Corrigé du brevet de maths 2003 : Centres étrangers (groupe Est)
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2003 : Centres étrangers (groupe Est). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé étrangers 2003
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers 2003 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Calculs et mot codé » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Remise sur les pneus » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Leçons d’équitation » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Factoriser et développer » (exercice 4). Par ailleurs, en outre, le corrigé explique « Câble de la tyrolienne » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, la correction reprend « Boule et cochonnet » (exercice 2 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Carré dans un repère » (exercice 3 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Marc rattrape Cécile » (partie A). Enfin, le corrigé explique « Histogramme des temps du cross » (partie B).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers 2003 sont les puissances de 10, les diviseurs communs, les fractions, les racines carrées et les pourcentages, rédigées comme sur une copie.
Travaux numériques (corrigé étrangers 2003)
Corrigé de l’exercice 1 : quatre calculs et un mot codé
1. a. On utilise \(\left(10^{-2}\right)^2 = 10^{-4}\), puis on sépare les nombres et les puissances de 10 :
\[\dfrac{3{,}9 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} = \dfrac{3{,}9}{3} \times 10^{-4 – (-5)} = 1{,}3 \times 10^{1} = 13\]
Calcul 1 = 13.
b. Les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35 ; ceux de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Puis le seul diviseur commun est 1 (35 et 12 sont premiers entre eux). Calcul 2 = 1.
c. Ensuite, on calcule chaque parenthèse :
\[2 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3} \qquad \dfrac{4}{5} – \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{15} – \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{15}\]
Diviser par \(\dfrac{2}{15}\), c’est multiplier par \(\dfrac{15}{2}\) :
\[\dfrac{8}{3} \times \dfrac{15}{2} = \dfrac{8 \times 15}{3 \times 2} = \dfrac{120}{6} = 20\]
Calcul 3 = 20.
d. Pour des nombres positifs, \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\) :
\[\dfrac{4 \times \sqrt{24}}{\sqrt{6}} = 4 \times \sqrt{\dfrac{24}{6}} = 4 \times \sqrt{4} = 4 \times 2 = 8\]
Calcul 4 = 8.
2. a. Chaque lettre correspond à son rang dans l’alphabet. Ensuite, la 13e lettre est M. Le code de 13 est M.
b. Les résultats 13, 1, 20 et 8 correspondent aux lettres M, A, T et H. Le mot est « MATH », tout à fait de circonstance pour une épreuve de mathématiques.
Corrigé de l’exercice 2 : la remise sur les pneus
Une remise de 25 % sur un pneu à 120 € représente \(120 \times \dfrac{25}{100} = 30\) €. Chaque pneu coûte donc \(120 – 30 = 90\) € pendant la promotion (on peut aussi calculer \(120 \times 0{,}75 = 90\)).
Pour 4 pneus en promotion : \(4 \times 90 = 360\) €.
Si le quatrième pneu était gratuit, on paierait 3 pneus au prix normal : \(3 \times 120 = 360\) €.
Les deux sommes sont égales : l’affirmation est exacte pour l’achat de 4 pneus. Explication : 25 % de réduction sur 4 pneus, c’est \(4 \times 30 = 120\) € économisés, soit exactement le prix d’un pneu.
Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2003) : leçons et stages d’équitation
D’abord, on note \(h\) le prix d’une heure de leçon et \(s\) le prix d’une journée de stage, en euros. Puis les dépenses de Marie et d’Anne donnent le système :
\[\left\{\begin{array}{l} 16h + 3s = 344 \\ 18h + 2s = 332 \end{array}\right.\]
Puis on élimine \(s\) par combinaison : on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3.
\[32h + 6s = 688 \qquad 54h + 6s = 996\]
En soustrayant la première de la seconde : \(22h = 308\), donc \(h = 14\).
On remplace dans la première équation : \(16 \times 14 + 3s = 344\), soit \(224 + 3s = 344\), donc \(3s = 120\) et \(s = 40\).
Vérification : Marie paie \(16 \times 14 + 3 \times 40 = 224 + 120 = 344\) € et Anne \(18 \times 14 + 2 \times 40 = 252 + 80 = 332\) €.
Une heure de leçon coûte 14 € et une journée de stage coûte 40 €.
Corrigé de l’exercice 4 : factoriser et développer
1. Le facteur commun aux deux termes est \((x – 3)\) :
\[A = (x – 3)\big[(x + 3) – 2\big]\]
\(A = (x – 3)(x + 1)\).
2. Alors on développe la forme de départ. \((x – 3)(x + 3) = x^2 – 9\) (identité remarquable \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\)) et \(-2(x – 3) = -2x + 6\). Donc :
\[A = x^2 – 9 – 2x + 6\]
\(A = x^2 – 2x – 3\). Contrôle avec la forme factorisée : \((x – 3)(x + 1) = x^2 + x – 3x – 3 = x^2 – 2x – 3\).
