Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Caen, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Caen, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Caen septembre

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Caen septembre est découpé en 10 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Identité remarquable » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Calculs de fractions » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Racines carrées » (exercice 4). En outre, la correction reprend « PGCD et fraction » (exercice 5).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Section d’une pyramide » (exercice 1 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Trois transformations » (exercice 2 de géométrie). Par ailleurs, le corrigé explique « Agence Vendéenne » (première partie). En outre, la correction reprend « Agence Aquitaine » (deuxième partie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Agence Bretagne » (troisième partie).

Ainsi, le corrigé corrigé Caen septembre te fait revoir les équations, les fractions, les racines carrées, les pyramides et les cônes et les agrandissements et réductions, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Caen septembre) : développer, factoriser, produit nul

1. Tu développes \((4x-3)(x-1)\) par double distributivité, puis \(-5(4x-3)\) par simple distributivité, sans oublier que le signe « moins » s’applique aux deux termes.

\[A=4x^2-4x-3x+3-20x+15\]

En regroupant les termes en \(x\) : \(-4x-3x-20x=-27x\), et les constantes : \(3+15=18\). Donc \(A=4x^2-27x+18\).

2. Le facteur \((4x-3)\) apparaît dans les deux termes de la définition de \(A\). Tu le mets en facteur :

\[A=(4x-3)\big[(x-1)-5\big]=(4x-3)(x-1-5)\]

Donc \(A=(4x-3)(x-6)\). Tu peux contrôler en redéveloppant : \(4x^2-24x-3x+18=4x^2-27x+18\), on retrouve bien le résultat de la question 1.

3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc \(4x-3=0\) ou \(x-6=0\), c’est-à-dire \(x=\dfrac{3}{4}\) ou \(x=6\).

L’équation a deux solutions : \(\dfrac{3}{4}\) et \(6\).

Corrigé de l’exercice 2 : identité remarquable et calcul mental

1. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

2. Tu écris \(103=100+3\) et tu appliques l’identité avec \(a=100\) et \(b=3\) :

\[103^2=(100+3)^2=100^2+2\times 100\times 3+3^2=10\,000+600+9\]

Donc \(103^2=10\,609\).

Corrigé de l’exercice 3 (Caen septembre) : calculs avec des fractions

Calcul de B. La multiplication est prioritaire sur la soustraction. Tu simplifies le produit : \(\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{2\times 2\times 5}{3\times 2}=\dfrac{10}{3}\).

\[B=\dfrac{2}{3}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{2-10}{3}=-\dfrac{8}{3}\]

Donc \(B=-\dfrac{8}{3}\), irréductible car 8 et 3 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Calcul de C. On commence par la parenthèse, puis la division, et l’addition vient en dernier.

\[1+\dfrac{1}{8}=\dfrac{8}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}\]

Diviser par \(\dfrac{3}{4}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{4}{3}\) :

\[\dfrac{9}{8}:\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{8}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{3\times 3\times 4}{2\times 4\times 3}=\dfrac{3}{2}\]

\[C=5+\dfrac{3}{2}=\dfrac{10}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{13}{2}\]

Donc \(C=\dfrac{13}{2}\), irréductible car 13 est impair.

Corrigé de l’exercice 4 : racines carrées

Calcul de D. Pour des nombres positifs, \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) et \(\sqrt{a^2}=a\). Donc :

\[D=\sqrt{3^2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{4^2}=3\times\sqrt{2}\times 4\]

Donc \(D=12\sqrt{2}\) (\(a=12\), \(b=2\)).

Calcul de E. Tu cherches le plus grand carré qui divise 20 : c’est 4, car \(20=4\times 5\). Ainsi \(\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\).

\[E=-\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=-\sqrt{5}\]

Donc \(E=-1\sqrt{5}=-\sqrt{5}\) (\(a=-1\), \(b=5\)).

Corrigé de l’exercice 5 : PGCD et fraction irréductible

1. Tu appliques l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.

\[3\,150=2\times 1\,512+126\]

\[1\,512=12\times 126+0\]

Le dernier reste non nul est 126, donc PGCD(1 512 ; 3 150) = 126.

2. Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD donne directement une fraction irréductible : \(3\,150\div 126=25\) et \(1\,512\div 126=12\).

\[\dfrac{3\,150}{1\,512}=\dfrac{126\times 25}{126\times 12}=\dfrac{25}{12}\]

Donc \(\dfrac{3\,150}{1\,512}=\dfrac{25}{12}\).

