Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Caen

Corrigé de maths – Brevet 2000 : Académie de Caen – Maths-pdf.fr

Sommaire

Dans ce corrigé du brevet de maths de juin 2000 (académie de Caen), chaque réponse est justifiée pas à pas. Tu revois comment rendre une fraction irréductible, manipuler des puissances de 10 et réduire des racines carrées en faisant apparaître \(\sqrt{5}\). Le zoo sert à poser et résoudre un système par combinaison, et les plaques de métal montrent à quoi sert concrètement le PGCD. En géométrie, les distances dans un repère et la réciproque de Pythagore conduisent à un carré, puis la section d’une boule par un plan se ramène à un triangle rectangle. Le problème aboutit à la relation \(A_3 + B_3 + C_3 = \dfrac{15}{2}x\) et à la valeur \(x = 3{,}6\) pour laquelle N tombe sur l’hypoténuse, confirmée par le graphique.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Caen. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Caen 2000

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Caen 2000 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et résistances » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Racines carrées » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Système et entrées au zoo » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « PGCD et plaques de métal » (exercice 4). En outre, le corrigé explique « Triangle et carré dans un repère » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, la correction reprend « Boule taillée dans un cube » (exercice 2 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Un carré dans un triangle rectangle » (problème).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Caen 2000 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, les systèmes d’équations et les diviseurs communs, rédigées comme sur une copie.

Corrigé de la partie numérique (Caen 2000)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions et résistances

1. Pour A, on calcule d’abord le carré, puis on met au même dénominateur 49 :

\[ A = \dfrac{25}{49} – \dfrac{2 \times 7}{7 \times 7} = \dfrac{25}{49} – \dfrac{14}{49} = \dfrac{11}{49} \]

11 est premier et ne divise pas 49 : \(A = \dfrac{11}{49}\).

Pour B, on sépare les nombres et les puissances de 10, avec \(\dfrac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m-n}\) :

\[ B = \dfrac{12}{16} \times \dfrac{10^{-3}}{10^{-4}} = \dfrac{3}{4} \times 10^{-3-(-4)} = \dfrac{3}{4} \times 10 = \dfrac{30}{4} = \dfrac{15}{2} \]

Donc \(B = \dfrac{15}{2}\).

Pour C, le plus petit multiple commun de 9 et 12 est 36 :

\[ C = \dfrac{4}{36} + \dfrac{3}{36} = \dfrac{7}{36} \]

Donc \(C = \dfrac{7}{36}\).

2. Ensuite, on remplace \(R_1\) et \(R_2\) : \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{12}\), c’est exactement le nombre C de la question 1. Donc \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{7}{36}\). Deux nombres dont les inverses sont égaux sont égaux, donc \(R\) est l’inverse de \(\dfrac{7}{36}\) :

\[ R = \dfrac{36}{7} \]

La valeur exacte est \(R = \dfrac{36}{7}\) ohms (environ 5,14 ohms).

À retenir : une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1 ; pour retrouver \(R\) à partir de \(\dfrac{1}{R}\), on prend l’inverse, on n’ajoute pas les inverses à l’envers.

Corrigé de l’exercice 2 : réduire une somme de racines

D’abord, on cherche dans chaque nombre le plus grand carré parfait qui le divise, pour faire apparaître \(\sqrt{5}\) :

\(180 = 36 \times 5\), donc \(\sqrt{180} = \sqrt{36}\times\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\) ;
\(80 = 16 \times 5\), donc \(3\sqrt{80} = 3 \times 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}\) ;
\(125 = 25 \times 5\), donc \(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\).

\[ \sqrt{180} + 3\sqrt{80} – \sqrt{125} = 6\sqrt{5} + 12\sqrt{5} – 5\sqrt{5} = (6 + 12 – 5)\sqrt{5} = 13\sqrt{5} \]

Le nombre s’écrit \(13\sqrt{5}\), avec \(a = 13\) et \(b = 5\).

À retenir : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) permet de sortir un carré parfait de la racine ; on ne peut additionner des racines que lorsqu’elles portent sur le même nombre.

