Sujet du brevet de maths 2005 : Centres étrangers (groupe II)

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Voici le sujet du brevet 2005 des centres étrangers (groupe II), posé en juin 2005 aux Émirats arabes unis. Les activités numériques partent de la diagonale d’un carré dont le côté vaut \(\sqrt{8}+\sqrt{2}\), passent par la masse d’un paquet d’atomes de carbone en écriture scientifique et se terminent par un QCM sur le calcul littéral, une inéquation et un système. En géométrie, tu construis des parallélogrammes avec des vecteurs sur un quadrillage, tu testes un triangle avec Pythagore et deux droites avec Thalès, puis tu compares deux angles pour obtenir une longueur par la tangente. Le problème suit Monsieur Brico, qui pave une allée avec des dalles en forme de prisme droit : aires, volume, pourcentage de pertes, lots de dalles et transformations du pavage. Réponds sur ta feuille avant d’ouvrir le corrigé.

Diplôme national du brevet · Session 2005

Centres étrangers (groupe II), Émirats arabes unis · Juin 2005

Épreuve de mathématiques · Durée : 2 heures

Calculatrice autorisée.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)

Activités numériques 12 points

Exercice 1

Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètre. Répondre aux questions en détaillant les calculs.
La relation entre la longueur \(c\) du côté d’un carré et la longueur \(d\) de sa diagonale est donnée par la formule : \(d=c\sqrt{2}\).

1. La longueur du côté d’un carré est \(\sqrt{8}+\sqrt{2}\).

a. Montrer que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.

b. Montrer que l’aire en cm2 de ce carré est un nombre entier.

2. La longueur de la diagonale d’un autre carré est \(\sqrt{40}\).
Calculer la longueur de son côté et exprimer cette longueur sous la forme \(a\sqrt{5}\), où \(a\) est un nombre entier naturel.

Exercice 2

La masse d’un atome de carbone est égale à \(1{,}99\times 10^{-26}\). Les chimistes considèrent des paquets contenant \(6{,}022\times 10^{23}\) atomes.

1. Calculer la masse en gramme d’un tel paquet d’atomes de carbone.

2. Donner une valeur arrondie de cette masse à un gramme près.

Exercice 3

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Répondre â cet exercice en utilisant le tableau figurant sur la feuille annexe : pour chaque ligne, indiquer la lettre correspondant à la réponse cholsie.
Aucune justification n’est demandée.
Le barème de cet exercice est le suivant : pour chaque ligne, 1 point pour une réponse correcte, −0,5 point pour une réponse fausse, 0 point s’il n’y a pas de réponse.
Si le total des points pour l’exercice est négatif, l’exercice est noté 0 point.

Réponse A Réponse B Réponse C
N° 1 \((3x-2)^2\) est égale à \(9x^2-4\) \(9x^2-6x+4\) \(9x^2-12x+4\)
N° 2 Une expression factorisée de \((5x-1)^2-9\) est \((5x+2)(5x-4)\) \((5x-10)^2\) \((5x-10)(5x+8)\)
N° 3 Les solutions de l’équation \(-2x(3x+4)=0\) sont 2 et \(-\dfrac{4}{3}\) \(-\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{4}{3}\) 0 et \(-\dfrac{4}{3}\)
N° 4 La partie en gras non hachurée représente les solutions de l’inéquation \(5x-10\geqslant 2x+5\) Droite graduée avec 0 et 5 : partie hachurée à gauche de 5, crochet tourné vers la droite en 5 Droite graduée avec 0 et 5 : partie hachurée à droite de 5, crochet tourné vers la gauche en 5 Droite graduée avec -5 et 0 : partie hachurée à gauche de -5, crochet tourné vers la droite en -5
N° 5 Le système \(\left\{\begin{array}{l} 2x-y=2 \\ x+y=5 \end{array}\right.\) a pour solution (1 ; −4) (−1 ; −4) (−1 ; 4)

Annexe (à rendre avec la copie) : Dans la colonne de droite, indiquer pour chaque ligne la réponse choisie : A, B ou C.

Réponse choisie
N° 1
N° 2
N° 3
N° 4
N° 5

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

Pour cet exercice, compléter la figure donnée sur la feuille annexe.
On a placé trois points A, B et C.

1. Construire le point E tel que ABEC est un parallélogramme.

2. a. Construire le point F tel que \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\).

b. Quelle est la nature du quadrilatère ABCF ? On ne demande pas de justification.

