Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Nancy-Metz
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Nancy-Metz. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Nancy 2000
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nancy 2000 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fraction irréductible » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Fractions et puissances de 10 » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Cahiers et stylos » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Développer et factoriser » (exercice 4). En outre, la correction reprend « Pythagore et Thalès » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Cercle et sinus » (exercice 2 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Liquide dans un cône » (partie 1). Enfin, le corrigé explique « Liquide dans un cylindre » (partie 2).
Ainsi, le corrigé corrigé Nancy 2000 te fait revoir les diviseurs communs, les fractions, les puissances de 10, les systèmes d’équations et le calcul littéral, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Corrigé de la partie numérique (Nancy 2000)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction irréductible
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Ensuite, on le cherche avec l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :
\[ 924 = 1 \times 630 + 294 \]
\[ 630 = 2 \times 294 + 42 \]
\[ 294 = 7 \times 42 + 0 \]
Le dernier reste non nul est 42, donc PGCD(630 ; 924) = 42. Puis on en déduit :
\[ \dfrac{630}{924} = \dfrac{42 \times 15}{42 \times 22} = \dfrac{15}{22} \]
La fraction irréductible est \(\dfrac{15}{22}\). Tu peux vérifier avec les décompositions : \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) et \(924 = 2^2 \times 3 \times 7 \times 11\) ont pour facteurs communs \(2 \times 3 \times 7 = 42\).
Corrigé de l’exercice 2 : fractions et puissances de 10
Calcul de A. La multiplication passe avant l’addition. Alors on simplifie avant de multiplier : \(15 = 5 \times 3\).
\[ \dfrac{5}{4} \times \dfrac{7}{15} = \dfrac{5 \times 7}{4 \times 5 \times 3} = \dfrac{7}{12} \]
\[ A = \dfrac{3}{4} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3} \]
Donc \(A = \dfrac{4}{3}\).
Calcul de B. On calcule d’abord le numérateur avec le dénominateur commun 12, puis on divise par \(\dfrac{5}{8}\), ce qui revient à multiplier par \(\dfrac{8}{5}\).
\[ \dfrac{5}{6} – \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} – \dfrac{15}{12} = -\dfrac{5}{12} \]
\[ B = -\dfrac{5}{12} \times \dfrac{8}{5} = -\dfrac{8}{12} = -\dfrac{2}{3} \]
Donc \(B = -\dfrac{2}{3}\).
Calcul de C. Ensuite, on sépare les nombres ordinaires et les puissances de 10, en utilisant \(\left(10^2\right)^5 = 10^{10}\) et \(10^{15} \times 10^{-6} = 10^{9}\).
\[ C = \dfrac{8 \times 15}{20} \times \dfrac{10^{9}}{10^{10}} = \dfrac{120}{20} \times 10^{-1} = 6 \times 10^{-1} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \]
Donc \(C = \dfrac{3}{5}\) (soit 0,6).
Corrigé de l’exercice 3 (Nancy 2000) : cahiers et stylos
D’abord, on appelle \(c\) le prix d’un cahier et \(s\) le prix d’un stylo, en francs. L’énoncé se traduit par le système :
\[ \left\{ \begin{array}{l} 3c + s = 57 \\ 5c + 3s = 107 \end{array} \right. \]
La première équation donne \(s = 57 – 3c\). On remplace dans la seconde :
\[ 5c + 3(57 – 3c) = 107 \]
\[ 5c + 171 – 9c = 107 \]
\[ -4c = -64 \quad \text{donc} \quad c = 16 \]
Puis \(s = 57 – 3 \times 16 = 57 – 48 = 9\).
Vérification : \(3 \times 16 + 9 = 57\) et \(5 \times 16 + 3 \times 9 = 80 + 27 = 107\). Un cahier coûte 16 F et un stylo coûte 9 F.
Corrigé de l’exercice 4 : développer, factoriser, résoudre
1. On développe le carré avec \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), puis le produit par double distributivité :
\[ (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 \]
\[ (x-7)(2x+3) = 2x^2 + 3x – 14x – 21 = 2x^2 – 11x – 21 \]
\[ E = 4x^2 + 12x + 9 + 2x^2 – 11x – 21 \]
Donc \(E = 6x^2 + x – 12\).
2. Le facteur commun est \((2x+3)\) :
\[ E = (2x+3)\big[(2x+3) + (x-7)\big] = (2x+3)(3x – 4) \]
Donc \(E = (2x+3)(3x-4)\). Contrôle : \((2x+3)(3x-4) = 6x^2 – 8x + 9x – 12 = 6x^2 + x – 12\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\(2x + 3 = 0\) donne \(x = -\dfrac{3}{2}\) ; \(3x – 4 = 0\) donne \(x = \dfrac{4}{3}\).
L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{4}{3}\).