Corrigé de l’exercice 3 (Caen 2000) : système et entrées au zoo

1. Tout d’abord, on multiplie la première équation par 18 pour éliminer \(x\) :

\[ 18x + 18y = 11\,340 \]

Puis on la soustrait membre à membre de la seconde équation :

\[ (18x + 30y) – (18x + 18y) = 14\,220 – 11\,340 \quad\text{soit}\quad 12y = 2\,880 \quad\text{donc}\quad y = 240 \]

Alors on remplace dans la première équation : \(x = 630 – 240 = 390\).

Vérification : \(390 + 240 = 630\) et \(18 \times 390 + 30 \times 240 = 7\,020 + 7\,200 = 14\,220\). La solution du système est \(x = 390\) et \(y = 240\).

2. Notons \(x\) le nombre d’enfants et \(y\) le nombre d’adultes. Il y a 630 visiteurs, donc \(x + y = 630\). Un enfant paie 18 F et un adulte 30 F, la recette est donc \(18x + 30y = 14\,220\). On retrouve le système de la question 1 : il y a eu 390 enfants et 240 adultes.

À retenir : pour mettre un problème en système, choisis clairement ce que représentent \(x\) et \(y\), écris une équation par information, puis vérifie la solution dans les deux équations.

Corrigé de l’exercice 4 : PGCD et découpage de plaques

1. Avec l’algorithme d’Euclide :

\(110 = 88 \times 1 + 22\) ;
\(88 = 22 \times 4 + 0\).

Le dernier reste non nul est 22, donc PGCD(110 ; 88) = 22. On le retrouve avec les décompositions \(110 = 2 \times 5 \times 11\) et \(88 = 2^3 \times 11\) : les facteurs communs donnent \(2 \times 11 = 22\).

2. Pour qu’il n’y ait pas de perte, le côté du carré doit diviser à la fois 110 et 88 : c’est un diviseur commun. Pour avoir les carrés les plus grands possibles, on prend le plus grand diviseur commun. Le côté d’un carré mesure 22 cm.

3. Dans la longueur, on place \(110 : 22 = 5\) carrés, et dans la largeur \(88 : 22 = 4\) carrés. Ensuite, on obtient \(5 \times 4 = 20\) carrés, soit 20 carrés par plaque. Contrôle par les aires : \(110 \times 88 = 9\,680\) cm² et \(20 \times 22^2 = 9\,680\) cm².

À retenir : « le plus grand possible sans perte » dans un partage en parts égales, c’est le signal du PGCD ; le nombre de parts se trouve en divisant chaque dimension par ce PGCD.

Corrigé de la partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 (Caen 2000) : triangle et carré dans un repère

1. Pour commencer, on place A à 2 unités à gauche de l’axe des ordonnées et 5 unités au-dessus de l’axe des abscisses, B en \((3\ ;\ 1)\) et C en \((-1\ ;\ -4)\) (voir la figure de la question 3).

2. Dans un repère orthonormal, \(\text{AC} = \sqrt{(x_{\text{C}} – x_{\text{A}})^2 + (y_{\text{C}} – y_{\text{A}})^2}\) :

\[ \text{AC} = \sqrt{(-1 – (-2))^2 + (-4 – 5)^2} = \sqrt{1^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \]

Donc AC = \(\sqrt{82}\) cm (environ 9,06 cm).

Puis on sait que AB = BC = \(\sqrt{41}\) : le triangle ABC est déjà isocèle en B. De plus :

\[ \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 41 + 41 = 82 \qquad \text{AC}^2 = 82 \]

Comme \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\), la réciproque du théorème de Pythagore montre que ABC est rectangle en B. Le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.

3. ABCD est un parallélogramme lorsque \(\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}\). Pour aller de B à C, on se déplace de 4 unités vers la gauche et de 5 unités vers le bas ; on fait le même déplacement à partir de A : \((-2 – 4\ ;\ 5 – 5)\). On lit donc D\((-6\ ;\ 0)\).

Contrôle par le calcul : le milieu de [AC] est \(\left(\dfrac{-2 – 1}{2}\ ;\ \dfrac{5 – 4}{2}\right) = (-1{,}5\ ;\ 0{,}5)\) et celui de [BD] est \(\left(\dfrac{3 – 6}{2}\ ;\ \dfrac{1 + 0}{2}\right) = (-1{,}5\ ;\ 0{,}5)\) : les diagonales se coupent bien en leur milieu.

ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit en B (question 2) : c’est donc un rectangle. Il a aussi deux côtés consécutifs de même longueur, AB = BC : c’est donc un losange. Un quadrilatère à la fois rectangle et losange est un carré : ABCD est un carré.

À retenir : un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle, avec deux côtés consécutifs égaux c’est un losange, et avec les deux à la fois c’est un carré ; dans un repère, la formule des distances fournit les longueurs nécessaires.

Corrigé de l’exercice 2 : boule taillée dans un cube

1. Le cube a pour arête 10 cm, son volume est \(10^3 = 1\,000\) cm³. La boule a un diamètre de 10 cm, donc un rayon de 5 cm :

\[ V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523{,}6\ \text{cm}^3 \]

Le bois perdu est la différence :

\[ 1\,000 – \dfrac{500\pi}{3} \approx 476{,}4\ \text{cm}^3 \]

Dans chaque cube, on perd environ 476 cm³ de bois.

2. Quand on coupe une boule par un plan, la section est un disque dont le centre O′ est le pied de la perpendiculaire au plan passant par O. Le triangle OO′A est donc rectangle en O′, avec :

OA = 5 cm, car A est sur la sphère (c’est un rayon) ;
O′A = 2,5 cm, la moitié du diamètre AB du disque ;
OO′ = \(h\).

D’après le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle en O′ :

\[ \text{OA}^2 = \text{OO}^{\prime}^2 + \text{O}^{\prime}\text{A}^2 \quad\text{donc}\quad h^2 = 5^2 – 2{,}5^2 = 25 – 6{,}25 = 18{,}75 \]

\[ h = \sqrt{18{,}75} \approx 4{,}33 \]

Le menuisier doit couper à \(h \approx 4{,}3\) cm du centre de la boule.

À retenir : la section d’une boule par un plan est un disque, et le rayon de la boule, le rayon du disque et la distance du centre au plan forment un triangle rectangle : Pythagore relie ces trois longueurs.

Corrigé du problème

Corrigé du problème : un carré dans un triangle rectangle

1. a. Le triangle RKL est rectangle en R, ses côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur :

\[ \text{aire}(\text{RKL}) = \dfrac{\text{RK} \times \text{RL}}{2} = \dfrac{6 \times 9}{2} = 27 \]

L’aire du triangle RKL est 27 cm².

b. Le carré RMNP a pour côté 2 cm : \(A_1 = 2^2 = 4\) cm².

Dans le triangle KMN, l’angle en M est droit (côté du carré perpendiculaire à [RK]). Sa base est KM = RK − RM = 6 − 2 = 4 cm, sa hauteur est MN = 2 cm : \(B_1 = \dfrac{4 \times 2}{2} = 4\) cm².

Dans le triangle NPL, rectangle en P, la base est PL = RL − RP = 9 − 2 = 7 cm et la hauteur NP = 2 cm : \(C_1 = \dfrac{7 \times 2}{2} = 7\) cm².

c. \(A_1 + B_1 + C_1 = 4 + 4 + 7 = 15\), donc \(A_1 + B_1 + C_1 = 15\) cm².

Le quadrilatère RKNL est formé exactement du carré et des deux triangles, son aire vaut donc 15 cm². Comme \(15 \lt 27\), l’aire de RKNL est bien inférieure à celle de RKL : c’est normal, puisque N est à l’intérieur du triangle et que RKNL n’en occupe qu’une partie.

2. a. On trace le triangle RKL (RK = 6 cm, RL = 9 cm, angle droit en R), on place M sur [RK] et P sur [RL] à 5 cm de R, puis N de façon que RMNP soit un carré de côté 5 cm.

b. Avec \(x = 5\), le point N est à l’extérieur du triangle RKL, de l’autre côté de l’hypoténuse [KL] par rapport à R.

c. Les mêmes raisonnements qu’à la question 1 donnent :

\(A_2 = 5^2\), soit \(A_2 = 25\) cm² ;
KM = 6 − 5 = 1 cm et MN = 5 cm, donc \(B_2 = \dfrac{1 \times 5}{2} = 2{,}5\) cm² ;
PL = 9 − 5 = 4 cm et NP = 5 cm, donc \(C_2 = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10\) cm².

