Corrigé du brevet de maths 2000 : Académies de Lille et Paris, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académies de Lille et Paris, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Lille 2000

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Lille 2000 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Quatre nombres égaux » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Tarifs de cinéma » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Transformations sur réseau » (exercice 1 de géométrie). En outre, le corrigé explique « Figure en papillon » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, la correction reprend « Boules de glace » (exercice 3 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Parallélogramme et orthocentre » (première partie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Angle au centre droit » (deuxième partie). Enfin, le corrigé explique « Triangle à 45° » (troisième partie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Lille 2000 sont les fractions, les racines carrées, le calcul littéral, les équations et les transformations du plan, rédigées comme sur une copie.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Lille 2000) : quatre écritures d’un même nombre

Calcul de A. On calcule d’abord la parenthèse, puis la division, et l’addition en dernier. \(1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}\), et diviser par \(\dfrac{3}{5}\) revient à multiplier par \(\dfrac{5}{3}\) :

\[A=\dfrac{8}{3}+5\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}+\dfrac{25}{3}=\dfrac{33}{3}=11\]

Calcul de B. Tu regroupes les puissances de même base : \(\dfrac{10^3}{10^4}=10^{-1}\) et \(\dfrac{2^{10}}{2^9}=2\).

\[B=55\times 10^{-1}\times 2=5{,}5\times 2=11\]

Calcul de C. Ensuite, on reconnaît l’identité \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) avec \(a=4\) et \(b=\sqrt{5}\) :

\[C=4^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=16-5=11\]

Calcul de D. Dans l’énoncé, « \(\sqrt{8l}\) » est une coquille de saisie pour \(\sqrt{81}=9\). On simplifie les deux autres racines en faisant apparaître un carré : \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}\) et \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}\).

\[D=2\times 3\sqrt{5}+9-3\times 2\sqrt{5}+2=6\sqrt{5}-6\sqrt{5}+9+2=11\]

Les quatre calculs donnent 11, donc \(A=B=C=D=11\).

Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre

1. \((2x+3)^2=4x^2+12x+9\) grâce à \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), et par double distributivité \((x-5)(2x+3)=2x^2+3x-10x-15=2x^2-7x-15\).

\[E=4x^2+12x+9+2x^2-7x-15\]

Donc \(E=6x^2+5x-6\).

2. Le facteur \((2x+3)\) est présent dans les deux termes, car \((2x+3)^2=(2x+3)(2x+3)\) :

\[E=(2x+3)\big[(2x+3)+(x-5)\big]=(2x+3)(3x-2)\]

Donc \(E=(2x+3)(3x-2)\). Contrôle : \(6x^2-4x+9x-6=6x^2+5x-6\).

3. La forme factorisée rend le calcul plus simple : \(2\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)+3=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{7}{3}\) et \(3\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)-2=-1-2=-3\).

\[E=\dfrac{7}{3}\times(-3)=-7\]

Donc pour \(x=-\dfrac{1}{3}\), \(E=-7\). Avec la forme développée : \(6\times\dfrac{1}{9}-\dfrac{5}{3}-6=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3}-6=-1-6=-7\), on retrouve le même résultat.

4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul : \(2x+3=0\) donne \(x=-\dfrac{3}{2}\), et \(3x-2=0\) donne \(x=\dfrac{2}{3}\).

L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{2}{3}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Lille 2000) : comparer des tarifs de cinéma

1. Au cinéma D, 4 places coûtent 24,80 €, donc une place coûte \(24{,}80\div 4=6{,}20\) €. Au cinéma E, au même tarif, 6 places coûtent \(6\times 6{,}20=37{,}20\) €. L’élève a payé 37,20 €.

2. a. Pour comparer, tu calcules le prix d’une place dans chaque cinéma, en divisant la somme dépensée par le nombre de places :

Le tarif le moins cher est celui du cinéma B, à 5 € la place.

b. La moyenne des cinq tarifs est la somme des tarifs divisée par 5 :

\[\dfrac{5{,}34+5+6{,}10+6{,}20+6{,}20}{5}=\dfrac{28{,}84}{5}=5{,}768\]

La moyenne des tarifs est environ 5,77 €. Remarque : si l’on divisait la dépense totale (145,72 €) par le nombre total de places (25), on obtiendrait le prix moyen payé par place, environ 5,83 €, qui est une autre moyenne (pondérée par le nombre de places) ; la question porte sur la moyenne des tarifs.

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : transformations sur un réseau

Dans ce qui suit, un « pas » est l’écart entre deux points voisins du réseau. L’hexagone \(\mathcal{A}\) a pour sommets O, puis (en tournant) le point 1 pas à droite et 1 pas en haut de O, le point 3 pas à droite et 1 pas en haut, le point 4 pas à droite de O, le point 3 pas à droite et 1 pas en bas, le point 1 pas à droite et 1 pas en bas. Tu construis l’image de chacun de ces six sommets, puis tu relies.

