Corrigé du brevet de maths 2007 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2007 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Nord 2007
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nord 2007 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Fractions, puissances et racines » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 2). Puis la correction reprend « Remise et PGCD du confiseur » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Triangle inscrit dans un cercle » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Pyramide et réduction » (exercice 2 (numéroté « Exercice 1 » dans le sujet) de géométrie).
Ensuite, le corrigé explique « Symétrie, translation, rotation » (exercice 3 de géométrie). Puis la correction reprend « Cars vers le musée » (partie A). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Indemnisations d’Armelle » (partie B).
Ainsi, le corrigé corrigé Nord 2007 te fait revoir les fractions, les racines carrées, les équations, les diviseurs communs et la trigonométrie, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Nord 2007)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances de 10 et racines carrées
1. Les deux premières fractions ont déjà le même dénominateur : \(\dfrac{2}{7} – \dfrac{15}{7} = \dfrac{-13}{7}\). Pour ajouter \(\dfrac{5}{4}\), on prend le dénominateur commun 28 :
\[A = \dfrac{-13 \times 4}{28} + \dfrac{5 \times 7}{28} = \dfrac{-52 + 35}{28} = \dfrac{-17}{28}\]
17 est un nombre premier qui ne divise pas 28, donc la fraction est irréductible : \(A = -\dfrac{17}{28}\).
2. On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[B = \dfrac{4 \times 15}{80} \times \dfrac{10^5 \times 10^{-3}}{10^{-1}} = \dfrac{60}{80} \times 10^{5 – 3 – (-1)} = 0{,}75 \times 10^3\]
Écriture décimale : \(B = 750\). Écriture scientifique (un seul chiffre non nul avant la virgule) : \(B = 7{,}5 \times 10^2\).
3. On cherche sous chaque racine un carré parfait multiplié par 3, puis on utilise \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) :
\[\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \qquad 4\sqrt{27} = 4\sqrt{9 \times 3} = 12\sqrt{3} \qquad 5\sqrt{48} = 5\sqrt{16 \times 3} = 20\sqrt{3}\]
\[C = 5\sqrt{3} + 12\sqrt{3} – 20\sqrt{3} = (5 + 12 – 20)\sqrt{3}\]
Donc \(C = -3\sqrt{3}\), avec \(a = -3\).
4. D est de la forme \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\) avec \(a = 2\) et \(b = 4\sqrt{5}\). Or \((4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80\), donc :
\[D = 2^2 – (4\sqrt{5})^2 = 4 – 80 = -76\]
\(D = -76\) : c’est bien un nombre entier (relatif).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. Avec l’identité \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) : \((3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4\).
Avec la double distributivité : \((3x + 2)(x + 7) = 3x^2 + 21x + 2x + 14 = 3x^2 + 23x + 14\).
Attention au signe moins devant la parenthèse : il change le signe de chaque terme.
\[E = 9x^2 + 12x + 4 – 3x^2 – 23x – 14\]
Donc \(E = 6x^2 – 11x – 10\).
2. Le facteur \((3x + 2)\) apparaît dans les deux termes, puisque \((3x+2)^2 = (3x+2)(3x+2)\) :
\[E = (3x + 2)\big[(3x + 2) – (x + 7)\big] = (3x + 2)(3x + 2 – x – 7)\]
Donc \(E = (3x + 2)(2x – 5)\). Vérification : \((3x+2)(2x-5) = 6x^2 – 15x + 4x – 10 = 6x^2 – 11x – 10\), on retrouve la question 1.
3. La forme factorisée rend le calcul simple. Pour \(x = \dfrac{1}{2}\) : \(3x + 2 = \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}\) et \(2x – 5 = 1 – 5 = -4\).
\[E = \dfrac{7}{2} \times (-4) = -14\]
Contrôle avec la forme développée : \(6 \times \dfrac{1}{4} – \dfrac{11}{2} – 10 = 1{,}5 – 5{,}5 – 10 = -14\). Donc \(E = -14\).
4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
Soit \(3x + 2 = 0\), c’est-à-dire \(3x = -2\) et \(x = -\dfrac{2}{3}\) ; soit \(2x – 5 = 0\), c’est-à-dire \(2x = 5\) et \(x = \dfrac{5}{2}\).
L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{5}{2}\). Tu remarques que c’est l’équation \(E = 0\) : la factorisation de la question 2 prépare cette question.
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2007) : remise et sachets de bonbons
1. Retirer 20 % d’un prix revient à en garder 80 %, c’est-à-dire à le multiplier par \(1 – \dfrac{20}{100} = 0{,}8\).
\[120{,}40 \times 0{,}8 = 96{,}32\]
La facture après remise s’élève à 96,32 euros (la remise vaut 24,08 euros).
