Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Limoges

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Limoges. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Limoges 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Limoges 2000 est découpé en 6 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « PGCD et fraction irréductible » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Fractions, puissances, racines » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Factorisation et équation produit » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Cercle, tangente, trigonométrie » (exercice 1 de géométrie). En outre, la correction reprend « Système et Thalès » (exercice 2 de géométrie).

Enfin, tu lis la démarche complète pour « Fonctions affines et aires » (problème).

Ainsi, le corrigé corrigé Limoges 2000 te fait revoir les diviseurs communs, les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et la trigonométrie, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Limoges 2000) : PGCD et fraction irréductible

1. On applique l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.

Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(114 400 ; 60 775) = 3 575.

2. Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD. Après cette division, les deux nombres obtenus n’ont plus d’autre diviseur commun que 1, donc la fraction ne peut plus être simplifiée.

3. \(60\,775\div 3\,575=17\) et \(114\,400\div 3\,575=32\), donc

\[\dfrac{60\,775}{114\,400}=\dfrac{17\times 3\,575}{32\times 3\,575}=\dfrac{17}{32}\]

L’écriture simplifiée est \(\dfrac{17}{32}\). Contrôle : 17 est premier et ne divise pas 32, la fraction est bien irréductible.

Corrigé de l’exercice 2 : fractions, puissances de 10 et racines

1. On calcule d’abord la parenthèse : \(3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}\). La multiplication passe ensuite avant la soustraction : \(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{6}\).

\[A=\dfrac{4}{3}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{8}{6}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{1}{6}\]

Donc \(A=\dfrac{1}{6}\).

2. On regroupe d’un côté les nombres, de l’autre les puissances de 10 :

\[B=\dfrac{6\times 15}{8}\times\dfrac{10^{-2}\times 10^{7}}{10^{2}}=\dfrac{90}{8}\times\dfrac{10^{5}}{10^{2}}=11{,}25\times 10^{3}\]

Ensuite, on a utilisé \(10^{a}\times 10^{b}=10^{a+b}\) et \(\dfrac{10^{a}}{10^{b}}=10^{a-b}\). Donc \(B=11\,250\), soit \(1{,}125\times 10^{4}\) en écriture scientifique.

3. Puis on développe chaque morceau.

\[3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)=3\sqrt{2}\times\sqrt{3}+3\sqrt{2}=3\sqrt{6}+3\sqrt{2}\]

\[\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-2\right)=\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+2=2-3\sqrt{2}+2=4-3\sqrt{2}\]

En additionnant, les termes en \(\sqrt{2}\) s’éliminent :

\[C=3\sqrt{6}+3\sqrt{2}+4-3\sqrt{2}=4+3\sqrt{6}\]

Donc \(C=4+3\sqrt{6}\), avec \(a=4\) et \(b=3\).

Corrigé de l’exercice 3 (Limoges 2000) : factoriser avec \(a^2-b^2\)

1. a. D’abord, on écrit \(9x^2=(3x)^2\) et \(1=1^2\) : \(D\) est une différence de deux carrés. Alors on utilise l’identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

b. Avec \(a=3x\) et \(b=1\) : \(D=(3x-1)(3x+1)\).

2. a. \((3x+1)^2=9x^2+6x+1\), donc

\[E=9x^2+6x+1+9x^2-1=18x^2+6x\]

Donc \(E=18x^2+6x\).

b. Grâce à la question 1, \(9x^2-1=(3x-1)(3x+1)\), donc \(E=(3x+1)^2+(3x-1)(3x+1)\). Le facteur commun est \(3x+1\) :

\[E=(3x+1)\big[(3x+1)+(3x-1)\big]=(3x+1)\times 6x\]

Donc \(E=6x(3x+1)\). Tu peux aussi partir de \(18x^2+6x\) et mettre \(6x\) en facteur : \(6x\times 3x+6x\times 1=6x(3x+1)\).

c. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

\(6x=0\) donne \(x=0\) ; \(3x+1=0\) donne \(3x=-1\), soit \(x=-\dfrac{1}{3}\).

L’équation a deux solutions : \(0\) et \(-\dfrac{1}{3}\).