3. Pour \(x = -1\), la forme factorisée est la plus rapide, car le facteur \(x + 1\) devient nul : \(A = (-1 – 3)(-1 + 1) = -4 \times 0 = 0\). Pour \(x = -1\), \(A = 0\).
De même, pour \(x = 0\), la forme développée est la plus rapide, car les termes en \(x\) disparaissent : \(A = 0^2 – 2 \times 0 – 3 = -3\). Pour \(x = 0\), \(A = -3\).
4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \(x – 3 = 0\) donne \(x = 3\), et \(x + 1 = 0\) donne \(x = -1\).
L’équation a deux solutions : \(-1\) et 3. (On retrouve que \(A = 0\) pour \(x = -1\), comme à la question 3.)
Travaux géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2003) : le câble de la tyrolienne
1. Le triangle ABC est rectangle en C, d’hypoténuse [AB] = 75 m. Par rapport à l’angle \(\widehat{B}\), le côté [BC] est le côté adjacent. Ensuite, on utilise le cosinus :
\[\cos \widehat{B} = \dfrac{BC}{AB} \quad \text{donc} \quad BC = AB \times \cos 5^\circ = 75 \times \cos 5^\circ \approx 74{,}7146\]
BC ≈ 74,71 m au centimètre près (vérifie que ta calculatrice est bien en mode degrés).
2. Le côté [AC] est opposé à l’angle \(\widehat{B}\). De plus, on utilise le sinus, qui fait intervenir l’hypoténuse connue exactement :
\[\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB} \quad \text{donc} \quad AC = 75 \times \sin 5^\circ \approx 6{,}5367\]
Une troncature au centimètre consiste à couper après le deuxième chiffre après la virgule (en mètres), sans arrondir : AC ≈ 6,53 m. Remarque : l’arrondi au centimètre serait 6,54 m, d’où l’importance de bien lire la consigne.
Contrôle avec Pythagore : \(74{,}7146^2 + 6{,}5367^2 \approx 5\,582{,}27 + 42{,}73 = 5\,625 = 75^2\).
Corrigé de l’exercice 2 : la boule et le cochonnet
1. Le rayon de la boule est le double de celui du cochonnet, donc le rayon du cochonnet est la moitié de celui de la boule. Ensuite, le cochonnet est une réduction de la boule de rapport \(k = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
2. Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\). Ici \(k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\).
\[V_{\text{cochonnet}} = 196 \times \dfrac{1}{8} = 24{,}5\]
Le volume du cochonnet est 24,5 cm³. Attention au piège classique : diviser par 2 donnerait 98 cm³, ce qui est faux.
Corrigé de l’exercice 3 : le carré ABCD dans un repère
1. Dans un repère orthonormé d’unité 1 cm, on place A deux carreaux à gauche et deux en haut de l’origine, B en (2 ; 5), C en (5 ; 1) et D en (1 ; −2). Par ailleurs, en reliant A, B, C, D dans l’ordre, on voit apparaître un carré « penché ».
2. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\).
\[AB = \sqrt{(2 – (-2))^2 + (5 – 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]
\[BC = \sqrt{(5 – 2)^2 + (1 – 5)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]
\[AC = \sqrt{(5 – (-2))^2 + (1 – 2)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]
AB = 5 cm, BC = 5 cm et AC = \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) cm ≈ 7,07 cm.
Comme AB = BC, le triangle ABC est isocèle en B. De plus, \(AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en B. ABC est rectangle et isocèle en B.
3. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent par « arrivée moins départ » :
\[\overrightarrow{AD}\,(1 – (-2) \,;\, -2 – 2) = (3 \,;\, -4) \qquad \overrightarrow{BC}\,(5 – 2 \,;\, 1 – 5) = (3 \,;\, -4)\]
Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées : \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), donc on en conclut que ABCD est un parallélogramme (propriété : \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) équivaut à « ABCD est un parallélogramme », éventuellement aplati ; ici A, B, C ne sont pas alignés puisque ABC est un vrai triangle).
4. ABCD est un parallélogramme (question 3). Puis il a un angle droit en B (question 2), donc c’est un rectangle. Ensuite, il a deux côtés consécutifs de même longueur, AB = BC = 5 (question 2), donc c’est aussi un losange. Un quadrilatère à la fois rectangle et losange est un carré : ABCD est un carré.
Problème (corrigé étrangers 2003)
Corrigé de la partie A : Marc rattrape Cécile
1. 15 km.h\(^{-1}\) signifie 15 km, soit 15 000 m, en 1 heure, soit 60 minutes. Puis en une minute, Marc parcourt \(15\,000 \div 60 = 250\) m. Marc court à 250 m.min\(^{-1}\).
De même pour Cécile : \(12\,000 \div 60 = 200\). Cécile court à 200 m.min\(^{-1}\).
