Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Bordeaux

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Bordeaux. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Bordeaux 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Bordeaux 2000 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « PGCD et racines carrées » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Calcul astucieux et factorisation » (exercice 2). Puis la correction reprend « Braderie » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Triangle et translation » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Aquarium sphérique » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, le corrigé explique « Triangle dans un demi-cercle » (partie A). Enfin, la correction reprend « Angle de 30° et bissectrice » (partie B).

Ainsi, le corrigé corrigé Bordeaux 2000 te fait revoir les diviseurs communs, les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Corrigé de la partie numérique (Bordeaux 2000)

Corrigé de l’exercice 1 : PGCD, fraction et racines carrées

1. Algorithme d’Euclide :

\[1\,053=3\times 325+78 \qquad 325=4\times 78+13 \qquad 78=6\times 13+0\]

Le dernier reste non nul est 13, donc PGCD(1 053 ; 325) = 13. Ensuite, on divise numérateur et dénominateur par 13 : \(325=13\times 25\) et \(1\,053=13\times 81\).

\[\dfrac{325}{1\,053}=\dfrac{25}{81}\]

La fraction irréductible est \(\dfrac{25}{81}\) (25 et 81 n’ont plus de diviseur commun autre que 1).

2. L’équation s’écrit \(x^2=\dfrac{25}{81}\). Ce nombre est positif, donc l’équation a deux solutions opposées : \(x=\sqrt{\dfrac{25}{81}}=\dfrac{5}{9}\) ou \(x=-\dfrac{5}{9}\).

Les solutions sont \(\dfrac{5}{9}\) et \(-\dfrac{5}{9}\).

3. Puis on fait apparaître 13 et un carré parfait sous chaque racine : \(1\,053=81\times 13\), \(325=25\times 13\) et \(52=4\times 13\).

\[A=9\sqrt{13}-3\times 5\sqrt{13}+2\times 2\sqrt{13}=(9-15+4)\sqrt{13}\]

Donc \(A=-2\sqrt{13}\).

Corrigé de l’exercice 2 : calcul astucieux et factorisation

1. a. D’abord, on développe chaque morceau : \((x-3)^2=x^2-6x+9\) et \((x-1)(x-2)=x^2-2x-x+2=x^2-3x+2\). Le signe moins s’applique à tout le produit :

\[E=x^2-6x+9-x^2+3x-2\]

Donc \(E=-3x+7\).

b. Si l’on choisit \(x=100\,000\), alors \(x-3=99\,997\), \(x-1=99\,999\) et \(x-2=99\,998\). Le nombre cherché est donc la valeur de \(E\) pour \(x=100\,000\) :

\[99\,997^2-99\,999\times 99\,998=-3\times 100\,000+7=-300\,000+7\]

Le résultat est \(-299\,993\).

2. a. \((4x+1)\) est un facteur commun aux deux termes :

\[F=(4x+1)\big[(4x+1)-(7x-6)\big]=(4x+1)(4x+1-7x+6)\]

Donc \(F=(4x+1)(7-3x)\).

b. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[4x+1=0 \quad\text{ou}\quad 7-3x=0\]

\[x=-\dfrac{1}{4} \quad\text{ou}\quad x=\dfrac{7}{3}\]

Les solutions sont \(-\dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{7}{3}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Bordeaux 2000) : braderie, système et fréquentation

1. Les achats d’Antoine donnent \(5x+2y=680\). Pour Thomas, \(4x+y+600=1\,060\), soit \(4x+y=460\). On résout le système :

\[\left\{\begin{array}{l} 5x+2y=680\\ 4x+y=460 \end{array}\right.\]

La deuxième équation donne \(y=460-4x\). En remplaçant dans la première :

\[5x+2(460-4x)=680 \quad\text{donc}\quad 5x+920-8x=680 \quad\text{donc}\quad -3x=-240 \quad\text{donc}\quad x=80\]

Puis \(y=460-4\times 80=140\). Vérification : \(5\times 80+2\times 140=400+280=680\) et \(4\times 80+140+600=1\,060\).

