Corrigé du brevet de maths 2003 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2003 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Amérique 2003
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Amérique 2003 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions à étages » (partie numérique). Ensuite, la correction reprend « Puissances et racines carrées » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Factorisation » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « PGCD et fourmis » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Polygone MAISON » (exercice 4 de la partie numérique).
Ensuite, la correction reprend « Thalès dans le triangle ABC » (partie géométrique). Puis tu lis la démarche complète pour « Sinus et triangle BEF » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Sphère tronquée » (exercice 2 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Tarifs de transport » (exercice 3 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Amérique 2003 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, le calcul littéral et les diviseurs communs, rédigées comme sur une copie.
Partie numérique (corrigé Amérique 2003)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions et fraction à étages
1. Pour A, on calcule d’abord la parenthèse avec le dénominateur commun 12 :
\[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}\qquad\text{donc}\qquad\text{A}=\dfrac{12}{12}-\dfrac{11}{12}=\dfrac{1}{12}\]
Pour B, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on divise (diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse) :
\[3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{6}{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}\qquad1+\dfrac{1}{5}=\dfrac{6}{5}\qquad\text{B}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{12}\]
\(\text{A}=\dfrac{1}{12}\) et \(\text{B}=\dfrac{5}{12}\), deux fractions irréductibles.
2. Prendre les quatre-cinquièmes d’un nombre, c’est le multiplier par \(\dfrac{4}{5}\) :
\[\text{C}=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{35}{8}=\dfrac{4\times5\times7}{5\times4\times2}=\dfrac{7}{2}\]
\(\text{C}=\dfrac{7}{2}\).
3. Ensuite, on met les trois fractions au dénominateur 12 : \(\dfrac{7}{2}=\dfrac{42}{12}\).
\[\text{A}+\text{B}+\text{C}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{5}{12}+\dfrac{42}{12}=\dfrac{48}{12}=4\]
A + B + C = 4, qui est bien un nombre entier.
Corrigé de l’exercice 2 : écriture scientifique et racines carrées
1. D’abord, on commence par \(\left(10^{-5}\right)^2=10^{-10}\) et par le dénominateur \(2+18=20\). Au numérateur, \(2\times5=10\) :
\[\text{D}=\dfrac{10\times10^{3}\times10^{-10}}{20}=\dfrac{10^{-6}}{20}=\dfrac{1}{20}\times10^{-6}=0{,}05\times10^{-6}\]
Comme \(0{,}05=5\times10^{-2}\), \(\text{D}=5\times10^{-8}\).
2. a. \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\) et \(\sqrt{18}\times\sqrt{6}=\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=6\sqrt{3}\).
\[\text{E}=2\times3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=6\sqrt{3}+6\sqrt{3}\]
\(\text{E}=12\sqrt{3}\).
b. Puis on développe par double distributivité, avec \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) :
\[\text{F}=\sqrt{2}\times2+\sqrt{2}\times4\sqrt{2}-4\times2-4\times4\sqrt{2}=2\sqrt{2}+8-8-16\sqrt{2}\]
\(\text{F}=-14\sqrt{2}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2003) : factorisation et équation produit
1. Pour \(x=\dfrac{1}{2}\), \(2x-1=1-1=0\), donc \(P=0^2-16\). \(P=-16\).
2. \(16=4^2\), donc \(P\) est une différence de deux carrés \(a^2-b^2\) avec \(a=2x-1\) et \(b=4\). On applique \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :
\[P=(2x-1-4)(2x-1+4)\]
\(P=(2x-5)(2x+3)\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[2x-5=0\ \text{donne}\ x=\dfrac{5}{2}\ ;\qquad2x+3=0\ \text{donne}\ x=-\dfrac{3}{2}\]
Les solutions sont \(\dfrac{5}{2}\) et \(-\dfrac{3}{2}\) : ce sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(P=0\).