2. En 5 minutes, Marc parcourt \(250 \times 5 = 1\,250\) m depuis le départ des garçons. Cécile parcourt \(200 \times 5 = 1\,000\) m, mais elle est partie 300 m plus loin : elle se trouve à \(300 + 1\,000 = 1\,300\) m du départ des garçons.
Marc est à 1 250 m et Cécile à 1 300 m du départ des garçons : Cécile est encore 50 m devant.
3. a. En \(x\) minutes, à 250 m par minute, Marc parcourt \(250x\) mètres depuis le départ des garçons.
b. En \(x\) minutes, Cécile parcourt \(200x\) mètres, à partir d’un point situé à 300 m du départ des garçons. Sa distance au départ des garçons est donc \(200x + 300\) mètres.
4. L’énoncé comporte une coquille : la fonction à tracer est \(g : x \mapsto 200x + 300\) (question 3.b), et non \(20x + 300\).
\(f\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et, par exemple, par (8 ; 2 000). \(g\) est affine : sa droite passe par (0 ; 300) et par (8 ; 1 900). De plus, on se limite à \(x\) entre 0 et 8, car Marc termine ses 2 km en \(2\,000 \div 250 = 8\) minutes.
5. a. Marc rattrape Cécile quand ils sont à la même distance du départ des garçons, c’est-à-dire au point d’intersection des deux droites. Puis on descend verticalement de ce point jusqu’à l’axe des abscisses : Marc rattrape Cécile au bout de 6 minutes.
Corrigé de la partie A : Marc rattrape Cécile (suite)
b. On se déplace horizontalement du point d’intersection jusqu’à l’axe des ordonnées : ils sont alors à 1 500 m du départ des garçons.
6. a. Ensuite, on regroupe les termes en \(x\) :
\[250x – 200x = 300 \quad \text{donc} \quad 50x = 300 \quad \text{donc} \quad x = 6\]
La solution est \(x = 6\).
b. L’équation \(250x = 200x + 300\) traduit « Marc et Cécile sont au même endroit ». Sa solution montre que Marc rattrape Cécile au bout de 6 minutes, à \(250 \times 6 = 1\,500\) m du départ des garçons (et \(200 \times 6 + 300 = 1\,500\) m pour Cécile). C’est bien avant l’arrivée, située à 2 000 m.
Corrigé de la partie B : l’histogramme des temps
Les graduations de l’axe des temps n’apparaissent pas sur le graphique, mais on les reconstitue grâce aux indications : la première classe a pour centre 11 minutes et la troisième correspond à \(14 \leqslant t \leqslant 16\). Ensuite, les rectangles ayant la même largeur de 2 minutes, les classes sont \([10 ; 12]\), \([12 ; 14]\), \([14 ; 16]\), \([16 ; 18]\) et \([18 ; 20]\).
| Temps (min) | 10 à 12 | 12 à 14 | 14 à 16 | 16 à 18 | 18 à 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| Centre de classe | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
| Effectif | 25 | 50 | 40 | 20 | 15 |
| Effectif cumulé | 25 | 75 | 115 | 135 | 150 |
1. L’effectif total est la somme des effectifs : \(25 + 50 + 40 + 20 + 15 = 150\). 150 élèves ont participé au cross.
2. Les élèves qui ont mis moins de 16 minutes sont ceux des trois premières classes : \(25 + 50 + 40 = 115\). 115 élèves ont mis moins de 16 minutes.
3. Puis on calcule la moyenne pondérée des centres de classes par les effectifs :
\[\bar{t} = \dfrac{25 \times 11 + 50 \times 13 + 40 \times 15 + 20 \times 17 + 15 \times 19}{150} = \dfrac{275 + 650 + 600 + 340 + 285}{150} = \dfrac{2\,150}{150}\]
\(\dfrac{2\,150}{150} = 14 + \dfrac{50}{150} = 14 + \dfrac{1}{3}\) minutes. Or \(\dfrac{1}{3}\) de minute vaut \(\dfrac{60}{3} = 20\) secondes. Le temps moyen est 14 min 20 s.
4. La moitié des élèves représente \(150 \div 2 = 75\) élèves. D’après les effectifs cumulés, \(25 + 50 = 75\) élèves ont terminé en 14 minutes au plus. Au bout de 14 minutes, on est assuré que la moitié des élèves sont arrivés.
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Comment utiliser le corrigé corrigé étrangers 2003
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Quant aux diviseurs communs, cherche le plus grand diviseur commun, car c’est lui qui donne le nombre maximal de lots identiques. Par ailleurs, dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Au besoin, la définition de la notion de notation scientifique sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé étrangers 2003 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers 2003
Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2003 en entier ?
Non, pas forcément. Puis en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2003. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les puissances de 10, les diviseurs communs, les fractions et les racines carrées. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. Ensuite, en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers 2003
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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