Un tee-shirt coûte 80 francs et un jean coûte 140 francs.

2. a. Nombre total de visiteurs : \(770+1\,925+9\,009+3\,080+616=15\,400\).

\[\dfrac{9\,009}{15\,400}\times 100=58{,}5\]

58,5 % des visiteurs sont venus le dimanche.

b. La braderie a duré 5 jours :

\[\dfrac{15\,400}{5}=3\,080\]

Le nombre moyen de visiteurs est de 3 080 par jour (c’est justement la fréquentation du lundi).

Corrigé de la partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : triangle isocèle et losange

1. a. Les points sont placés sur la figure.

b. Alors on calcule les carrés des trois longueurs (repère orthonormé) :

\[AB^2=(-3-4)^2+(3-5)^2=49+4=53\]

\[AC^2=(2-4)^2+(-2-5)^2=4+49=53\]

\[BC^2=(2-(-3))^2+(-2-3)^2=25+25=50\]

AB = AC = \(\sqrt{53}\), donc le triangle ABC est isocèle en A. Il n’est pas rectangle : \(53+50\neq 53\) et \(53+53\neq 50\). Il n’est pas équilatéral car \(BC=\sqrt{50}\neq\sqrt{53}\).

2. \(\overrightarrow{AC}(2-4~;~-2-5)=(-2~;~-7)\). D est l’image de B par cette translation, donc \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\) :

\[x_D=-3+(-2)=-5 \qquad y_D=3+(-7)=-4\]

Donc \(D(-5~;~-4)\).

3. On a \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\) et A, B, C ne sont pas alignés, donc ABDC est un parallélogramme. De plus ses deux côtés consécutifs [AB] et [AC] ont la même longueur (question 1). Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : ABDC est un losange.

Ce n’est pas un carré : ses diagonales ont pour longueurs \(BC=\sqrt{50}\) et \(AD=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}\), qui sont différentes.

Corrigé de l’exercice 2 (Bordeaux 2000) : l’aquarium en calotte sphérique

1. La hauteur de la calotte va du point le plus bas de la sphère jusqu’au plan de l’ouverture. Le point le plus bas est à \(R=12\) cm sous O, donc :

\[OI=h-R=19{,}2-12=7{,}2\]

OI = 7,2 cm.

Le triangle OIA est rectangle en I et OA = R = 12 cm (A est sur la sphère). D’après le théorème de Pythagore :

\[IA^2=OA^2-OI^2=144-51{,}84=92{,}16 \quad\text{donc}\quad IA=\sqrt{92{,}16}=9{,}6\]

IA = 9,6 cm.

2. Ensuite, on applique la formule avec \(R=12\) et \(h=19{,}2\) :

\[V=\dfrac{\pi\times 19{,}2^2}{3}\times(3\times 12-19{,}2)=\dfrac{\pi\times 368{,}64}{3}\times 16{,}8=2\,064{,}384\,\pi\approx 6\,485{,}45\]

Le volume de l’aquarium est d’environ 6 485 cm³.

3. 6 litres = 6 dm³ = 6 000 cm³. Dans le récipient, l’eau forme un pavé droit de base \(26\times 24=624\ \text{cm}^2\) et de hauteur \(x\) :

\[624\times x=6\,000 \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{6\,000}{624}\approx 9{,}615\]

La hauteur d’eau est d’environ 9,6 cm (au mm près).

Corrigé du problème

La figure complète des deux parties (à construire en vraie grandeur sur ta copie) :

Corrigé de la partie A : triangle inscrit dans un demi-cercle

1. et 2. Constructions : trace [AB] de 12 cm, place H à 1 cm de A, trace le demi-cercle de centre le milieu de [AB] et de rayon 6 cm, puis la perpendiculaire à (AB) en H à l’équerre.

3. C est sur le cercle de diamètre [AB], distinct de A et de B. Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, le sommet de l’angle droit étant opposé au diamètre. Donc ABC est rectangle en C.