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 (Caen septembre) : section d’une pyramide

1. Sur la figure, l’angle droit marqué au pied de la hauteur en pointillés est en A : le sommet du bas de la hauteur est donc A et le sommet du haut est S. Les deux autres sommets de la base sont B et C (par exemple B en bas à gauche et C à droite). Pour la section, tu places M sur [SA] aux quatre cinquièmes de S vers A (car \(\dfrac{4{,}4}{5{,}5}=0{,}8\)), puis N sur [SB] et O sur [SC] au même rapport, et tu traces le triangle MNO : ses côtés sont parallèles à ceux de ABC ; [MN] et [MO] sont en pointillés car cachés, [NO] est en trait plein.

2. La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base. Le coefficient de réduction est :

\[k=\dfrac{\text{SM}}{\text{SA}}=\dfrac{4{,}4}{5{,}5}=0{,}8\]

Une réduction conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par \(k\). Comme ABC est rectangle et isocèle en A, le triangle MNO est rectangle et isocèle en M.

Tu peux aussi obtenir MN par le théorème de Thalès dans le triangle SAB, puisque (MN) est parallèle à (AB) : \(\dfrac{\text{SM}}{\text{SA}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{AB}}\).

\[\text{MN}=0{,}8\times\text{AB}=0{,}8\times 4=3{,}2\]

Donc MN = 3,2 cm (et de même MO = 3,2 cm).

3. Triangle MNO en vraie grandeur : trace un angle droit de sommet M, puis reporte 3,2 cm sur chaque côté pour placer N et O, et relie N et O. Tu obtiens \(\text{NO}=3{,}2\sqrt{2}\approx 4{,}5\) cm.

Patron de SMNO : [SM] est perpendiculaire au plan MNO, donc les faces SMN et SMO sont des triangles rectangles en M. Leur hypoténuse vaut, d’après le théorème de Pythagore :

\[\text{SN}^2=\text{SM}^2+\text{MN}^2=4{,}4^2+3{,}2^2=19{,}36+10{,}24=29{,}6\]

d’où \(\text{SN}=\text{SO}=\sqrt{29{,}6}\approx 5{,}4\) cm. La construction se fait ainsi :

• sur le côté [MN], construis à l’extérieur du triangle MNO le triangle SMN rectangle en M avec SM = 4,4 cm (perpendiculaire à [MN] en M) ;
• sur le côté [MO], construis de même un second triangle rectangle en M, de côtés 4,4 cm et 3,2 cm ;
• sur le côté [NO], construis la quatrième face SNO : un triangle isocèle dont les deux côtés issus du sommet mesurent environ 5,4 cm (prends-les au compas sur les hypoténuses déjà tracées, ce qui est plus précis).

Tu obtiens un patron formé de quatre triangles : MNO au centre et les trois faces latérales rabattues sur ses côtés.

4. Dans le triangle SMN rectangle en M, [MN] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{MSN}}\) et [SM] le côté adjacent :

\[\tan\widehat{\text{MSN}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{SM}}=\dfrac{3{,}2}{4{,}4}=\dfrac{8}{11}\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{MSN}}\approx 36{,}03^\circ\), donc \(\widehat{\text{MSN}}\approx 36^\circ\) au degré près. C’est aussi l’angle \(\widehat{\text{ASB}}\), puisque \(\dfrac{4}{5{,}5}=\dfrac{8}{11}\).

Corrigé de l’exercice 2 : symétrie, translation et rotation

Pour chaque transformation, construis l’image des sommets de F (O, le coin à 1 carreau à droite de O, le coin situé 1 carreau plus bas, la pointe B et le coin bas gauche situé 2 carreaux sous O), puis l’image du demi-disque de rayon 1 carreau. Chaque transformation conserve les longueurs et la forme : l’image a exactement les mêmes dimensions que F.

1. Dans la symétrie de centre O, chaque point est envoyé à l’opposé par rapport à O, à la même distance. O est donc sa propre image. Un point situé à 6 carreaux à droite et 2 carreaux en dessous de O (c’est B) a pour image le point situé à 6 carreaux à gauche et 2 carreaux au-dessus de O. F₁ est F retournée « tête en bas » : la pointe part vers la gauche et le demi-disque se retrouve à droite, au-dessus de O.

2. La translation qui transforme O en A fait glisser chaque point de 9 carreaux vers la droite, sans rotation. F₂ est une copie de F décalée de 9 carreaux vers la droite, avec son coin supérieur gauche en A. Remarque : la pointe, image de B, tombe un carreau au-delà du bord droit du quadrillage imprimé ; il faut prolonger le quadrillage d’un carreau.