L’aire de RKNL est \(25 + 2{,}5 + 10 = 37{,}5\) cm². Comme \(37{,}5 \gt 27\), l’aire de RKNL est supérieure à celle de RKL : le quadrilatère contient tout le triangle RKL et déborde au-delà de [KL].

3. a. Pour \(x\) compris entre 0 et 6, on a KM = \(6 – x\), PL = \(9 – x\) et MN = NP = \(x\), d’où :

\[ A_3 = x^2 \qquad B_3 = \dfrac{(6 – x) \times x}{2} = \dfrac{6x – x^2}{2} \qquad C_3 = \dfrac{(9 – x) \times x}{2} = \dfrac{9x – x^2}{2} \]

Soit \(A_3 = x^2\), \(B_3 = \dfrac{6x – x^2}{2}\) et \(C_3 = \dfrac{9x – x^2}{2}\). Tu peux contrôler avec \(x = 2\) : on retrouve 4, 4 et 7.

b. L’énoncé s’interrompt après « Montrer que » : la suite du problème (question 4) indique qu’il fallait montrer que \(A_3 + B_3 + C_3 = \dfrac{15}{2}x\). On le démontre :

\[ A_3 + B_3 + C_3 = x^2 + \dfrac{6x – x^2 + 9x – x^2}{2} = x^2 + \dfrac{15x – 2x^2}{2} = x^2 + \dfrac{15}{2}x – x^2 = \dfrac{15}{2}x \]

Donc \(A_3 + B_3 + C_3 = \dfrac{15}{2}x\). Contrôle : pour \(x = 2\), \(7{,}5 \times 2 = 15\) ; pour \(x = 5\), \(7{,}5 \times 5 = 37{,}5\).

c. Le point N est sur [KL] exactement quand le quadrilatère RKNL devient le triangle RKL lui-même, c’est-à-dire quand leurs aires sont égales. Ensuite, on résout :

\[ \dfrac{15}{2}x = 27 \quad\text{donc}\quad x = 27 \times \dfrac{2}{15} = \dfrac{54}{15} = 3{,}6 \]

Le point N est sur le segment [KL] pour \(x = 3{,}6\) cm. Pour \(x \lt 3{,}6\), N est à l’intérieur du triangle (cas \(x = 2\)) ; pour \(x \gt 3{,}6\), il est à l’extérieur (cas \(x = 5\)).

Vérification indépendante : si on place R à l’origine, L en \((9\ ;\ 0)\) et K en \((0\ ;\ 6)\), la droite (KL) a pour équation \(y = 6 – \dfrac{2}{3}x\). Le point N\((3{,}6\ ;\ 3{,}6)\) vérifie \(6 – \dfrac{2}{3} \times 3{,}6 = 6 – 2{,}4 = 3{,}6\) : il est bien sur (KL).

4. a. La fonction \(x \longmapsto \dfrac{15}{2}x\) est linéaire : sa représentation est une droite passant par l’origine. Il suffit d’un second point, par exemple \((6\ ;\ 45)\) puisque \(7{,}5 \times 6 = 45\). Avec les unités imposées, 6 unités en abscisse font \(6 \times \dfrac{5}{3} = 10\) cm et 45 unités en ordonnée font \(45 : 3 = 15\) cm. On trace donc la droite passant par O et le point \((6\ ;\ 45)\).

b. Puis on trace la droite horizontale d’ordonnée 27 ; elle coupe la représentation de la fonction en un point dont on lit l’abscisse : \(x = 3{,}6\).

Commentaire : \(\dfrac{15}{2}x\) est l’aire de RKNL et 27 l’aire du triangle RKL. La lecture graphique confirme donc le résultat de la question 3. c : le point N se trouve sur l’hypoténuse [KL] quand RM = 3,6 cm. Le graphique montre aussi que l’aire de RKNL est plus petite que 27 avant 3,6 et plus grande après.

À retenir : pour exprimer une aire en fonction de \(x\), on découpe la figure en morceaux simples (carré, triangles rectangles) dont on écrit chaque dimension avec \(x\) ; une équation du type « aire = valeur » se résout par le calcul ou en lisant l’abscisse d’un point d’intersection.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Caen.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Caen 2000

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Caen 2000 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Caen 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Caen 2000 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2000. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et les systèmes d’équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Caen 2000

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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