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : cercle, tangente et angle de 30°

1., 2. et 3. Construction. Trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm, puis place un point F sur le cercle. Garde le même écartement de compas (3 cm) et pique en F : l’arc coupe le cercle en E. Alors OE = OF = EF = 3 cm, donc OEF est équilatéral. Pour la tangente en E, trace la perpendiculaire à la droite (OE) passant par E (équerre) ; elle coupe la demi-droite [OF) en A.

4. La droite (EA) est tangente au cercle en E. Or la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon qui aboutit en ce point. Donc (EA) est perpendiculaire à (OE) : le triangle OEA est rectangle en E.

5. Le triangle OEF est équilatéral, donc ses trois angles mesurent 60°.

• Dans le triangle OEA rectangle en E, \(\widehat{\text{EOA}}=60^\circ\), donc \(\widehat{\text{EAO}}=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Comme F est sur [OA], \(\widehat{\text{EAF}}=30^\circ\).

• \(\widehat{\text{OEA}}=90^\circ\) et \(\widehat{\text{OEF}}=60^\circ\), donc \(\widehat{\text{AEF}}=90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

• Les points O, F, A sont alignés, donc \(\widehat{\text{OFE}}\) et \(\widehat{\text{EFA}}\) sont supplémentaires : \(\widehat{\text{EFA}}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Contrôle : \(30+30+120=180\).

6. Le triangle AEF a deux angles de 30° (en A et en E) : il est isocèle en F, donc FA = FE. Or FE = FO = 3 cm, puisque OEF est équilatéral. Ainsi FA = FO et F est sur le segment [OA] : F est le milieu de [OA], et OA = 6 cm.

Corrigé de l’exercice 1 : cercle, tangente et angle de 30° (suite)

7. Dans le triangle OEA rectangle en E, l’hypoténuse est [OA] avec OA = 6 cm, et le côté opposé à \(\widehat{\text{A}}\) est [OE] avec OE = 3 cm :

\[\sin\widehat{\text{A}}=\dfrac{\text{OE}}{\text{OA}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\]

Pour le cosinus, il faut le côté adjacent AE. Par le théorème de Pythagore, \(\text{AE}^2=\text{OA}^2-\text{OE}^2=36-9=27\), donc \(\text{AE}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) cm.

\[\cos\widehat{\text{A}}=\dfrac{\text{AE}}{\text{OA}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Donc \(\sin\widehat{\text{A}}=\dfrac{1}{2}\) et \(\cos\widehat{\text{A}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ce sont bien les valeurs du sinus et du cosinus de 30° (contrôle à la calculatrice : \(\sqrt{3}\div 2\approx 0{,}866\)).

Corrigé de l’exercice 2 (Limoges 2000) : système et théorème de Thalès

1. La première équation donne \(x=3y\). On remplace \(x\) par \(3y\) dans la seconde :

\[3y-y=4{,}5\quad\text{soit}\quad 2y=4{,}5\quad\text{donc}\quad y=2{,}25\]

Puis \(x=3\times 2{,}25=6{,}75\). La solution du système est le couple \((x\ ;\ y)=(6{,}75\ ;\ 2{,}25)\).

Vérification : \(6{,}75-3\times 2{,}25=0\) et \(6{,}75-2{,}25=4{,}5\).

2. a. Les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{2}{6}=\dfrac{\text{MN}}{9}\]

\[\text{MN}=\dfrac{2\times 9}{6}=3\]

Donc MN = 3 cm.

b. Avec les mêmes égalités, \(\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{2}{6}\), donc \(\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{1}{3}\).

3. a. N est sur le segment [AC], donc AC = AN + NC, c’est-à-dire \(x=y+4{,}5\) : on obtient \(x-y=4{,}5\).

D’après la question 2. b, \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{3}\), donc \(3y=x\) (produit en croix) : on obtient \(x-3y=0\).

b. Le couple \((x\ ;\ y)\) vérifie exactement le système de la question 1, donc \(x=6{,}75\) et \(y=2{,}25\) : AN = 2,25 cm et AC = 6,75 cm.

Contrôle : \(6{,}75-2{,}25=4{,}5\) cm, c’est bien NC, et \(2{,}25\div 6{,}75=\dfrac{1}{3}\).

Problème

Corrigé du problème : deux droites pour partager un rectangle

1. a. Tout d’abord, on remplace \(x\) par la valeur demandée.

