Corrigé du brevet de maths 2007 : Centres étrangers (groupe de Lyon)
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2007 : Centres étrangers (groupe de Lyon). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Lyon 2007
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Lyon 2007 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 6 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Puissances, PGCD et racines carrées » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « QCM » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « Système et pavé droit » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « Losange dans un repère » (exercice 3 de la partie numérique). Ensuite, en outre, tu lis la démarche complète pour « Triangle inscrit dans un cercle » (activités géométriques).
Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Tarifs de SMS » (exercice 1 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Lyon 2007 sont les puissances de 10, les agrandissements et réductions, les racines carrées, les systèmes d’équations et les angles inscrits, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Lyon 2007)
Corrigé de l’exercice 1 : puissances, PGCD et racines carrées
1. D’abord, on commence par \(\left(10^{-3}\right)^2=10^{-3\times2}=10^{-6}\). Puis on regroupe ensuite les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[\text{A}=\dfrac{500\times2{,}4}{8}\times\dfrac{10^{-6}\times10^{7}}{10^{-4}}=\dfrac{1\,200}{8}\times10^{-6+7-(-4)}=150\times10^{5}\]
Comme \(150=1{,}5\times10^{2}\), on obtient \(\text{A}=1{,}5\times10^{2}\times10^{5}\). \(\text{A}=1{,}5\times10^{7}\).
2. a. Algorithme d’Euclide :
\[1\,610=854\times1+756\]
\[854=756\times1+98\]
\[756=98\times7+70\]
\[98=70\times1+28\]
\[70=28\times2+14\]
\[28=14\times2+0\]
Le dernier reste non nul est 14. PGCD(854 ; 1 610) = 14.
2. b. Ensuite, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(854\div14=61\) et \(1\,610\div14=115\).
\[\dfrac{854}{1\,610}=\dfrac{61\times14}{115\times14}=\dfrac{61}{115}\]
Cette fraction est irréductible puisqu’on a divisé par le PGCD. \(\dfrac{854}{1\,610}=\dfrac{61}{115}\).
3. Puis on fait apparaître \(\sqrt{3}\) en cherchant dans chaque radicande le plus grand carré parfait :
- \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) ;
- \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\) ;
- \(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=6\sqrt{3}\).
\[\text{B}=-3\times3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-2\times6\sqrt{3}=-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}-12\sqrt{3}=(-9+5-12)\sqrt{3}\]
\(\text{B}=-16\sqrt{3}\), donc \(a=-16\).
Corrigé de l’exercice 2 : QCM
1. Avec \(x=2\sqrt{5}\) : \(x^2=4\times5=20\) et \(2x=4\sqrt{5}\). Donc \(x^2+2x+1=20+4\sqrt{5}+1=21+4\sqrt{5}\). Réponse C.
2. \(2x-7=5x+8\) donne \(2x-5x=8+7\), soit \(-3x=15\), donc \(x=-5\). Vérification : \(2\times(-5)-7=-17\) et \(5\times(-5)+8=-17\). Réponse D.
3. \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). De plus, la réponse 4,24 n’est qu’une valeur approchée, pas une valeur exacte. De même, réponse D.
4. Une fonction linéaire s’écrit \(f(x)=ax\). Avec \(f(5)=3\), on a \(5a=3\), donc \(a=\dfrac{3}{5}\). Réponse B.
Corrigé de l’exercice 3 (Lyon 2007) : système et pavé droit
1. Tout d’abord, on utilise la substitution. Ensuite, la deuxième équation donne \(y=24-4x\). Par ailleurs, on remplace dans la première :
\[2x+3(24-4x)=27\]
\[2x+72-12x=27\]
\[-10x=27-72=-45\qquad\text{donc}\qquad x=4{,}5\]
Puis \(y=24-4\times4{,}5=24-18=6\). Vérification dans la première équation : \(2\times4{,}5+3\times6=9+18=27\). La solution du système est le couple \((4{,}5~;~6)\).