3. Démontrer que \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{CE}\). Que peut-on en déduire pour le point C ?

Annexe (à rendre avec la copie) : figure de l’exercice 1.

Quadrillage de 20 carreaux sur 12 sur lequel sont placés trois points : A, puis B situé 4 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de A, et C situé 3 carreaux à droite et 3 carreaux au-dessous de B

Exercice 2

La figure n’est pas faite en vraie grandeur.
Elle n’est pas à reproduire.
ABC est un triangle tel que :
AB = 8 cm, AC = 6,4 cm et BC = 4,9 cm.
Le point E appartient à la demi-droite [AB) et AE = 12 cm.
Le point F appartient à la demi-droite [AC) et AF = 9,6 cm.

Triangle ABC avec E sur la demi-droite [AB) au-delà de B et F sur la demi-droite [AC) au-delà de C, et les droites (BC) et (EF)

1. Le triangle ABC est-ii un triangle rectangle
Justifier la réponse.

2. Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

Exercice 3

La figure n’est pas faite en vraie grandeur. Elle n’est pas à reproduire.
ABC est un triangle rectangle en R. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B.
On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4 cm.

Triangle ABC rectangle en A, avec H pied de la hauteur issue de A sur la droite (BC), angle droit marqué en H

1. a. Justifier l’égalité : \(\widehat{ACH}=90^\circ-\widehat{HAC}\).

b. Justifier l’égalité : \(\widehat{BAH}=90^\circ-\widehat{HAC}\).

c. Que peut-on en déduire pour les angles \(\widehat{ACH}\) et \(\widehat{BAH}\) ?

2. a. Montrer que \(\tan\widehat{ACH}=\dfrac{3}{4}\).

b. En utilisant le triangle BAH, exprimer \(\tan\widehat{BAH}\) en fonction de BH.

3. Déduire des questions 1. et 2. que BH = 3,6 cm.

4. Calculer la mesure en degré arrondie au degré de l’angle \(\widehat{ACH}\).

Problème 12 points

Partie 1

La figure construite ci-contre n’est pas en vraie grandeur. Elle n’est pas à reproduire.
RAB est un triangle rectangle en A tel que AE = 48 cm et AB = 16 cm.
Le point D appartient su segment [AE] et AD = 12 cm.
La parallèle a la droite (AB) passant par D est sécante à la droite (BE) au point C.

Triangle EAB rectangle en A, avec D sur [AE] et C sur [BE] tels que (DC) soit parallèle à (AB)

1. a. Calculer la longueur du segment [BE].

b. Écrire cette longueur sous la forme \(a\sqrt{10}\), où \(a\) est un nombre entier naturel.

2. Calculer ED puis monter que DC = 12 cm.

3. Calculer les aires des triangles EDC et EAB,

4. En déduire que l’aire du quadrilatère ABCD est égale à 168 cm2.

5. Le quadrilatère ABCD est la hase d’un prisme droit de hauteur CH égale â 5 cm. Ce prisme est représenté ci-contre.
Calculer son volume.

Prisme droit de base le trapèze ABCD, avec l'arête [CH] de hauteur

Partie 2

Monsieur Brico veut paver une allée de jardin avec des dalles ayant la forme du prisme défini dans la question 5. de la partie 1.

1. Calculer le nombre minimum de dalles nécessaires pour recouvrir l’allée dont l’aire est 10 m2.

2. Monsieur Brico prévoit 15 % de dalles de plus que ce nombre minimum pour tenir compte des pertes dues aux découpes. Combien prévoit-il de dalles ?

3. Les dalles sont vendues par lot de 60. Combien de lots monsieur Brico a-t-il achetés ?

Partie 3

Dans cette partie, aucune justification n’est demandée.

La figure ci-contre montre une vue de dessus du début du pavage.
Les dalles sont posées sur la face ABCD.
Recopier et compléter les phrases ci-dessous en utilisant une des trois transformations suivantes : symétrie axiale d’axe ……, translation de vecteur …… ou symétrie centrale de centre …, et en précisant l’axe, le vecteur et le centre.

Vue de dessus du pavage : rectangle quadrillé par des lignes brisées, avec dix dalles numérotées de 1 à 10 et les points A à T placés aux sommets

1. Le quadrilatère ❼ est l’image du quadrilatère ❿ par la ……

2. Le quadrilatère ❾ est l’image du quadrilatère ❶ par la ……

3. Le quadrilatère ❹ est l’image du quadrilatère ❶ par la ……

Voir le corrigé détaillé du sujet du brevet de maths 2005, Centres étrangers (groupe II)

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