Corrigé du brevet de maths 2007 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2007 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé septembre 2007
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé septembre 2007 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Statistiques et diagramme circulaire » (exercice 1 de la partie numérique). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « QCM sur le calcul littéral » (exercice 2 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « Vrai ou faux sur les nombres » (exercice 3 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Pyramide et réduction » (exercice 1 de géométrie). Ensuite, en outre, la correction reprend « Cercle, rotation et symétrie » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Tarifs de bibliothèque : calculs » (partie 1). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Tarifs de bibliothèque : graphique » (partie 2).
Ainsi, le corrigé corrigé septembre 2007 te fait revoir les fractions, la moyenne, les équations, les diviseurs communs et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé septembre 2007)
Corrigé de l’exercice 1 : l’enquête sur le travail du soir
1. D’abord, on traduit chaque phrase en effectif, sur un total de 24 élèves :
- la moitié travaille 30 minutes : \(24 \div 2 = 12\) élèves ;
- un quart travaille 45 minutes : \(24 \div 4 = 6\) élèves ;
- 2 élèves travaillent 15 minutes et 1 élève ne travaille pas ;
- les autres travaillent une heure : \(24 – (12 + 6 + 2 + 1) = 24 – 21 = 3\) élèves.
| Temps de travail | 0 min | 15 min | 30 min | 45 min | 60 min |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 1 | 2 | 12 | 6 | 3 |
Ensuite, on vérifie que le total fait bien \(1 + 2 + 12 + 6 + 3 = 24\).
2. On calcule une moyenne pondérée par les effectifs : on multiplie chaque durée par son effectif, on additionne, puis on divise par l’effectif total.
\[m = \dfrac{0 \times 1 + 15 \times 2 + 30 \times 12 + 45 \times 6 + 60 \times 3}{24} = \dfrac{0 + 30 + 360 + 270 + 180}{24} = \dfrac{840}{24} = 35\]
La durée moyenne de travail à la maison est de 35 minutes par soir.
3. Dans un diagramme circulaire, les 24 élèves occupent 360°, donc un élève correspond à \(360 \div 24 = 15^\circ\). Puis on multiplie chaque effectif par 15 :
| Temps de travail | 0 min | 15 min | 30 min | 45 min | 60 min | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 1 | 2 | 12 | 6 | 3 | 24 |
| Angle | 15° | 30° | 180° | 90° | 45° | 360° |
On trace un cercle, puis au rapporteur des secteurs de 15°, 30°, 180°, 90° et 45°, qu’on légende :
Corrigé de l’exercice 2 : QCM sur une expression
1. Tout d’abord, on développe le carré avec \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) : \((2x + 1)^2 – 1 = 4x^2 + 4x + 1 – 1 = 4x^2 + 4x\). De plus, la bonne réponse est \(4x^2 + 4x\).
2. On reconnaît une différence de deux carrés, car \(1 = 1^2\) :
\[(2x + 1)^2 – 1^2 = \big[(2x + 1) – 1\big]\big[(2x + 1) + 1\big] = 2x(2x + 2)\]
La bonne réponse est \(2x(2x + 2)\). Ensuite, tu peux contrôler avec la question 1 : \(2x(2x + 2) = 4x^2 + 4x\). Par ailleurs, les deux autres propositions sont fausses : \((2x + 1)(2x – 1) = 4x^2 – 1\) et \(2x(2x – 2) = 4x^2 – 4x\).
3. Première équation : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul, donc \(x – 6 = 0\) ou \(x + 1 = 0\) ; ses solutions sont 6 et −1.
Seconde équation : on teste les deux solutions précédentes. Puis pour \(x = 6\) : \(6^2 – 3 \times 6 = 36 – 18 = 18\), donc 6 est solution. Ensuite, pour \(x = -1\) : \((-1)^2 – 3 \times (-1) = 1 + 3 = 4 \neq 18\), donc −1 n’est pas solution. (En effet \(x^2 – 3x – 18 = (x – 6)(x + 3)\), ses solutions sont 6 et −3.)
Les deux équations ont une solution commune, le nombre 6.