Corrigé de l’exercice 4 : l’alliance des fourmis
1. Toutes les équipes sont identiques et toutes les fourmis sont utilisées : le nombre d’équipes doit diviser 6 510 et 4 650. Le plus grand nombre possible est donc le PGCD de ces deux nombres. Algorithme d’Euclide :
| Dividende | Diviseur | Quotient | Reste |
|---|---|---|---|
| 6 510 | 4 650 | 1 | 1 860 |
| 4 650 | 1 860 | 2 | 930 |
| 1 860 | 930 | 2 | 0 |
Le dernier reste non nul est 930. La reine peut former au maximum 930 équipes, chacune composée de \(6\,510\div930=7\) fourmis noires et \(4\,650\div930=5\) fourmis rouges.
2. Travaillons en millimètres : 42,78 m = 42 780 mm. Notons \(x\) la taille d’une fourmi noire, en mm ; une fourmi rouge mesure alors \(x+2\) mm. La longueur de la colonne s’écrit :
\[6\,510x+4\,650(x+2)=42\,780\]
\[6\,510x+4\,650x+9\,300=42\,780\iff11\,160x=33\,480\iff x=\dfrac{33\,480}{11\,160}=3\]
Une fourmi noire mesure 3 mm et une fourmi rouge 5 mm. Vérification : \(6\,510\times3+4\,650\times5=19\,530+23\,250=42\,780\) mm.
Partie géométrique
Corrigé de l’exercice 1 (Amérique 2003) : constructions autour du triangle équilatéral
Aucune justification n’est demandée, mais voici comment construire chaque point et pourquoi le résultat est celui annoncé. La figure finale est la suivante.
1. a. Au rapporteur, on trace à partir de [KM] un angle de 120° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (du côté de A, en passant sous la droite (AK)), puis on reporte au compas KI = KM = 4 cm. Le point I se trouve sous (AK), symétrique de M par rapport à (AK).
b. L’angle \(\widehat{\text{MKA}}\) vaut 60° (triangle équilatéral), donc \(\widehat{\text{AKI}}=120^\circ-60^\circ=60^\circ\). Avec KA = KI = 4 cm, le triangle AKI est équilatéral.
2. On trace la demi-droite [MK) et on reporte KS = KM = 4 cm au-delà de K : S est le symétrique de M par rapport à K.
3. On prolonge [AK] au-delà de K et on reporte KO = KA = 4 cm : K est alors le milieu de [AO].
a. N est l’image de K par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AM}}\) : on trace par K la parallèle à (AM) et on reporte KN = AM = 4 cm dans le même sens que de A vers M (au compas, N est l’intersection de l’arc de centre K de rayon 4 cm et de l’arc de centre M de rayon 4 cm, autre que A).
b. \(\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{KN}}\), donc AMNK est un parallélogramme ; ses côtés consécutifs [AM] et [AK] mesurent tous deux 4 cm. AMNK est un losange.
4. a. On relie M, A, I, S, O, N puis on revient en M.
b. Les six sommets sont à 4 cm de K, et les six côtés mesurent 4 cm (six triangles équilatéraux de sommet K : MAK, AKI, IKS, SKO, OKN, NKM). MAISON est un hexagone régulier de centre K.
Corrigé de l’exercice 2 : réciproque de Thalès et calcul de CL
1. On trace [BC] de 10 cm, puis au compas les arcs de centre B et de rayon 6 cm et de centre C et de rayon 7,5 cm : A est à leur intersection. On place E sur [AC] à 4,5 cm de A, puis F sur [BC] à 6 cm de B.
2. Alors on se place au sommet C. CE = CA − AE = 7,5 − 4,5 = 3 cm et CF = CB − BF = 10 − 6 = 4 cm. Les points C, E, A et C, F, B sont alignés dans le même ordre.
\[\dfrac{\text{CE}}{\text{CA}}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4\qquad\dfrac{\text{CF}}{\text{CB}}=\dfrac{4}{10}=0{,}4\]
Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (EF) sont parallèles.
3. De même, les droites (AC) et (BL) se coupent en E, et les droites (AB) et (CL) sont parallèles : c’est une configuration de Thalès « en papillon » de sommet E. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{EC}}{\text{EA}}=\dfrac{\text{EL}}{\text{EB}}=\dfrac{\text{CL}}{\text{AB}}\quad\text{donc}\quad\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac{\text{CL}}{6}\]
\[\text{CL}=\dfrac{6\times3}{4{,}5}=4\]
CL = 4 cm.
