Corrigé du brevet de maths 2007 : Centres étrangers (groupe de Nice)
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2007 : Centres étrangers (groupe de Nice). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Nice 2007
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nice 2007 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fractions, puissances et racines » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « PGCD et équipes mixtes » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « Papillon et Thalès » (exercice 3 de la partie numérique). Par ailleurs, en outre, tu lis la démarche complète pour « Trigonométrie » (activités géométriques).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Carré et transformations » (exercice 1 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Salaires de la cueillette » (exercice 2 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nice 2007 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, le calcul littéral et les équations, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Nice 2007)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances et racines
1. La multiplication passe avant l’addition. Ensuite, on simplifie par 7 : \(\dfrac{7}{8}\times\dfrac{2}{7}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\). Puis on réduit au même dénominateur 8 :
\[\text{A}=\dfrac{11}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{13}{8}\]
13 est un nombre premier qui ne divise pas 8 : \(\text{A}=\dfrac{13}{8}\) est irréductible.
2. Puis on regroupe les nombres et les puissances de 10, avec \(\left(10^3\right)^3=10^{3\times3}=10^9\) :
\[\text{B}=\dfrac{3\times5}{12}\times\dfrac{10^{2}\times10^{4}}{10^{9}}=\dfrac{15}{12}\times10^{6-9}=1{,}25\times10^{-3}\]
Le nombre 1,25 est bien compris entre 1 et 10 : \(\text{B}=1{,}25\times10^{-3}\).
3. Alors on développe avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), en sachant que \(\left(\sqrt{5}\right)^2=5\), \(\left(\sqrt{10}\right)^2=10\) et \(\sqrt{5}\times\sqrt{10}=\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\) :
\[\text{C}=5+2\times5\sqrt{2}+10=15+10\sqrt{2}\]
\(\text{C}=15+10\sqrt{2}\), avec \(a=15\) et \(b=10\). (Contrôle à la calculatrice : les deux écritures valent environ 29,142.)
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. On développe le produit par double distributivité, puis on regroupe les termes de même degré :
\[D=9x^2-4+3x^2-9x-2x+6=12x^2-11x+2\]
\(D=12x^2-11x+2\).
2. \(9x^2-4=(3x)^2-2^2\) est une différence de deux carrés, donc d’après \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) : \(9x^2-4=(3x-2)(3x+2)\).
Le facteur \((3x-2)\) apparaît alors dans les deux termes de \(D\) : on le met en facteur.
\[D=(3x-2)(3x+2)+(3x-2)(x-3)=(3x-2)\big[(3x+2)+(x-3)\big]=(3x-2)(4x-1)\]
\(D=(3x-2)(4x-1)\). Vérification : \((3x-2)(4x-1)=12x^2-3x-8x+2=12x^2-11x+2\), on retrouve la forme développée.
3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\(3x-2=0\) donne \(x=\dfrac{2}{3}\) ; \(4x-1=0\) donne \(x=\dfrac{1}{4}\).
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{1}{4}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Nice 2007) : PGCD et équipes mixtes
1. D’abord, on applique l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :
\(252=144\times1+108\) ; \(144=108\times1+36\) ; \(108=36\times3+0\).
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(144 ; 252) = 36. Puis on peut contrôler avec les décompositions : \(144=2^4\times3^2\) et \(252=2^2\times3^2\times7\), dont la partie commune est \(2^2\times3^2=36\).
2. a. Le nombre d’équipes doit diviser 144 (pour partager les filles également) et 252 (pour les garçons). C’est donc un diviseur commun de 144 et 252, et le plus grand possible est leur PGCD. L’association peut former au maximum 36 équipes.
b. \(144\div36=4\) et \(252\div36=7\). Chaque équipe compte 4 filles et 7 garçons, soit 11 personnes.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : configuration en papillon
L’énoncé contient une coquille : il faut lire ED = 7,5 cm.