Corrigé de l’exercice 3 (septembre 2007) : vrai ou faux sur les nombres
1. \(\dfrac{3}{25} = \dfrac{3 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{12}{100} = 0{,}12\). Puis ce nombre s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule (c’est une fraction décimale) : l’affirmation est vraie.
2. Deux nombres sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun est 1. Or 570 et 795 se terminent par 0 et par 5 : ils sont tous les deux divisibles par 5 (\(570 = 5 \times 114\) et \(795 = 5 \times 159\)). De plus, ils ont donc 5 comme diviseur commun : l’affirmation est fausse. (Leur PGCD vaut même 15.)
3. Un multiple de 5 s’écrit \(5a\), où \(a\) est un nombre entier. Prenons deux multiples de 5 quelconques, \(5a\) et \(5b\) : leur somme vaut \(5a + 5b = 5(a + b)\). Comme \(a + b\) est un entier, cette somme est un multiple de 5. Ensuite, L’affirmation est vraie.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : la pyramide SABC et sa réduction
1. Dans le triangle ABC, le plus long côté est [AC]. Puis on calcule séparément :
\[AC^2 = 10^2 = 100 \qquad AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\]
Alors on a \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. [SA] est la hauteur de la pyramide : la droite (SA) est perpendiculaire au plan de la base, donc à toute droite de ce plan passant par A, en particulier à (AB). Par ailleurs, le triangle SAB est donc rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :
\[BS^2 = SA^2 + AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\]
donc BS = 10 cm.
3. La base est le triangle ABC, rectangle en B, dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. Son aire est \(a = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24\ \text{cm}^2\). Puis la hauteur est \(h = SA = 8\) cm.
\[V = \dfrac{1}{3} \times 24 \times 8 = \dfrac{192}{3} = 64\]
Le volume de la pyramide SABC est 64 cm³.
4. I, J et K sont les milieux de [SA], [SB] et [SC] : la pyramide SIJK est une réduction de la pyramide SABC de rapport \(k = \dfrac{SI}{SA} = \dfrac{1}{2}\). Ensuite, dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[V_{SIJK} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \times 64 = \dfrac{64}{8} = 8\]
Le volume de la pyramide SIJK est 8 cm³. Puis on peut le vérifier directement : la base IJK est un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm (aire 6 cm²) et la hauteur SI vaut 4 cm, donc \(V = \dfrac{1}{3} \times 6 \times 4 = 8\) cm³.
Corrigé de l’exercice 2 (septembre 2007) : angle au centre, rotation et symétrie
1. Construction : trace un segment [BE] de 4 cm et place son milieu I (IB = IE = 2 cm). De plus, trace le cercle de centre I et de rayon 2 cm. Au rapporteur, trace depuis E une demi-droite faisant un angle de 60° avec [EB], vers le bas ; elle recoupe le cercle en A. Relie A et E. (Tu peux vérifier que EA = 2 cm, ce qu’on démontre à la question 2.)
2. Les points A et E sont sur le cercle de centre I, donc IA = IE (ce sont deux rayons) : le triangle AIE est isocèle en I. Ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{IAE} = \widehat{IEA} = 60^\circ\). Ensuite, le troisième angle vaut \(\widehat{AIE} = 180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ\) : le triangle AIE est même équilatéral.
Les points B, I, E sont alignés, donc \(\widehat{BIA}\) et \(\widehat{AIE}\) sont supplémentaires : \(\widehat{BIA} = 180^\circ – 60^\circ\), c’est-à-dire \(\widehat{BIA} = 120^\circ\).
3. IB = IA (deux rayons du cercle) et \(\widehat{BIA} = 120^\circ\). Par ailleurs, la rotation de centre I qui transforme B en A a donc un angle de 120°. Sur la figure du sujet (B à gauche, A en bas à droite), on passe de B à A en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
4. a. F est le symétrique de E par rapport à A, donc A est le milieu de [EF]. On prolonge le segment [EA] au-delà de A et on place F tel que AF = AE (ici 2 cm, puisque AIE est équilatéral).
