\widehat{BAC}=\dfrac{BC}{AC} \quad\text{donc}\quad BC=AC\times\tan 40°=5\times\tan 40°\approx 4{,}195\]

Arrondi au millimètre : BC ≈ 4,2 cm.

3. a. Propriété : le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Ici l’hypoténuse est [AB], côté opposé à l’angle droit en C. Le centre O est donc le milieu de [AB], et le rayon vaut \(\dfrac{AB}{2}\).

b. Place le milieu O de [AB] (à la règle graduée ou avec la médiatrice) et trace le cercle de centre O passant par A : il passe aussi par B et C (voir la figure).

4. O est le centre du cercle, donc OA = OC : le triangle AOC est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=40°\).

Dans le triangle AOC : \(\widehat{AOC}=180°-40°-40°=100°\).

Les points A, O, B sont alignés, donc \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{BOC}\) sont supplémentaires : \(\widehat{BOC}=180°-100°=80°\).

Donc \(\widehat{BOC}=80°\). On retrouve la propriété de l’angle au centre : \(\widehat{BOC}\) intercepte le même arc que l’angle inscrit \(\widehat{BAC}\) et mesure le double, \(2\times 40°=80°\).

À retenir : dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit ; l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc.

Corrigé de l’exercice 3 : pyramide et section

1. ABCD est un rectangle, donc le triangle ABD est rectangle en A, d’hypoténuse [BD]. D’après le théorème de Pythagore :

\[BD^2=AB^2+AD^2 \quad\text{donc}\quad AD^2=5^2-3^2=25-9=16\]

Comme AD est une longueur positive, \(AD=\sqrt{16}=4\). On a bien AD = 4 cm.

2. L’aire de la base rectangulaire vaut \(AB\times AD=3\times 4=12\) cm². Le volume d’une pyramide est le tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur :

\[V=\dfrac{12\times 6}{3}=24\]

Le volume de la pyramide SABCD est 24 cm³.

3. a. La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de cette base. La base est un rectangle, donc A’B’C’D’ est un rectangle.

b. Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs : \(\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\), puisque O’ est le milieu de [SO]. Le rapport de réduction est \(\dfrac{1}{2}\).

c. Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :

\[V^{\prime}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\times 24=\dfrac{1}{8}\times 24=3\]

Le volume de la pyramide SA’B’C’D’ est 3 cm³. (Vérification directe : la base réduite mesure 1,5 cm sur 2 cm, soit 3 cm², et \(\dfrac{3\times 3}{3}=3\).)

À retenir : dans une réduction de rapport \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\).

Corrigé du problème : les tarifs de la station de ski

1. Avec le tarif B, chaque journée à 20 € bénéficie d’une réduction de 30 %. La réduction vaut \(20\times\dfrac{30}{100}=6\) €, donc la journée coûte \(20-6=14\) €. Autre façon : baisser de 30 %, c’est multiplier par \(1-0{,}30=0{,}7\), et \(20\times 0{,}7=14\). La cotisation étant déjà payée, Yann paie 14 € par journée.

2. Avec le tarif A, le coût est \(20\times\) nombre de jours. Avec le tarif B, il vaut \(60+14\times\) nombre de jours.

8 jours : tarif A \(20\times 8=160\) € ; tarif B \(60+14\times 8=60+112=172\) €.
Tarif A à 220 € : \(220\div 20=11\) jours ; tarif B pour 11 jours : \(60+14\times 11=60+154=214\) €.
Contrôle de la colonne donnée : 5 jours au tarif B coûtent \(60+70=130\) €.

Nombre de jours de ski pour la saison 2004-2005	5	8	11
Coût en euros avec le tarif A	100	160	220
Coût en euros avec le tarif B	130	172	214

3. a. Chaque journée coûte 20 € : \(\text{C}_{\text{A}}=20x\).

b. Puis on paie 60 € de cotisation, plus 14 € par journée : \(\text{C}_{\text{B}}=14x+60\).

4. Yann est au tarif B et dépense 242 €. Alors on résout :

\[14x+60=242 \quad\text{donc}\quad 14x=182 \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{182}{14}=13\]

Vérification : \(14\times 13+60=182+60=242\). Yann a skié 13 jours.

5. Les deux fonctions sont affines, donc représentées par des droites : deux points suffisent pour chacune.

\(f(x)=20x\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et, par exemple, par le point \((10\ ;\ 200)\) ou \((15\ ;\ 300)\).
\(g(x)=14x+60\) : sa droite passe par \((0\ ;\ 60)\) et par \((10\ ;\ 200)\) ou \((20\ ;\ 340)\).

Avec 1 cm pour 1 jour et 1 cm pour 10 €, la feuille (21 cm de large, 29,7 cm de haut) permet d’aller jusqu’à environ 20 jours et 290 €.

6. a. Ensuite, on trace la verticale d’abscisse 12. Elle coupe la droite de \(g\) (tarif B) plus bas que celle de \(f\) (tarif A) : on lit 228 € pour le tarif B et 240 € pour le tarif A. Pour 12 journées, le tarif B est le plus intéressant, pour un prix de 228 €. (Par le calcul : \(14\times 12+60=228\) et \(20\times 12=240\).)

b. Les deux tarifs sont égaux au point d’intersection des deux droites. Puis on lit ses coordonnées : \((10\ ;\ 200)\). Chloé prévoit donc 10 journées de ski, pour un prix de 200 € avec l’un ou l’autre tarif. (Par le calcul : \(20x=14x+60\) donne \(6x=60\), soit \(x=10\), et \(20\times 10=200\).)

À retenir : pour comparer deux tarifs, la droite la plus basse donne le tarif le moins cher ; le point d’intersection des deux droites indique la quantité pour laquelle les deux tarifs coûtent le même prix.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2006 : Académie d’Aix-Marseille.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Marseille 2006

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. En ce qui concerne les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Marseille 2006 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Marseille 2006

Faut-il lire le corrigé corrigé Marseille 2006 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2006. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les puissances de 10 et le calcul littéral. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Marseille 2006

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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