1. Ensuite, on calcule séparément les deux rapports :
\[\dfrac{\text{EA}}{\text{EC}}=\dfrac{7{,}2}{5{,}4}=\dfrac{72}{54}=\dfrac{4}{3}\qquad\dfrac{\text{EB}}{\text{ED}}=\dfrac{10}{7{,}5}=\dfrac{100}{75}=\dfrac{4}{3}\]
Les deux rapports sont égaux. De plus, les points A, E, C d’une part et B, E, D d’autre part sont alignés dans le même ordre (E est entre A et C, et entre B et D). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2. Puisque (AB) et (CD) sont parallèles, le théorème de Thalès dans les triangles EAB et ECD donne :
\[\dfrac{\text{EA}}{\text{EC}}=\dfrac{\text{EB}}{\text{ED}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{\text{AB}}{6{,}3}=\dfrac{4}{3}\]
\(\text{AB}=\dfrac{4\times6{,}3}{3}=\dfrac{25{,}2}{3}=8{,}4\). AB = 8,4 cm.
Corrigé de l’exercice 2 (Nice 2007) : deux triangles rectangles opposés par le sommet
1. Dans le triangle PAR rectangle en A, l’hypoténuse est [RP]. Ensuite, le théorème de Pythagore donne \(\text{RP}^2=\text{AR}^2+\text{AP}^2\), donc :
\[\text{AP}^2=4^2-2^2=16-4=12\qquad\text{AP}=\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\]
AP \(=2\sqrt{3}\) cm (environ 3,46 cm), avec \(a=2\) et \(b=3\).
2. Dans le triangle PAR rectangle en A, [AR] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{RPA}}\) et [RP] l’hypoténuse :
\[\sin\widehat{\text{RPA}}=\dfrac{\text{AR}}{\text{RP}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\]
L’angle aigu dont le sinus vaut 0,5 est \(\widehat{\text{RPA}}=30^\circ\). (On retrouve le même résultat avec \(\cos\widehat{\text{RPA}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).)
3. Les points R, P, E sont alignés, ainsi que A, P, M, et P est entre R et E et entre A et M. Puis les angles \(\widehat{\text{RPA}}\) et \(\widehat{\text{MPE}}\) ont le même sommet P et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre : ils sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure, 30°.
4. Dans le triangle PME rectangle en M, [ME] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{MPE}}=30^\circ\) et [PM] le côté adjacent :
\[\tan\widehat{\text{MPE}}=\dfrac{\text{ME}}{\text{PM}}\quad\text{donc}\quad\text{PM}=\dfrac{3}{\tan30^\circ}\approx5{,}196\]
PM ≈ 5 cm à 1 près. (Autre méthode : \(\sin30^\circ=\dfrac{3}{\text{PE}}\) donne PE = 6 cm, puis Pythagore : \(\text{PM}^2=36-9=27\) et \(\text{PM}=\sqrt{27}\approx5{,}2\).)
Corrigé de l’exercice 3 : carré, vecteurs et transformations
1. Le centre d’un carré est le point d’intersection de ses diagonales, qui se coupent en leur milieu. De plus, on lit A(2 ; 4) et C(−6 ; 0), donc M est le milieu de [AC] :
\[x_M=\dfrac{2+(-6)}{2}=-2\qquad y_M=\dfrac{4+0}{2}=2\]
M(−2 ; 2) : on le place à l’intersection des diagonales [AC] et [BD].
2. Puis on lit sur le quadrillage : B(−4 ; 6) et C(−6 ; 0).
3. \(\overrightarrow{\text{MP}}=\overrightarrow{\text{MC}}+\overrightarrow{\text{MC}}=2\,\overrightarrow{\text{MC}}\) : on part de M et on reporte deux fois le vecteur \(\overrightarrow{\text{MC}}\). Ensuite, pour aller de M à C, on se déplace de 4 carreaux vers la gauche et de 2 vers le bas ; on recommence à partir de C. Par ailleurs, le point C est donc le milieu de [MP], et P(−10 ; −2). Puis ce point sort du quadrillage fourni, il faut prolonger la grille vers la gauche.