2. a. Les sachets sont identiques et tous les bonbons sont utilisés : le nombre de sachets doit diviser à la fois 301 et 172. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 301 et 172. Ensuite, on applique l’algorithme d’Euclide :
\[301 = 1 \times 172 + 129\]
\[172 = 1 \times 129 + 43\]
\[129 = 3 \times 43 + 0\]
Le dernier reste non nul est 43, donc \(\text{PGCD}(301 ; 172) = 43\). Le confiseur peut réaliser au maximum 43 sachets.
b. Puis on partage chaque sorte de bonbons en 43 : \(301 \div 43 = 7\) et \(172 \div 43 = 4\).
Chaque sachet contient 7 caramels et 4 chocolats. Vérification : \(43 \times 7 = 301\) et \(43 \times 4 = 172\).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : triangle inscrit dans un cercle
1. Le triangle ABM est inscrit dans le cercle \(\mathcal{C}\) et son côté [AB] est un diamètre de ce cercle. Propriété : si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle, et l’angle droit est le sommet opposé au diamètre. Donc le triangle ABM est rectangle en M.
2. Dans le triangle ABM rectangle en M, l’hypoténuse est [AB] et [BM] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{ABM}}\). On utilise le cosinus :
\[\cos \widehat{\text{ABM}} = \dfrac{\text{BM}}{\text{AB}} = \dfrac{4{,}8}{6} = 0{,}8\]
À la calculatrice, \(\widehat{\text{ABM}} = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87°\), donc \(\widehat{\text{ABM}} \approx 37°\).
3. Les angles \(\widehat{\text{ABM}}\) (angle inscrit) et \(\widehat{\text{AOM}}\) (angle au centre) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{AM}}\). La mesure de l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit :
\[\widehat{\text{AOM}} = 2 \times \widehat{\text{ABM}} \approx 2 \times 36{,}87° \approx 73{,}74°\]
Donc \(\widehat{\text{AOM}} \approx 74°\).
Autre méthode pour vérifier : OM = OB (rayons), donc le triangle OMB est isocèle en O et \(\widehat{\text{OMB}} = \widehat{\text{OBM}} \approx 36{,}87°\). Alors \(\widehat{\text{BOM}} \approx 180° – 2 \times 36{,}87° = 106{,}26°\) et, comme A, O, B sont alignés, \(\widehat{\text{AOM}} \approx 180° – 106{,}26° = 73{,}74°\). On retrouve bien 74°.
Corrigé de l’exercice 2 (numéroté « Exercice 1 » dans le sujet) : pyramide et réduction
1. Le volume d’une pyramide est \(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\). La base est le rectangle ABCD d’aire \(8 \times 11 = 88\ \text{cm}^2\) et la hauteur est SA = 15 cm.
\[V_1 = \dfrac{88 \times 15}{3} = \dfrac{1\,320}{3} = 440\]
\(V_1 = 440\ \text{cm}^3\).
2. [SA] est la hauteur de la pyramide, donc (SA) est perpendiculaire à la base, en particulier à la droite (AB) : le triangle SAB est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{SB}^2 = \text{SA}^2 + \text{AB}^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289\]
Donc \(\text{SB} = \sqrt{289}\), soit SB = 17 cm.
3. Les points S, E, A d’une part et S, F, B d’autre part sont alignés dans le même ordre. Alors on compare les rapports :
\[\dfrac{\text{SE}}{\text{SA}} = \dfrac{12}{15} = 0{,}8 \qquad \dfrac{\text{SF}}{\text{SB}} = \dfrac{13{,}6}{17} = 0{,}8\]
Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
4. a. La petite pyramide SEFGH est une réduction de SABCD. Le coefficient de réduction est le rapport de deux longueurs qui se correspondent, par exemple les hauteurs SE et SA :
\[k = \dfrac{\text{SE}}{\text{SA}} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\]
Le coefficient de réduction est \(k = 0{,}8\).
b. Dans une réduction de coefficient \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\). Ici \(0{,}8^3 = 0{,}512\), donc :
\[V_2 = 0{,}8^3 \times V_1 = 0{,}512\,V_1\]
\(V_2 = 0{,}512\,V_1\), ce qui donne \(0{,}512 \times 440 = 225{,}28\), soit \(V_2 = 225{,}28\ \text{cm}^3\).
Corrigé de l’exercice 3 (Nord 2007) : symétrie, translation et rotation
La figure ci-dessous rassemble toutes les constructions demandées (dans le repère, une unité vaut 1 cm).
1. et 2. On trace deux axes perpendiculaires gradués en centimètres, on place A(0 ; 3) sur l’axe des ordonnées, B(3 ; 0) sur l’axe des abscisses, puis E(−4 ; 3), F(−1 ; 2) et G(−4 ; −1). Ensuite, on trace la droite (AB) et le triangle EFG, appelé \(T\). Remarque : E et G ont la même abscisse −4, donc le côté [EG] est vertical et mesure 4 cm.
