Corrigé du brevet de maths 2007 : Liban

Corrigé de maths – Brevet 2007 : Liban – Maths-pdf.fr

Sommaire

Dans ce corrigé du brevet 2007 du Liban, chaque réponse est justifiée comme sur une copie. Tu y retrouves les règles de calcul sur les puissances de 10, l’algorithme d’Euclide pour le PGCD, la simplification de racines carrées, la résolution d’un système par substitution et son application au pavé droit. La partie géométrique utilise la formule de la distance et celle du milieu dans un repère, l’égalité de vecteurs pour reconnaître un losange, puis le triangle inscrit dans un demi-cercle, Pythagore, le cosinus et Thalès en configuration papillon. Le problème des forfaits SMS montre comment passer d’un tarif à une fonction linéaire ou affine, lire un graphique et convertir un pourcentage en débit de messages par seconde.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2007 : Liban. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Liban 2007

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Liban 2007 est découpé en 6 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Puissances, PGCD et racines carrées » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « QCM de calcul » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Système et pavé droit » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Repère et losange » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, en outre, la correction reprend « Triangle inscrit dans un cercle » (exercice 2 de géométrie).

Enfin, tu lis la démarche complète pour « Forfaits SMS » (problème).

Ainsi, le corrigé corrigé Liban 2007 te fait revoir les puissances de 10, les diviseurs communs, les racines carrées, les systèmes d’équations et les vecteurs, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Activités numériques (corrigé Liban 2007)

Corrigé de l’exercice 1 : puissances, PGCD et racines carrées

1. D’abord, on sépare les nombres décimaux des puissances de 10. D’abord \(\left(10^{-3}\right)^2 = 10^{-6}\).

\[A = \dfrac{500 \times 2{,}4}{8} \times \dfrac{10^{-6} \times 10^{7}}{10^{-4}} = \dfrac{1\,200}{8} \times \dfrac{10^{1}}{10^{-4}} = 150 \times 10^{5}\]

Comme \(150 = 1{,}5 \times 10^2\), on obtient \(A = 1{,}5 \times 10^{7}\) (soit 15 000 000).

2. a. Ensuite, on applique l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :

\[1\,610 = 854 \times 1 + 756\]

\[854 = 756 \times 1 + 98\]

\[756 = 98 \times 7 + 70\]

\[98 = 70 \times 1 + 28\]

\[70 = 28 \times 2 + 14\]

\[28 = 14 \times 2 + 0\]

Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(854 ; 1 610) = 14.

b. Puis on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(854 \div 14 = 61\) et \(1\,610 \div 14 = 115\).

\[\dfrac{854}{1\,610} = \dfrac{61}{115}\]

La fraction \(\dfrac{61}{115}\) est irréductible, puisqu’on a divisé par le PGCD (61 est d’ailleurs premier et ne divise pas 115).

3. Alors on cherche dans chaque radicande un carré parfait facteur de 3 : \(27 = 9 \times 3\), \(75 = 25 \times 3\) et \(108 = 36 \times 3\).

\[\sqrt{27} = 3\sqrt{3}, \quad \sqrt{75} = 5\sqrt{3}, \quad \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\]

\[B = -3 \times 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} – 2 \times 6\sqrt{3} = (-9 + 5 – 12)\sqrt{3}\]

Donc \(B = -16\sqrt{3}\), avec \(a = -16\).

À retenir : avec les puissances de 10, on applique \(\left(10^a\right)^b = 10^{ab}\), \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) et \(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\) ; une fraction simplifiée par le PGCD est automatiquement irréductible.

Corrigé de l’exercice 2 : QCM

Aucune justification n’est exigée, mais voici comment trouver chaque réponse.

1. \(x^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20\) et \(2x = 4\sqrt{5}\). Donc \(x^2 + 2x + 1 = 20 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5}\). Réponse C.

2. \(2x – 7 = 5x + 8\) donne \(2x – 5x = 8 + 7\), soit \(-3x = 15\), donc \(x = -5\). Contrôle : \(2 \times (-5) – 7 = -17\) et \(5 \times (-5) + 8 = -17\). Réponse D.

3. \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\). Puis la réponse 4,24 n’est qu’une valeur approchée. De même, réponse D.

4. Une fonction linéaire s’écrit \(f(x) = ax\). De \(f(5) = 3\), on tire \(5a = 3\), donc \(a = \dfrac{3}{5}\). Réponse B.

À retenir : dans un QCM avec points négatifs, vérifie chaque réponse (en remplaçant la solution dans l’équation, par exemple) ; « valeur exacte » exclut toujours les écritures décimales arrondies.