4. La forme factorisée est la plus rapide : pour \(x = 2\),
\[ E = (2 \times 2 + 3)(3 \times 2 – 4) = 7 \times 2 = 14 \]
Puis on retrouve le même résultat avec la forme développée : \(6 \times 4 + 2 – 12 = 14\). Donc \(E = 14\) pour \(x = 2\).
Corrigé de la partie géométrique
Corrigé de l’exercice 1 : Pythagore et Thalès dans un papillon
1. Dans le triangle AMP, le plus grand côté est [AM], avec AM = 6. Ensuite, on compare :
\[ \text{AM}^2 = 6^2 = 36 \qquad \text{MP}^2 + \text{AP}^2 = 4{,}8^2 + 3{,}6^2 = 23{,}04 + 12{,}96 = 36 \]
Comme \(\text{AM}^2 = \text{MP}^2 + \text{AP}^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en P.
2. Les points A, M, E sont alignés, ainsi que A, P, F, et (MP) // (EF). D’après le théorème de Thalès dans les triangles AMP et AEF :
\[ \dfrac{\text{AM}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AP}}{\text{AF}} = \dfrac{\text{MP}}{\text{EF}} \]
\[ \dfrac{6}{\text{AE}} = \dfrac{4{,}8}{6} \quad \text{donc} \quad \text{AE} = \dfrac{6 \times 6}{4{,}8} = 7{,}5 \]
Donc AE = 7,5 cm. Comme M est entre E et A : \(\text{ME} = \text{AE} – \text{AM} = 7{,}5 – 6\), soit ME = 1,5 cm.
3. Les points M, A, B d’une part et P, A, C d’autre part sont alignés dans le même ordre (A est entre M et B, et entre P et C). Puis on compare les rapports :
\[ \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{6}{7{,}5} = 0{,}8 \qquad \dfrac{\text{AP}}{\text{AC}} = \dfrac{3{,}6}{4{,}5} = 0{,}8 \]
Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MP) et (BC) sont parallèles.
4. Les droites parallèles (MP) et (BC) sont coupées par la sécante (MB). De même, les angles \(\widehat{\text{AMP}}\) et \(\widehat{\text{CBA}}\) sont situés de part et d’autre de la sécante et entre les deux parallèles : ce sont des angles alternes-internes. Or deux angles alternes-internes formés par deux droites parallèles sont égaux. Donc \(\widehat{\text{CBA}} = \widehat{\text{AMP}}\).
Corrigé de l’exercice 2 (Nancy 2000) : triangle inscrit et sinus
1. Construction pas à pas :
- trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm ;
- place B sur le cercle, puis, avec le compas ouvert à 4 cm et la pointe en B, coupe le cercle : c’est le point C ;
- avec le rapporteur, trace en C une demi-droite qui fait un angle de 65° avec [CB] : elle recoupe le cercle en A ;
- trace la droite (BO) : elle recoupe le cercle en F, diamétralement opposé à B.
https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2000-france-nancy-metz/gen-cercle-bfc.webp
2. Le triangle BFC est inscrit dans le cercle et son côté [BF] est un diamètre de ce cercle. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre, il est rectangle, l’angle droit étant opposé au diamètre. Donc le triangle BFC est rectangle en C.
3. Dans le triangle BFC rectangle en C, l’hypoténuse est [BF], avec BF = 2 × 3 = 6 cm, et le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{BFC}}\) est [BC].
\[ \sin \widehat{\text{BFC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{BF}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \]
Avec la calculatrice (touche \(\sin^{-1}\) ou Arcsin), \(\widehat{\text{BFC}} \approx 41{,}8°\), donc \(\sin \widehat{\text{BFC}} = \dfrac{2}{3}\) et \(\widehat{\text{BFC}} \approx 42°\) au degré près.
4. Dans le triangle BFC, la somme des angles vaut 180° : \(\widehat{\text{FBC}} = 180° – 90° – 41{,}8° \approx 48{,}2°\). Comme O est sur [BF], \(\widehat{\text{OBC}} = \widehat{\text{FBC}} \approx 48{,}2°\).
Le triangle BOC est isocèle en O, car OB = OC = 3 cm (deux rayons). Ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{\text{OCB}} = \widehat{\text{OBC}} \approx 48{,}2°\). Enfin :
\[ \widehat{\text{BOC}} = 180° – 2 \times 48{,}2° \approx 83{,}6° \]
Alors on retrouve ce résultat avec l’angle au centre, qui mesure le double de l’angle inscrit \(\widehat{\text{BFC}}\) interceptant le même arc : \(2 \times 41{,}8° \approx 83{,}6°\). Au degré près : \(\widehat{\text{OBC}} \approx 48°\), \(\widehat{\text{OCB}} \approx 48°\) et \(\widehat{\text{BOC}} \approx 84°\) (la somme fait bien 180°).