3. Dans la rotation de centre B d’angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, B ne bouge pas, et chaque déplacement « vers la gauche » devient un déplacement « vers le bas ». O, situé 6 carreaux à gauche et 2 carreaux au-dessus de B, a pour image le point situé 6 carreaux en dessous et 2 carreaux à gauche de B. F₃ est donc F tournée d’un quart de tour, la pointe en haut sur B et le demi-disque en bas. Elle descend de 6 carreaux sous B, donc de 2 carreaux sous le bas du quadrillage du sujet : il faut le prolonger.

Problème

Corrigé de la première partie (Caen septembre) : l’Agence Vendéenne

1. Le prix est proportionnel au nombre de jours, de coefficient 200. Pour 5 jours : \(5\times 200=1\,000\) F. Pour 1 600 F : \(1\,600\div 200=8\) jours. De même, pour 12 jours : 2 400 F. Pour 15 jours : 3 000 F.

2. Chaque jour coûte 200 F, donc pour \(x\) jours : \(\text{P}_1=200x\).

3. Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l’origine. Il suffit d’un second point, par exemple (15 ; 3 000) lu dans le tableau. Tu traces en rouge le segment qui joint (0 ; 0) à (15 ; 3 000), qui passe aussi par (5 ; 1 000) et (8 ; 1 600). Le graphique après la troisième partie montre ce tracé.

Corrigé de la deuxième partie : l’Agence Aquitaine

1. D’abord, on ajoute la cotisation fixe au prix des journées. Pour 8 jours : \(400+8\times 150=400+1\,200=1\,600\) F. Pour 15 jours : \(400+15\times 150=400+2\,250=2\,650\) F. Alain paiera 1 600 F pour 8 jours et 2 650 F pour 15 jours.

2. Pour \(x\) jours : \(\text{P}_2=150x+400\). C’est une fonction affine.

3. Alain ne peut pas dépenser plus de 1 800 F, il faut donc \(150x+400\leqslant 1\,800\), soit \(150x\leqslant 1\,400\), c’est-à-dire \(x\leqslant \dfrac{1\,400}{150}\approx 9{,}33\). Le nombre de jours étant entier, il pourra s’offrir 9 jours de vacances (pour \(400+9\times 150=1\,750\) F ; 10 jours coûteraient 1 900 F, c’est trop).

4. La représentation d’une fonction affine est une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées en 400 (le prix pour 0 jour). Avec les points (8 ; 1 600) et (15 ; 2 650) déjà calculés, tu traces en vert le segment qui joint (0 ; 400) à (15 ; 2 650).

Corrigé de la troisième partie : l’Agence Bretagne et le choix final

1. Sur la ligne brisée du sujet, au-dessus de 5 jours, tu lis 1 200 F. Pour 15 jours, le point est sur le dernier segment, qui va de (11 ; 2 000) à (16 ; 2 400) : il monte de 400 F en 5 jours, soit 80 F par jour. Tu lis donc environ \(2\,000+4\times 80=\) 2 320 F pour 15 jours.

Pour dépenser 2 000 F, tu pars de 2 000 sur l’axe des prix, tu vas horizontalement jusqu’à la ligne brisée et tu descends sur l’axe des jours : Alain pourrait s’offrir 11 jours.

2. Tu traces la droite horizontale d’ordonnée 2 400 et tu regardes où elle coupe chaque représentation :

• avec l’agence 1 (droite rouge), elle coupe au point d’abscisse 12 : 12 jours au plus ;
• avec l’agence 2 (droite verte), elle coupe vers l’abscisse 13,3 : 13 jours au plus, puisque les jours sont entiers ;
• avec l’agence 3 (ligne bleue), la courbe reste sous 2 400 F jusqu’à 16 jours ; comme Alain part au maximum 15 jours, il peut partir 15 jours pour environ 2 320 F.

Alain choisira donc l’Agence Bretagne et pourra s’offrir 15 jours de vacances.

Tu peux remarquer sur ce graphique que les trois tarifs coûtent tous 1 600 F pour 8 jours : au-delà, l’Agence Bretagne est la moins chère.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Caen, septembre.

Comment utiliser le corrigé corrigé Caen septembre

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Pour les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. En ce qui concerne les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Quant aux racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de équation du premier degré, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Caen septembre, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Caen septembre

Faut-il lire le corrigé corrigé Caen septembre en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les équations, les fractions, les racines carrées et les pyramides et les cônes. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Caen septembre

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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