Corrigé de l’exercice 3 (Liban 2007) : système et pavé droit

1. La deuxième équation permet d’isoler facilement \(y\) : \(y = 24 – 4x\). Ensuite, on remplace dans la première (méthode par substitution) :

\[2x + 3(24 – 4x) = 27\]

\[2x + 72 – 12x = 27 \quad \text{donc} \quad -10x = -45 \quad \text{donc} \quad x = 4{,}5\]

Puis \(y = 24 – 4 \times 4{,}5 = 24 – 18 = 6\).

Vérification : \(2 \times 4{,}5 + 3 \times 6 = 9 + 18 = 27\) et \(4 \times 4{,}5 + 6 = 18 + 6 = 24\). Puis le système a pour unique solution le couple \((x ; y) = (4{,}5 ; 6)\).

2. Notons \(x\) la largeur et \(y\) la longueur, en cm. « Le double de la largeur plus le triple de la longueur font 27 » s’écrit \(2x + 3y = 27\) ; « le quadruple de la largeur plus la longueur font 24 » s’écrit \(4x + y = 24\). C’est exactement le système de la question 1. De plus, le pavé droit a donc une largeur de 4,5 cm et une longueur de 6 cm.

3. Le volume d’un pavé droit vaut longueur × largeur × hauteur. Ensuite, en notant \(h\) la hauteur :

\[6 \times 4{,}5 \times h = 54 \quad \text{soit} \quad 27h = 54 \quad \text{donc} \quad h = 2\]

La hauteur du pavé droit est 2 cm.

À retenir : pour mettre un problème en équations, on choisit d’abord les inconnues et on traduit chaque phrase par une équation ; on vérifie toujours la solution dans les deux équations.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : repère et losange

1. On place A(3 ; 7), B(−1 ; 2) et C(7 ; 2) dans le repère (figure ci-dessous, qui montre aussi les points A′ et D des questions suivantes).

2. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\).

\[AB = \sqrt{(-1 – 3)^2 + (2 – 7)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]

\[AC = \sqrt{(7 – 3)^2 + (2 – 7)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]

On a AB = AC, donc le triangle ABC est isocèle en A (A est son sommet principal). Par ailleurs, pour info, BC = 8 cm, différent de \(\sqrt{41} \approx 6{,}4\) cm : le triangle n’est pas équilatéral.

3. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :

\[x_{A^{\prime}} = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \qquad y_{A^{\prime}} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2\]

Donc A′(3 ; 2).

4. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((-1 – 3 ; 2 – 7) = (-4 ; -5)\). Puis le point D s’obtient en appliquant à C la même translation : \(x_D = 7 – 4 = 3\) et \(y_D = 2 – 5 = -3\), donc D(3 ; −3).

L’égalité \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\) signifie que ABDC est un parallélogramme (attention à l’ordre des lettres : A, B, D, C). De plus, ses deux côtés consécutifs [AB] et [AC] ont la même longueur \(\sqrt{41}\) (question 2). Ensuite, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : ABDC est un losange.

5. Ensuite, on calcule les coordonnées du milieu de [AD] :

\[\left(\dfrac{3 + 3}{2} ; \dfrac{7 + (-3)}{2}\right) = (3 ; 2)\]

Ce sont les coordonnées de A′ : A′ est bien le milieu de [AD]. C’était prévisible : les diagonales [AD] et [BC] d’un parallélogramme ont le même milieu.

À retenir : dans un repère, distance et milieu se calculent avec des formules ; l’égalité \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\) donne le parallélogramme ABDC, et deux côtés consécutifs égaux en font un losange.

Corrigé de l’exercice 2 (Liban 2007) : triangle inscrit dans un cercle

1. Construction : trace un segment [BC] de 10 cm, place son milieu (centre du cercle) et trace le cercle de rayon 5 cm. Ensuite, avec le compas ouvert à 8 cm et la pointe en B, coupe le cercle : l’un des deux points d’intersection est A.

2. Le point A est sur le cercle de diamètre [BC]. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Le triangle ABC est donc rectangle en A.

3. Dans le triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore donne :

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \text{donc} \quad AC^2 = 10^2 – 8^2 = 100 – 64 = 36\]

Donc AC = 6 cm.

4. Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté adjacent à l’angle \(\widehat{ABC}\) est [AB] et l’hypoténuse est [BC] :

\[\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\]

La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{ABC} \approx 36{,}87°\), soit \(\widehat{ABC} \approx 37°\) au degré près. Puis on retrouve la même valeur avec la tangente : \(\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75\).