Corrigé de l’exercice 2 (septembre 2007) : angle au centre, rotation (suite)
![Figure complétée : cercle de diamètre [BE] et de centre I, point A avec l'angle BEA de 60°, angle BIA de 120°, point F symétrique de E par rapport à A, et segment [BF] de 4 cm en rouge](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2007-france-septembre/gen-figure-avec-f.webp)
b. Le triangle BAE est inscrit dans le cercle de diamètre [BE] : il est donc rectangle en A, c’est-à-dire (BA) ⟂ (EF). Comme A est aussi le milieu de [EF], la droite (BA) est la médiatrice du segment [EF]. Le point B est sur cette médiatrice, donc il est à égale distance de E et de F : BF = BE, soit BF = 4 cm.
Autre façon de voir : le triangle BEF est isocèle en B avec un angle de 60° en E, il est donc équilatéral et BF = BE = EF = 4 cm.
Problème
Corrigé de la partie 1 : les trois formules par le calcul
1. Formule A : on multiplie le nombre de livres par 0,50 €. Formule B : on ajoute 7,50 € au nombre de livres multiplié par 0,20 €. De même, formule C : le prix est toujours 15,50 €, quel que soit le nombre de livres. Par exemple, pour 30 livres : \(30 \times 0{,}5 = 15\) € avec A et \(7{,}5 + 30 \times 0{,}2 = 7{,}5 + 6 = 13{,}5\) € avec B.
| Nombre de livres empruntés par an | 10 | 30 | 45 |
|---|---|---|---|
| Prix à payer avec la formule A en € | 5 | 15 | 22,50 |
| Prix à payer avec la formule B en € | 9,50 | 13,50 | 16,50 |
| Prix à payer avec la formule C en € | 15,50 | 15,50 | 15,50 |
2. Pour \(x\) livres : \(P_A = 0{,}5x\) et \(P_B = 7{,}5 + 0{,}2x\) (et \(P_C = 15{,}5\)).
3. Ensuite, on regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :
\[0{,}5x – 0{,}2x = 7{,}5\]
\[0{,}3x = 7{,}5\]
\[x = \dfrac{7{,}5}{0{,}3} = 25\]
La solution est \(x = 25\). Interprétation : l’équation traduit \(P_A = P_B\). Pour 25 livres empruntés dans l’année, les formules A et B coûtent le même prix, à savoir \(0{,}5 \times 25 = 12{,}50\) €.
Corrigé de la partie 2 : lecture graphique
1. a. Pour commencer, on trace l’axe des abscisses (nombre de livres) avec 1 cm pour 5 livres, et l’axe des ordonnées (prix en €) avec 1 cm pour 1 €. Il faut aller jusqu’à environ 50 livres (10 cm) et 26 € (26 cm), ce qui tient sur une feuille A4 de papier millimétré tenue verticalement.
b. Pour chaque droite, deux points suffisent :
- \(D_A\) représente une fonction linéaire : elle passe par l’origine et par le point (30 ; 15) ;
- \(D_B\) représente une fonction affine : elle passe par (0 ; 7,5) et par (30 ; 13,5) ;
- \(D_C\) représente une fonction constante : c’est la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par (0 ; 15,5).
2. a. Puis on trace la verticale d’abscisse 20. La droite la plus basse à cet endroit est \(D_A\) : on lit 10 € pour A, 11,50 € pour B et 15,50 € pour C. Pour 20 livres, la formule A est la plus intéressante.
b. La formule C est la plus intéressante quand la droite \(D_C\) est au-dessous des deux autres. Elle passe sous \(D_A\) après 31 livres, mais elle ne passe sous \(D_B\) qu’après le point d’intersection de \(D_B\) et \(D_C\), d’abscisse 40. Par le calcul : \(0{,}2x + 7{,}5 = 15{,}5\) donne \(0{,}2x = 8\) et \(x = 40\).
Corrigé de la partie 2 : lecture graphique (suite)
Pour 40 livres, les formules B et C coûtent toutes les deux 15,50 €. La formule C devient donc la plus intéressante au-delà de 40 livres, c’est-à-dire à partir de 41 livres empruntés par an.
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2007 : France, septembre.
Méthode pour exploiter le corrigé corrigé septembre 2007
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne la moyenne, pense aux coefficients lorsqu’ils existent, car une moyenne pondérée diffère de la moyenne simple. Quant aux équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé septembre 2007, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé septembre 2007
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2007 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2007. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, la moyenne, les équations et les diviseurs communs. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé septembre 2007
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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