Corrigé de l’exercice 3 : Pythagore, sinus et triangle inscrit
1. On trace [BC] de 12 cm et son milieu I (BI = IC = 6 cm), puis la perpendiculaire à (BC) en I sur laquelle on place A avec AI = 8 cm.
2. a. Le triangle ABI est rectangle en I, avec BI = 6 cm et AI = 8 cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AB}^2=\text{AI}^2+\text{BI}^2=64+36=100\]
AB = 10 cm.
b. Dans le triangle ABI rectangle en I, le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{ABI}}\) est [AI] et l’hypoténuse est [AB] :
\[\sin\widehat{\text{ABI}}=\dfrac{\text{AI}}{\text{AB}}=\dfrac{8}{10}\]
\(\sin\widehat{\text{ABI}}=0{,}8\) (l’angle mesure environ 53°).
3. a. On place O sur [BC] à 5 cm de B, puis on trace le cercle de centre O et de rayon OB = 5 cm. Il recoupe [BC] en F, avec BF = 10 cm (F est entre I et C), et [AB] en E.
![Figure complétée : [BC] de milieu I, A sur la perpendiculaire en I, cercle (C) de centre O et de rayon 5 cm passant par B, qui recoupe [AB] en E et [BC] en F ; le triangle BEF est rectangle en E](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2003-amerique-du-nord/gen-cercle-triangle-bef.webp)
b. B et F sont deux points du cercle alignés avec son centre O : [BF] est un diamètre de (\(\mathcal{C}\)). Le point E est sur le cercle, donc le triangle BEF est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre son côté [BF]. Le triangle BEF est rectangle en E.
Problème (corrigé Amérique 2003)
Corrigé de la première partie : la sphère tronquée
1. La section d’une sphère par un plan est un cercle. Ici le plan est perpendiculaire au diamètre [LL′] en H : la section est un cercle de centre H (il apparaît comme une ellipse à cause de la perspective).
2. La droite (LL′) est perpendiculaire au plan de coupe en H, donc à toute droite de ce plan passant par H, en particulier à (HM). Le triangle IHM est rectangle en H.
3. M est sur la sphère, donc IM = r = 10 cm. Dans le triangle IHM rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :
\[\text{HM}^2=\text{IM}^2-\text{IH}^2=100-64=36\]
HM = 6 cm : c’est le rayon du cercle de section.
Corrigé de la deuxième partie : deux tarifs de transport
1. a. Tarif 1 : on multiplie la distance par 3,5. Tarif 2 : on multiplie par 2 et on ajoute 150. Par exemple, \(3{,}5\times300=1\,050\) et \(2\times300+150=750\).
| \(x\) (en km) | 50 | 150 | 300 |
|---|---|---|---|
| \(y_1\) (en euros) | 175 | 525 | 1 050 |
| \(y_2\) (en euros) | 250 | 450 | 750 |
b. Pour 50 km, 175 € contre 250 € : le tarif 1 est le plus avantageux. Pour 300 km, 1 050 € contre 750 € : le tarif 2 est le plus avantageux.
2. Ensuite, on paie 2 euros par kilomètre plus un forfait de 150 euros : \(y_2=2x+150\).
3. \((d_1)\) passe par l’origine (fonction linéaire) et par exemple par (150 ; 525). \((d_2)\) coupe l’axe des ordonnées en 150 et passe par (300 ; 750). L’énoncé indique « 1 cm pour représenter 50 euros » sur l’axe des abscisses ; il s’agit évidemment de 50 km. Aucune unité n’est donnée pour les ordonnées : on peut prendre par exemple 1 cm pour 100 euros.
4. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (100 ; 350) : pour 100 km, les deux tarifs coûtent 350 €. À droite de ce point, la droite \((d_2)\) est en dessous de \((d_1)\). Le tarif 2 devient plus avantageux à partir de 100 km (strictement moins cher au-delà de 100 km, à égalité pour 100 km).
Puis on le confirme par le calcul : \(2x+150\lt 3{,}5x\iff150\lt 1{,}5x\iff x\gt 100\).
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2003 : Amérique du Nord.
Bien réviser avec le corrigé corrigé Amérique 2003
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Amérique 2003 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Amérique 2003
Faut-il lire le corrigé corrigé Amérique 2003 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2003. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et le calcul littéral. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Amérique 2003
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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