1. Dans la symétrie de centre A, l’image d’un point P est le point P′ tel que A soit le milieu de [PP′]. Par exemple O est 6 pas à gauche et 2 pas au-dessus de A, donc son image est 6 pas à droite et 2 pas en dessous de A. \(\mathcal{A}_1\) est l’hexagone retourné d’un demi-tour autour de A, situé en bas à droite de A.

2. Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) correspond à un déplacement de 1 pas vers la gauche et 3 pas vers le bas. \(\mathcal{A}_2\) est l’hexagone \(\mathcal{A}\) glissé de 1 pas à gauche et 3 pas vers le bas, sans changer d’orientation.

3. Appelle M le milieu de [AB]. Si tu compares les sommets de \(\mathcal{A}_1\) et de \(\mathcal{A}_2\), tu constates que M est à chaque fois le milieu du segment qui joint un sommet de \(\mathcal{A}_1\) au sommet correspondant de \(\mathcal{A}_2\). Par exemple l’image de O dans \(\mathcal{A}_1\) est 6 pas à droite et 2 pas sous A, celle de O dans \(\mathcal{A}_2\) est 1 pas à gauche et 3 pas sous O ; le milieu de ces deux points est bien M. On passe donc de \(\mathcal{A}_1\) à \(\mathcal{A}_2\) par la symétrie centrale de centre M, milieu de [AB].

4. O est à égale distance de I et de J (1 pas), et l’angle \(\widehat{\text{IOJ}}\) est droit : I est à gauche de O et J au-dessus. Pour aller de I à J autour de O, on tourne d’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre. La rotation est donc la rotation de centre O d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre : un déplacement « vers la droite » devient « vers le bas » et un déplacement « vers le haut » devient « vers la droite ». \(\mathcal{A}_3\) est l’hexagone dressé verticalement, qui part de O et descend de 4 pas.

Corrigé de l’exercice 2 (Lille 2000) : Pythagore, Thalès et trigonométrie

1. Dans le triangle EFG, le plus grand côté est [EG]. Puis on compare : \(\text{EG}^2=5^2=25\) et \(\text{EF}^2+\text{FG}^2=4^2+3^2=16+9=25\). Les deux sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.

2. Les points D, B, E et F sont alignés, donc (EF) et (DE) sont la même droite. D’une part (FG) est perpendiculaire à (EF) d’après la question 1 ; d’autre part (AB) est perpendiculaire à (DE), puisque c’est la hauteur issue de A. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (FG) est parallèle à (AB).

3. Les droites (AG) et (BF) se coupent en E, et (AB) est parallèle à (FG). D’après le théorème de Thalès dans les triangles EAB et EGF :

\[\dfrac{\text{EA}}{\text{EG}}=\dfrac{\text{EB}}{\text{EF}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{GF}},\quad\text{soit}\quad\dfrac{7}{5}=\dfrac{\text{EB}}{4}=\dfrac{\text{AB}}{3}\]

D’où \(\text{EB}=\dfrac{7\times 4}{5}=5{,}6\) et \(\text{AB}=\dfrac{7\times 3}{5}=4{,}2\). Donc BE = 5,6 cm et AB = 4,2 cm.

4. Le triangle ABD est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{\text{DAB}}\), [DB] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent :

\[\tan 30^\circ=\dfrac{\text{DB}}{\text{AB}}\quad\text{donc}\quad\text{DB}=4{,}2\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=1{,}4\sqrt{3}\]

Donc \(\text{DB}=1{,}4\sqrt{3}\) cm (c’est-à-dire \(\dfrac{7\sqrt{3}}{5}\) cm, environ 2,42 cm).

5. Dans le triangle AED, [AB] est la hauteur relative à la base [DE], et \(\text{DE}=\text{DB}+\text{BE}=1{,}4\sqrt{3}+5{,}6\).

\[\mathcal{A}_{\text{AED}}=\dfrac{\text{DE}\times\text{AB}}{2}=\dfrac{\left(5{,}6+1{,}4\sqrt{3}\right)\times 4{,}2}{2}=11{,}76+2{,}94\sqrt{3}\approx 16{,}852\]

L’aire du triangle AED est environ 16,85 cm².

Corrigé de l’exercice 3 : volume d’une boule de glace

Le volume d’une boule de rayon \(r\) est \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\). Avec \(r=1{,}5\) cm :

\[V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 1{,}5^3=\dfrac{4}{3}\times 3{,}375\times\pi=4{,}5\pi\approx 14{,}14\]

Une boule a un volume d’environ 14 cm³.