2. Notons \(x\) la largeur et \(y\) la longueur, en cm. « Le double de la largeur plus le triple de la longueur vaut 27 » s’écrit \(2x+3y=27\) ; « le quadruple de la largeur plus la longueur vaut 24 » s’écrit \(4x+y=24\). C’est exactement le système de la question 1. La largeur mesure 4,5 cm et la longueur 6 cm.
3. Le volume d’un parallélépipède rectangle est \(V=\text{longueur}\times\text{largeur}\times\text{hauteur}\). Donc \(54=6\times4{,}5\times h=27\times h\), et \(h=\dfrac{54}{27}=2\). La hauteur mesure 2 cm.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : un losange dans un repère
1. On place A(3 ; 7), B(−1 ; 2) et C(7 ; 2) : on se déplace d’abord horizontalement de l’abscisse, puis verticalement de l’ordonnée. Puis la figure ci-dessous montre aussi les points des questions suivantes.
![Repère orthonormé avec A(3 ; 7), B(−1 ; 2), C(7 ; 2), D(3 ; −3) et A′(3 ; 2) ; le quadrilatère ABDC est un losange dont les diagonales [AD] et [BC] se coupent en A′](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2007-centres-etrangers-groupe-de-lyon/gen-repere-losange.webp)
2. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
\[AB=\sqrt{(-1-3)^2+(2-7)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\]
\[AC=\sqrt{(7-3)^2+(2-7)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\]
On a AB = AC, et BC = 8 (B et C ont la même ordonnée, donc \(BC=7-(-1)=8\)) est différent de \(\sqrt{41}\approx6{,}4\). Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
3. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[x_{A^{\prime}}=\dfrac{-1+7}{2}=3\qquad y_{A^{\prime}}=\dfrac{2+2}{2}=2\]
A′(3 ; 2).
4. \(\overrightarrow{\text{AB}}\) a pour coordonnées \((-1-3~;~2-7)=(-4~;~-5)\). Ensuite, pour que \(\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AB}}\), on part de C et on applique le même déplacement : \(x_D=7-4=3\) et \(y_D=2-5=-3\). Donc D(3 ; −3).
L’égalité \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}\) signifie que ABDC est un parallélogramme. De plus, deux côtés consécutifs de ce parallélogramme, [AB] et [AC], ont la même longueur \(\sqrt{41}\) (question 2). ABDC est donc un losange.
5. Milieu de [AD] : \(\left(\dfrac{3+3}{2}~;~\dfrac{7+(-3)}{2}\right)=(3~;~2)\). Puis ce sont les coordonnées de A′. A′ est bien le milieu de [AD] ; c’est normal, car les diagonales [AD] et [BC] d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Corrigé de l’exercice 2 (Lyon 2007) : triangle inscrit dans un cercle
1. Construction : trace un segment [BC] de 10 cm, place son milieu (à 5 cm de B) et trace le cercle de centre ce milieu et de rayon 5 cm. Avec le compas ouvert à 8 cm, pointe en B et coupe le cercle : le point d’intersection est A (deux choix possibles, symétriques par rapport à (BC)).
![Cercle de diamètre [BC] = 10 cm, point A sur le cercle avec AB = 8 cm et AC = 6 cm, angle droit en A ; O sur [BC] avec BO = 2 cm, la droite (AO) coupe en D la parallèle à (AC) passant par B](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2007-centres-etrangers-groupe-de-lyon/gen-cercle-thales.webp)
2. Le point A appartient au cercle de diamètre [BC]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Le triangle ABC est rectangle en A.
3. Dans le triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore donne \(BC^2=AB^2+AC^2\), d’où :
\[AC^2=10^2-8^2=100-64=36\]
AC = 6 cm.
4. Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté adjacent à \(\widehat{\text{ABC}}\) est [AB] et l’hypoténuse est [BC] :
\[\cos\widehat{\text{ABC}}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{8}{10}=0{,}8\]
À la calculatrice, \(\cos^{-1}(0{,}8)\approx36{,}87^\circ\). \(\widehat{\text{ABC}}\approx37^\circ\) au degré près.