5. Comme O est sur [BC] avec BO = 2 cm, on a OC = 10 − 2 = 8 cm. Puis les droites (BC) et (AD) se coupent en O, et les droites (BD) et (AC) sont parallèles. Ensuite, on est dans la configuration de Thalès « en papillon » : les triangles OBD et OCA sont une réduction l’un de l’autre.

\[\dfrac{OB}{OC} = \dfrac{OD}{OA} = \dfrac{BD}{CA}\]

\[\dfrac{2}{8} = \dfrac{BD}{6} \quad \text{donc} \quad BD = \dfrac{2 \times 6}{8} = 1{,}5\]

La longueur cherchée est BD = 1,5 cm.

À retenir : un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle ; ensuite Pythagore donne le troisième côté, SOH-CAH-TOA donne les angles, et Thalès s’applique aussi quand les deux triangles sont de part et d’autre du point d’intersection.

Problème

Corrigé du problème : les forfaits SMS

1. 30 minutes font \(30 \times 60 = 1\,800\) secondes. Chaque SMS demande 15 secondes, donc le nombre maximal de messages est :

\[\dfrac{1\,800}{15} = 120\]

Un téléspectateur peut envoyer au maximum 120 SMS.

2. Pour 50 SMS : Pamplemousse coûte \(9 + 0{,}15 \times 50 = 9 + 7{,}5 = 16{,}5\) € ; Triangle Vert coûte \(0{,}30 \times 50 = 15\) € ; Brique Mobile coûte 21 € quel que soit le nombre de SMS.

Société	Pamplemousse	Triangle Vert	Brique Mobile
Coût, en euros, pour 50 SMS	16,50	15	21

3. Puis on traduit chaque tarif avec \(x\) SMS :

\(P(x) = 0{,}15x + 9\) (forfait fixe + prix par SMS : fonction affine) ;
\(T(x) = 0{,}30x\) (prix proportionnel au nombre de SMS : fonction linéaire) ;
\(B(x) = 21\) (prix fixe : fonction constante).

4. Alors on remarque que \(f = P\), \(g = T\) et \(h = B\). Chaque représentation graphique est une droite, deux points suffisent :

\(f\) : \(f(0) = 9\) et \(f(100) = 24\), donc la droite passe par (0 ; 9) et (100 ; 24) ;
\(g\) : droite passant par l’origine (fonction linéaire) et par (100 ; 30) ;
\(h\) : droite horizontale passant par (0 ; 21).

Avec les unités imposées (1 cm pour 10 SMS, 1 cm pour 3 €), le point (100 ; 24) se place à 10 cm à droite et 8 cm au-dessus de l’origine. Voici le graphique attendu, avec les tracés de la question 5 :

5. a. Brique Mobile devient intéressante quand sa droite (horizontale, à 21 €) passe en dessous des deux autres. La droite de \(g\) coupe \(h\) à l’abscisse 70, celle de \(f\) coupe \(h\) à l’abscisse 80. Au-delà de 80 SMS, la droite de \(h\) est la plus basse des trois. Vérification : \(0{,}15 \times 80 + 9 = 21\). La proposition Brique Mobile devient intéressante à partir de 80 SMS (à 80 SMS elle est au même prix que Pamplemousse, puis strictement moins chère au-delà).

Corrigé du problème : les forfaits SMS (suite)

b. Ensuite, on trace la droite horizontale d’ordonnée 15 et on lit les abscisses de ses points d’intersection avec les droites. Brique Mobile (21 €) dépasse le budget. La droite de \(f\) atteint 15 € pour 40 SMS, celle de \(g\) pour 50 SMS. Par le calcul : \(0{,}15x + 9 = 15\) donne \(x = 40\), et \(0{,}30x = 15\) donne \(x = 50\). Arthur doit choisir la société Triangle Vert, et il pourra envoyer 50 SMS.

6. DJ Carmen a obtenu 60 % des SMS :

\[724\,560 \times \dfrac{60}{100} = 434\,736\ \text{SMS}\]

Ces SMS ont été envoyés pendant les 30 minutes de vote, soit 1 800 secondes :

\[\dfrac{434\,736}{1\,800} \approx 241{,}52\]

Cela représente environ 242 SMS par seconde pour DJ Carmen.

À retenir : un tarif proportionnel donne une fonction linéaire (droite passant par l’origine), un forfait plus un prix unitaire donne une fonction affine, un prix fixe une fonction constante ; pour comparer les offres, on lit les points d’intersection des droites.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2007 : Liban.

Bien réviser avec le corrigé corrigé Liban 2007

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Pour les puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. En ce qui concerne les diviseurs communs, décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis garde les facteurs communs. Quant aux racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de notation scientifique, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Liban 2007, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Liban 2007

Faut-il lire le corrigé corrigé Liban 2007 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2007. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les puissances de 10, les diviseurs communs, les racines carrées et les systèmes d’équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Liban 2007

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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