4. Dans le triangle ABC rectangle en C, le côté adjacent à \(\widehat{BAC}\) est [AC] et l’hypoténuse est [AB] :

\[\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC}{12}\]

Dans le triangle AHC rectangle en H (car (CH) est perpendiculaire à (AB)), le côté adjacent est [AH] et l’hypoténuse est [AC] :

\[\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{1}{AC}\]

Ces deux quotients sont égaux, donc \(\dfrac{AC}{12}=\dfrac{1}{AC}\), soit \(AC^2=12\). Comme AC est positif, \(AC=\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}\), et donc \(AC=2\sqrt{3}\).

Alors \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0{,}2887\), ce qui donne à la calculatrice \(\widehat{BAC}\approx 73{,}2°\), soit \(\widehat{BAC}\approx 73°\).

Corrigé de la partie B : angle de 30°, Thalès et bissectrice

1. a. Tout d’abord, on prolonge [BC] au-delà de C et on place D à 6 cm de C.

b. Les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires (partie A), et D est sur (BC), donc le triangle ACD est rectangle en C. Pour l’angle \(\widehat{ADC}\), le côté opposé est [AC] et le côté adjacent est [CD] :

\[\tan\widehat{ADC}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}577\]

La calculatrice donne \(\widehat{ADC}=30°\) (c’est un angle remarquable : \(\tan 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)).

D’après le théorème de Pythagore dans ACD rectangle en C :

\[AD^2=AC^2+CD^2=12+36=48 \quad\text{donc}\quad AD=\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}\]

\(AD=4\sqrt{3}\) (environ 6,93 cm).

2. a. L’énoncé contient une coquille : la condition qui définit F doit se lire \(\widehat{AEF}=30°\). On place E sur [AD] à 2 cm de A, puis on trace à partir de E, au rapporteur, la demi-droite qui fait un angle de 30° avec [EA], du côté de C ; elle coupe [AC] en F.

b. Les droites (EF) et (DC) sont coupées par la sécante (AD). Les angles \(\widehat{AEF}\) et \(\widehat{ADC}\) mesurent tous les deux 30° et sont en position d’angles correspondants. Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, elles sont parallèles. Donc (EF) et (DC) sont parallèles.

c. Dans le triangle ADC, E est sur [AD], F est sur [AC] et (EF) est parallèle à (DC). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AF}{AC} \quad\text{donc}\quad \dfrac{2}{4\sqrt{3}}=\dfrac{AF}{2\sqrt{3}} \quad\text{donc}\quad AF=\dfrac{2\times 2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\]

AF = 1 cm.

3. (EF) est parallèle à (DC), et (DC) est perpendiculaire à (AC). Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre : (EF) est perpendiculaire à (AC) en F. De même, (CH) est perpendiculaire à (AB) en H.

Les triangles AFK et AHK sont donc rectangles, en F et en H. Ils ont la même hypoténuse [AK] et AF = AH = 1 cm. D’après le théorème de Pythagore :

\[KF^2=AK^2-AF^2=AK^2-1 \qquad KH^2=AK^2-AH^2=AK^2-1\]

Donc KF = KH. Or KF est la distance de K à la droite (AC) et KH est la distance de K à la droite (AB). Le point K est à égale distance des deux côtés de l’angle \(\widehat{CAB}\), et un point équidistant des côtés d’un angle est sur sa bissectrice. K appartient donc à la bissectrice de l’angle \(\widehat{CAB}\).

Autre méthode : dans les triangles rectangles AFK et AHK, \(\cos\widehat{FAK}=\dfrac{AF}{AK}=\dfrac{1}{AK}\) et \(\cos\widehat{HAK}=\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{1}{AK}\), donc \(\widehat{FAK}=\widehat{HAK}\) : la droite (AK) partage l’angle \(\widehat{CAB}\) en deux angles égaux.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Bordeaux.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Bordeaux 2000

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

Quant aux diviseurs communs, décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis garde les facteurs communs. Dans les questions sur les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de plus grand commun diviseur, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Bordeaux 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Bordeaux 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Bordeaux 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les diviseurs communs, les fractions, les racines carrées et les systèmes d’équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Bordeaux 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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