5. O est sur [BC] avec BO = 2 cm, donc OC = 10 − 2 = 8 cm. De plus, les points D, O, A sont alignés, les points B, O, C sont alignés, et les droites (BD) et (AC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès (configuration en papillon) :
\[\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{BD}{CA}\qquad\text{soit}\qquad\dfrac{2}{8}=\dfrac{BD}{6}\]
\(BD=\dfrac{2\times6}{8}=1{,}5\). BD = 1,5 cm.
Problème
Corrigé du problème : trois tarifs de SMS
1. 30 minutes = \(30\times60=1\,800\) secondes. Avec 15 secondes par SMS : \(1\,800\div15=120\). Un téléspectateur peut envoyer au maximum 120 SMS.
2. Pamplemousse : \(9+0{,}15\times50=9+7{,}5=16{,}5\) €. Triangle vert : \(0{,}30\times50=15\) €. Brique Mobile : 21 €, quel que soit le nombre de SMS.
| Société | Pamplemousse | Triangle Vert | Brique Mobile |
|---|---|---|---|
| Coût, en euros, pour 50 SMS | 16,50 | 15 | 21 |
3. Alors on généralise les calculs précédents en remplaçant 50 par \(x\) :
\(P(x)=0{,}15x+9\) ; \(T(x)=0{,}30x\) ; \(B(x)=21\).
4. \(f\) est une fonction affine : sa courbe est une droite qui coupe l’axe des ordonnées en 9 ; elle passe par exemple par (0 ; 9) et (100 ; 24). \(g\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et par (100 ; 30). \(h\) est constante : c’est la droite horizontale d’ordonnée 21. Avec les unités imposées, 10 SMS correspondent à 1 cm en abscisse et 3 € à 1 cm en ordonnée.
5. a. L’offre Brique Mobile est intéressante quand la droite de \(h\) est sous les deux autres (ou les rejoint). Ensuite, la droite de \(g\) passe au-dessus de 21 € dès 70 SMS, et celle de \(f\) coupe la droite de \(h\) au point d’abscisse 80. Par le calcul : \(0{,}15x+9=21\) donne \(0{,}15x=12\), soit \(x=80\). Brique Mobile devient intéressante à partir de 80 SMS : pour 80 SMS elle coûte autant que Pamplemousse (21 €), et au-delà elle est la moins chère.
Corrigé du problème : trois tarifs de SMS (suite)
5. b. Ensuite, on trace la droite horizontale d’ordonnée 15 et on lit les abscisses des points d’intersection :
- avec la droite de \(g\) (Triangle vert) : 50 SMS, car \(0{,}30\times50=15\) ;
- avec la droite de \(f\) (Pamplemousse) : 40 SMS, car \(0{,}15\times40+9=15\) ;
- Brique Mobile coûte 21 €, plus que les 15 € disponibles : impossible.
Arthur doit choisir Triangle vert et pourra envoyer 50 SMS (ce qui reste inférieur aux 120 SMS possibles en 30 minutes).
6. Nombre de SMS pour DJ Carmen : \(724\,560\times\dfrac{60}{100}=434\,736\). Par ailleurs, ils ont été envoyés pendant les 1 800 secondes du vote :
\[\dfrac{434\,736}{1\,800}\approx241{,}52\]
Environ 242 SMS par seconde ont été envoyés pour DJ Carmen.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Lyon 2007
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Dans les questions sur les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Puis pour les agrandissements et réductions, calcule d’abord le coefficient d’agrandissement ou de réduction, puis applique-le aux longueurs, aux aires et aux volumes. Ensuite, en ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de notation scientifique sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Lyon 2007 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Lyon 2007
Faut-il lire le corrigé corrigé Lyon 2007 en entier ?
Non, pas forcément. Puis en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2007. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les puissances de 10, les agrandissements et réductions, les racines carrées et les systèmes d’équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. De plus, en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Lyon 2007
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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