3. Pour construire le symétrique d’un point par rapport à (AB), on trace la perpendiculaire à (AB) passant par ce point et on reporte, de l’autre côté de (AB), la même distance. Ici (AB) fait un angle de 45° avec les axes, ce qui facilite le travail sur le quadrillage : on obtient E₁(0 ; 7), F₁(1 ; 4) et G₁(4 ; 7). Le triangle \(T_1\) = E₁F₁G₁ a les mêmes dimensions que \(T\), mais son orientation est inversée.
4. Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) correspond au déplacement « 3 carreaux vers la droite, 3 carreaux vers le bas ». Puis on applique ce même glissement à chaque sommet : E₂(−1 ; 0), F₂(2 ; −1) et G₂(−1 ; −4). Le triangle \(T_2\) = E₂F₂G₂ est le translaté de \(T\) : chaque quadrilatère EE₂F₂F, par exemple, est un parallélogramme.
5. Le centre E est sa propre image. Pour F : on trace le segment [EF], on place le rapporteur centré en E sur [EF], on mesure 100° en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, puis on reporte au compas la longueur EF sur cette demi-droite ; on obtient F₃. On fait de même pour G : sur la demi-droite qui fait 100° avec [EG] (dans le même sens), on reporte EG = 4 cm pour obtenir G₃. Par le calcul, on trouve approximativement F₃(−3,54 ; 6,13) et G₃(−0,06 ; 3,69). Le triangle \(T_3\) = EF₃G₃ est superposable à \(T\).
Problème
Corrigé de la partie A : les cars vers le musée
1. La durée du trajet est \(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{250}{100} = 2{,}5\) heures, soit 2 h 30 min (car 0,5 h = 30 min). Le car part à 7 h 25 :
\[7\ \text{h}\ 25 + 2\ \text{h}\ 30 = 9\ \text{h}\ 55\]
Le premier groupe arrive au musée à 9 h 55.
2. De même, le trajet dure de 8 h 00 à 9 h 30, soit 1 h 30 min = 1,5 h. La vitesse moyenne vaut :
\[v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{120}{1{,}5} = 80\]
La vitesse moyenne du second car est de 80 km/h.
Corrigé de la partie B : les deux indemnisations d’Armelle
1. Avec S₁ : \(8 \times 20 = 160\) et \(8 \times 25 = 200\). Avec S₂ : \(90 + 5 \times 20 = 190\) et \(90 + 5 \times 25 = 215\).
| Somme d’argent perçue par mois (en €) | Nombre d’heures effectuées par mois | |
|---|---|---|
| 20 heures | 25 heures | |
| S1 | 160 | 200 |
| S2 | 190 | 215 |
Pour 20 h comme pour 25 h, S₂ rapporte davantage (190 € contre 160 €, puis 215 € contre 200 €).
2. Pour \(x\) heures, la première formule donne 8 euros par heure, la seconde 90 euros fixes plus 5 euros par heure :
\(s_1(x) = 8x\) et \(s_2(x) = 5x + 90\).
3. Ensuite, on regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :
\[8x – 5x = 90 \quad \text{donc} \quad 3x = 90 \quad \text{donc} \quad x = 30\]
La solution est \(x = 30\). L’équation \(8x = 5x + 90\) traduit \(s_1(x) = s_2(x)\) : pour 30 heures de travail par mois, les deux indemnisations rapportent la même somme, à savoir \(8 \times 30 = 240\) euros.
4. \(s_1\) est une fonction linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine, par exemple par (0 ; 0) et (30 ; 240). \(s_2\) est une fonction affine : sa droite coupe l’axe des ordonnées en 90 et passe par exemple par (0 ; 90) et (30 ; 240). Puis on place ces points sur le repère de l’annexe et on trace les deux droites.
5. a. Alors on repère le point d’intersection des deux droites et on trace en pointillés (en rouge sur la figure) les traits qui le relient aux deux axes : on lit l’abscisse 30, qui est la solution de la question 3, et l’ordonnée 240 €.
b. On part de 35 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’aux deux droites, puis on lit les ordonnées (en vert sur la figure) : environ 280 € pour \(s_1\) et 265 € pour \(s_2\). Par le calcul : \(s_1(35) = 8 \times 35 = 280\) et \(s_2(35) = 5 \times 35 + 90 = 265\). Pour 35 heures, l’indemnisation la plus avantageuse est S₁, avec 280 euros.
6. Ensuite, on compare la position des deux droites :
- pour moins de 30 heures par mois, la droite de \(s_2\) est au-dessus de celle de \(s_1\) : S₂ est plus avantageuse ;
- pour exactement 30 heures, les deux formules rapportent 240 euros ;
- pour plus de 30 heures par mois, la droite de \(s_1\) est au-dessus : S₁ est plus avantageuse.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nord 2007
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Pour les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Nord 2007, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Nord 2007
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2007 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2007. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, les équations et les diviseurs communs. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nord 2007
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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