\(f(0)=\dfrac{3}{2}\times 0+\dfrac{9}{2}=4{,}5\) ; \(g(0)=-3\times 0+9=9\) ; \(f(2)=3+4{,}5=7{,}5\) ; \(g(2)=-6+9=3\).

Donc \(f(0)=4{,}5\), \(g(0)=9\), \(f(2)=7{,}5\) et \(g(2)=3\).

b. On cherche \(x\) tel que \(g(x)=5\) :

\[-3x+9=5\quad\text{soit}\quad -3x=-4\quad\text{donc}\quad x=\dfrac{4}{3}\]

Le nombre cherché (l’antécédent de 5 par \(g\)) est \(\dfrac{4}{3}\).

c. Une fonction affine est représentée par une droite ; les points calculés en a. suffisent. \((d_1)\) passe par (0 ; 4,5) et (2 ; 7,5) ; \((d_2)\) passe par (0 ; 9) et (2 ; 3).

2. a. Pour \(x=2\) : DE = GC = 2 cm, donc EG = 6 − 2 − 2 = 2 cm.

• Le triangle EFG a pour base EG = 2 cm et pour hauteur la distance de F à (DC), c’est-à-dire AD = 3 cm : \(\mathcal{A}_{\text{EFG}}=\dfrac{2\times 3}{2}=3\) cm².

Après cela, • AFED est un trapèze rectangle de bases AF = 3 cm (moitié de AB) et DE = 2 cm, de hauteur AD = 3 cm : \(\mathcal{A}_{\text{AFED}}=\dfrac{(3+2)\times 3}{2}=7{,}5\) cm².

• FBCG est le trapèze symétrique : \(\mathcal{A}_{\text{FBCG}}=\dfrac{(3+2)\times 3}{2}=7{,}5\) cm².

Donc EFG : 3 cm², AFED : 7,5 cm², FBCG : 7,5 cm². Contrôle : \(3+7{,}5+7{,}5=18=6\times 3\), l’aire du rectangle.

b. Il faut que DE + GC ne dépasse pas DC, soit \(2x\leqslant 6\), donc \(x\leqslant 3\). De plus \(x\) est une longueur, donc \(x\geqslant 0\). Pour que les quatre points soient distincts et dans l’ordre D, E, G, C, \(x\) varie entre 0 et 3 (\(0\lt x\lt 3\)).

c. EG = 6 − 2x, la hauteur reste 3 cm.

\[\mathcal{A}_{\text{EFG}}=\dfrac{(6-2x)\times 3}{2}=9-3x\]

\[\mathcal{A}_{\text{AFED}}=\dfrac{(3+x)\times 3}{2}=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{2}\]

\[\mathcal{A}_{\text{FBCG}}=\dfrac{(3+x)\times 3}{2}=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{2}\]

Donc \(\mathcal{A}_{\text{EFG}}=-3x+9=g(x)\) et \(\mathcal{A}_{\text{AFED}}=\mathcal{A}_{\text{FBCG}}=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{2}=f(x)\). Pour \(x=2\), on retrouve bien \(g(2)=3\) et \(f(2)=7{,}5\).

d. Les deux trapèzes ont toujours la même aire \(f(x)\). Les trois parties sont donc égales dès que \(f(x)=g(x)\), ce qui correspond au point d’intersection de \((d_1)\) et \((d_2)\). Sur le graphique, les droites se coupent au point de coordonnées (1 ; 6) : le partage est égal pour \(x=1\), et chaque partie mesure alors 6 cm².

Corrigé du problème : deux droites pour partager un rectangle (suite)

e. Ensuite, on résout \(f(x)=g(x)\) :

\[\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{2}=-3x+9\quad\text{soit}\quad\dfrac{3}{2}x+3x=9-\dfrac{9}{2}\quad\text{soit}\quad\dfrac{9}{2}x=\dfrac{9}{2}\]

Donc \(x=1\). Alors \(f(1)=1{,}5+4{,}5=6\) et \(g(1)=-3+9=6\) : les trois aires valent 6 cm², soit bien le tiers de 18 cm².

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Comment utiliser le corrigé corrigé Limoges 2000

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

Pour les diviseurs communs, décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis garde les facteurs communs. En ce qui concerne les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Quant aux puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de plus grand commun diviseur, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Limoges 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Limoges 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Limoges 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les diviseurs communs, les fractions, les puissances de 10 et les racines carrées. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Limoges 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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