Si le rayon est doublé, il devient \(2r\), et \(\dfrac{4}{3}\pi(2r)^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 8r^3=8\times\dfrac{4}{3}\pi r^3\). Tu peux le vérifier : avec \(r=3\) cm, \(V=36\pi\approx 113\) cm³, et \(36\pi=8\times 4{,}5\pi\). Le volume est multiplié par 8.

Problème

Corrigé de la première partie (Lille 2000) : parallélogramme et orthocentre

1. Le point C appartient au cercle de diamètre [AE]. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle, et l’angle droit est au sommet opposé à ce diamètre. Donc ACE est rectangle en C, et pour la même raison ABE est rectangle en B.

2. H est sur (BK) et sur (CJ). Dans le quadrilatère BHCE :

• (BH) est la droite (BK), parallèle à (EC) par construction ;
• (CH) est la droite (CJ), parallèle à (EB) par construction.

Les côtés opposés sont parallèles deux à deux, donc BHCE est un parallélogramme.

3. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. De même, les diagonales de BHCE sont [BC] et [HE] ; le milieu A′ de [BC] est donc aussi le milieu de [HE].

4. Dans le triangle AHE, O est le milieu de [AE] (centre du cercle de diamètre [AE]) et A′ est le milieu de [HE] (question 3). D’après le théorème des milieux, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté : \(\text{OA}^{\prime}=\dfrac{1}{2}\text{AH}\). Donc AH = 2 × OA′.

5. D’après la question 1, (EC) est perpendiculaire à (AC). Comme (BK) est parallèle à (EC), (BK) est aussi perpendiculaire à (AC) : c’est la hauteur du triangle ABC issue de B. De même, (EB) est perpendiculaire à (AB) et (CJ) est parallèle à (EB), donc (CJ) est la hauteur issue de C. H est à l’intersection de deux hauteurs du triangle ABC, donc H est le point de concours des hauteurs (l’orthocentre) du triangle ABC ; la troisième hauteur, issue de A, passe aussi par H.

Corrigé de la deuxième partie : le cas où l’angle en O est droit

1. L’angle inscrit \(\widehat{\text{BAC}}\) et l’angle au centre \(\widehat{\text{BOC}}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{BC}}\). L’angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc, donc \(\widehat{\text{BAC}}=\dfrac{90^\circ}{2}\), soit \(\widehat{\text{BAC}}=45^\circ\).

2. OB = OC, car ce sont deux rayons du cercle, et \(\widehat{\text{BOC}}=90^\circ\) : le triangle BOC est rectangle isocèle en O. Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse. [OA′] est la médiane issue de O (A′ est le milieu de [BC]), donc \(\text{OA}^{\prime}=\dfrac{1}{2}\text{BC}\). On peut aussi dire que A′ est le centre du cercle circonscrit au triangle BOC rectangle en O, donc A′O = A′B = A′C.

3. Le rappel de l’énoncé contient une coquille : c’est \(\text{AH}=2\times\text{OA}^{\prime}\) qu’il faut lire, comme démontré dans la première partie (question 4). En remplaçant \(\text{OA}^{\prime}\) grâce à la question 2 :

\[\text{AH}=2\times\text{OA}^{\prime}=2\times\dfrac{1}{2}\text{BC}=\text{BC}\]

Donc AH = BC.

Corrigé de la troisième partie : vérifier sur une figure

L’énoncé de cette partie se limite à « La figure ci-après est à compléter » : aucune question n’est écrite. L’intention est de réinvestir les deux premières parties sur un triangle ABC où \(\widehat{\text{BAC}}=45^\circ\). Voici comment compléter la figure et ce que l’on peut en conclure.

• Trace les médiatrices de deux côtés : leur point d’intersection est le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC ; trace ce cercle.
• Trace deux hauteurs du triangle (perpendiculaires à un côté passant par le sommet opposé) : elles se coupent en H, l’orthocentre.
• Mesure AH et BC.

Justification : l’angle au centre \(\widehat{\text{BOC}}\) vaut le double de l’angle inscrit \(\widehat{\text{BAC}}\), soit \(2\times 45^\circ=90^\circ\). On est donc exactement dans la situation de la deuxième partie, et l’on obtient AH = BC. Sur la figure du sujet, l’angle en C est presque droit : H est alors très proche de C, et AH est à peu près égal à AC, qui est lui-même presque égal à BC (triangle presque rectangle isocèle en C).

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Bien réviser avec le corrigé corrigé Lille 2000

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Dans les questions sur le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Lille 2000 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Lille 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Lille 2000 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2000. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, le calcul littéral et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Lille 2000

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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