Corrigé du problème
Corrigé de la partie 1 : le liquide dans le cône
1. Le diamètre de base est 6 cm, donc le rayon AB vaut 3 cm. Le volume d’un cône est le tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur :
\[ V_{\text{cône}} = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 9}{3} = \dfrac{81\pi}{3} = 27\pi \]
De même, le volume du cône est bien \(27\pi\) cm³ (environ 84,8 cm³).
2. a. Les points S, H, A sont alignés, ainsi que S, C, B, et la surface du liquide est parallèle à la base, donc (HC) // (AB). D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAB :
\[ \dfrac{\text{SH}}{\text{SA}} = \dfrac{\text{HC}}{\text{AB}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{4{,}5}{9} = \dfrac{\text{HC}}{3} \]
\[ \text{HC} = \dfrac{4{,}5 \times 3}{9} = 1{,}5 \]
Le rayon du disque est HC = 1,5 cm.
b. Le liquide forme un petit cône de sommet S, de hauteur 4,5 cm et de rayon 1,5 cm :
\[ V = \dfrac{\pi \times 1{,}5^2 \times 4{,}5}{3} = \dfrac{\pi \times 2{,}25 \times 4{,}5}{3} = 3{,}375\pi \]
De même, le volume de liquide est \(3{,}375\pi\) cm³, soit \(\dfrac{27\pi}{8}\) cm³. Remarque : la hauteur a été divisée par 2, donc le volume est divisé par \(2^3 = 8\).
c. Même raisonnement avec SH = \(x\) :
\[ \dfrac{x}{9} = \dfrac{\text{HC}}{3} \quad \text{donc} \quad \text{HC} = \dfrac{3x}{9} = \dfrac{x}{3} \]
Le volume du petit cône de hauteur \(x\) et de rayon \(\dfrac{x}{3}\) vaut alors :
\[ V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times \left(\dfrac{x}{3}\right)^2 \times x = \dfrac{1}{3} \times \pi \times \dfrac{x^2}{9} \times x = \dfrac{\pi \times x^3}{27} \]
Ensuite, on obtient bien \(V = \dfrac{\pi \times x^3}{27}\) cm³.
d. Pour HS = 3 cm : \(V = \dfrac{\pi \times 3^3}{27} = \dfrac{27\pi}{27}\), soit \(\pi\) cm³ (environ 3,14 cm³).
Pour HS = 6 cm : \(V = \dfrac{\pi \times 6^3}{27} = \dfrac{216\pi}{27}\), soit \(8\pi\) cm³ (environ 25,1 cm³).
Corrigé de la partie 2 : transvaser dans un cylindre
1. Le cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 9 cm :
\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 3^2 \times 9 = 81\pi \]
Le volume total du cylindre est \(81\pi\) cm³ (environ 254,5 cm³). L’énoncé a oublié le \(\pi\) et l’exposant de l’unité.
2. \(\dfrac{81\pi}{27\pi} = 3\) : il faut vider 3 cônes remplis à ras bord pour remplir le cylindre. C’est la propriété générale : un cône a un volume égal au tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur.
3. a. Le liquide occupe un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur \(y\) :
\[ V = \pi \times 3^2 \times y = 9\pi y \]
Le volume de liquide est bien \(9\pi y\) cm³.
b. De même, le liquide transvasé garde le même volume, donc :
\[ 9\pi y = \dfrac{\pi x^3}{27} \]
On divise les deux membres par \(\pi\), puis on multiplie par 27 :
\[ 27 \times 9y = x^3 \quad \text{soit} \quad x^3 = 243y \]
On retrouve bien \(x^3 = 243y\), c’est-à-dire \(y = \dfrac{x^3}{243}\).
c. Puis on calcule \(y = \dfrac{x^3}{243}\) pour chaque valeur de \(x\). « Trois décimales exactes » signifie qu’on écrit les trois premières décimales sans arrondir (on tronque) :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^3\) | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 |
| \(y\) | 0 | 0,004 | 0,032 | 0,111 | 0,263 | 0,514 | 0,888 | 1,411 |
Si l’on arrondit au millième au lieu de tronquer, on obtient 0,033 pour \(x = 2\), 0,889 pour \(x = 6\) et 1,412 pour \(x = 7\) ; les autres valeurs sont identiques.
d. Avec 1 cm pour une unité en abscisse et 10 cm pour une unité en ordonnée, le point (7 ; 1,411) est à 7 cm à droite et à environ 14,1 cm au-dessus de l’origine. On place les huit points ; ils ne sont pas alignés, car \(y\) n’est pas proportionnel à \(x\) mais à \(x^3\) : ils dessinent une courbe qui monte de plus en plus vite.
https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2000-france-nancy-metz/gen-points-x-y.webp
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nancy 2000
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Pour les diviseurs communs, décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis garde les facteurs communs. En ce qui concerne les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Quant aux puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de plus grand commun diviseur, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Nancy 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Nancy 2000
Faut-il lire le corrigé corrigé Nancy 2000 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les diviseurs communs, les fractions, les puissances de 10 et les systèmes d’équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nancy 2000
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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