4. a. La droite (AC) est une diagonale du carré ; l’autre diagonale [BD] lui est perpendiculaire et est coupée en son milieu M. Donc B et D sont symétriques par rapport à (AC), tandis que A et M sont sur l’axe. Le symétrique de ABM est le triangle ADM.
b. La translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AD}}\) envoie A sur D, et B sur C car ABCD est un carré (\(\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AD}}\)). Ensuite, elle envoie M(−2 ; 2) sur le point N(−4 ; −4), obtenu en se déplaçant comme de A à D (2 vers la gauche, 6 vers le bas). L’image de ABM est le triangle DCN, avec N(−4 ; −4), le symétrique de M par rapport au milieu de [CD].
Corrigé de l’exercice 3 : carré, vecteurs et transformations (suite)
c. Dans le carré, un quart de tour de centre M envoie chaque sommet sur un sommet voisin. Celui qui envoie D sur C tourne dans le sens des aiguilles d’une montre : il envoie aussi A sur D, B sur A, et M reste fixe. L’image de ABM est le triangle DAM.
d. M est le milieu de [AC] et de [BD] : la symétrie centrale de centre M envoie A sur C et B sur D. La symétrie de centre M (c’est aussi la rotation de centre M d’angle 180°) transforme ABM en CDM.
Problème
Corrigé du problème : les trois formules de salaire
1. Formule A : 930 € quelle que soit la récolte. Également, formule B : \(310+40\times5=510\), \(310+40\times11=750\), \(310+40\times15=910\). Formule C : \(80\times5=400\), \(80\times11=880\), \(80\times15=1\,200\).
| Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois | 5 | 11 | 15 |
|---|---|---|---|
| Salaire mensuel en euros avec la formule A | 930 | 930 | 930 |
| Salaire mensuel en euros avec la formule B | 510 | 750 | 910 |
| Salaire mensuel en euros avec la formule C | 400 | 880 | 1 200 |
2. Pour \(x\) tonnes cueillies : formule A : 930 ; formule B : \(310+40x\) ; formule C : \(80x\). Puis ce sont les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) de la question suivante.
3. Les trois fonctions sont affines, leurs représentations sont des droites. \(f\) est constante : droite horizontale à la hauteur 930. \(g\) passe par (0 ; 310) et (15 ; 910). \(h\) est linéaire : elle passe par l’origine et par (15 ; 1 200). Avec 1 cm par tonne et 1 cm pour 100 €, prévois 16 cm en largeur et 13 cm en hauteur.
4. a. Les salaires B et C sont égaux au point d’intersection des droites de \(g\) et \(h\). De plus, on descend verticalement de ce point jusqu’à l’axe des abscisses (pointillés gris) : on lit environ 7,7 ou 7,8 tonnes.
b. Ensuite, on résout \(g(x)=h(x)\) :
\[310+40x=80x\iff310=80x-40x\iff310=40x\iff x=\dfrac{310}{40}=7{,}75\]
Les deux formules donnent le même salaire pour exactement 7,75 tonnes ; ce salaire vaut alors \(80\times7{,}75=620\) €.
5. Puis on trace la verticale d’abscisse 13 (pointillés verts). Elle coupe la droite de \(h\) plus haut que celles de \(f\) (930) et de \(g\) (830). La formule la plus avantageuse est celle qui donne le salaire le plus élevé, donc la droite la plus haute : c’est la formule C, avec un salaire de 1 040 € (\(80\times13=1\,040\)).
Corrigé du problème : les trois formules de salaire (suite)
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nice 2007
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. En ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nice 2007 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nice 2007
Faut-il lire le corrigé corrigé Nice 2007 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2007. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et le calcul littéral. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nice 2007
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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