Corrigé du brevet de maths 2003 : Académie de Lyon
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2003 : Académie de Lyon. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Lyon 2003
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Lyon 2003 est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Racines et écriture scientifique » (exercice 1 de la partie numérique). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 2 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « Système et prix d’un spectacle » (exercice 3 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Thalès et réciproque » (exercice 1 de géométrie). En outre, la correction reprend « Cône et section parallèle » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Constructions sur des hexagones » (exercice 3 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Réaménagement du CDI » (problème).
Ainsi, le corrigé corrigé Lyon 2003 te fait revoir les racines carrées, les puissances de 10, le calcul littéral, les systèmes d’équations et les équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Lyon 2003)
Corrigé de l’exercice 1 : racines carrées et écriture scientifique
1. D’abord, on fait apparaître \(\sqrt{5}\) dans chaque terme, en remarquant que \(45 = 9 \times 5\) et \(20 = 4 \times 5\) :
\[2\sqrt{45} = 2 \times \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \qquad \sqrt{20} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\]
\[A = 6\sqrt{5} – 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (6 – 3 + 2)\sqrt{5}\]
donc \(A = 5\sqrt{5}\) (avec \(a = 5\) et \(b = 5\)).
2. Ensuite, on traite séparément les nombres et les puissances de 10 :
\[B = \dfrac{150}{6} \times \dfrac{10^3 \times 10^5}{10^7} = 25 \times 10^{3 + 5 – 7} = 25 \times 10^1 = 250\]
Donc \(B = 250\), dont l’écriture scientifique est \(B = 2{,}5 \times 10^2\).
Corrigé de l’exercice 2 : calcul littéral
1. Tout d’abord, on développe le carré avec \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) et le produit par double distributivité. Attention au signe « − » devant le produit : on met le développement entre parenthèses.
\[(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25\]
\[(x + 3)(2x + 5) = 2x^2 + 5x + 6x + 15 = 2x^2 + 11x + 15\]
\[C = 4x^2 + 20x + 25 – (2x^2 + 11x + 15) = 4x^2 + 20x + 25 – 2x^2 – 11x – 15\]
donc \(C = 2x^2 + 9x + 10\).
2. Le facteur \((2x + 5)\) est commun aux deux termes :
\[C = (2x + 5)(2x + 5) – (x + 3)(2x + 5) = (2x + 5)\big[(2x + 5) – (x + 3)\big] = (2x + 5)(2x + 5 – x – 3)\]
donc \(C = (2x + 5)(x + 2)\). Contrôle : \((2x + 5)(x + 2) = 2x^2 + 4x + 5x + 10 = 2x^2 + 9x + 10\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[2x + 5 = 0 \iff x = -\dfrac{5}{2} \qquad \text{ou} \qquad x + 2 = 0 \iff x = -2\]
Les solutions sont \(-\dfrac{5}{2}\) et \(-2\).
4. Puis on utilise la forme factorisée, plus rapide :
\[2 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) + 5 = -\dfrac{4}{3} + \dfrac{15}{3} = \dfrac{11}{3} \qquad -\dfrac{2}{3} + 2 = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{3}\]
\[C = \dfrac{11}{3} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{44}{9}\]
44 et 9 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 (\(44 = 2^2 \times 11\), \(9 = 3^2\)) : pour \(x = -\dfrac{2}{3}\), \(C = \dfrac{44}{9}\). Vérification avec la forme développée : \(2 \times \dfrac{4}{9} – 6 + 10 = \dfrac{8}{9} + 4 = \dfrac{44}{9}\).
Corrigé de l’exercice 3 (Lyon 2003) : système et prix des places
1. La seconde équation se simplifie en divisant tout par 2 : \(x + y = 57\), donc \(y = 57 – x\). On remplace \(y\) dans la première équation (méthode par substitution) :
\[4x + 3(57 – x) = 206\]
\[4x + 171 – 3x = 206\]
\[x = 35\]
Puis \(y = 57 – 35 = 22\). Vérification : \(4 \times 35 + 3 \times 22 = 140 + 66 = 206\) et \(2 \times 35 + 2 \times 22 = 70 + 44 = 114\). La solution du système est le couple \((x~;~y) = (35~;~22)\).
2. Appelle \(x\) le prix d’une place adulte et \(y\) celui d’une place enfant, en euros. La famille A donne \(4x + 3y = 206\) et la famille B donne \(2x + 2y = 114\) : c’est exactement le système de la question 1. Une place adulte coûte donc 35 € et une place enfant 22 €.
La famille C paiera \(3 \times 35 + 2 \times 22 = 105 + 44 = 149\), soit 149 euros.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : Thalès et sa réciproque
1. Les points A, E, D sont alignés, ainsi que B, E, C, et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :
\[\dfrac{ED}{EA} = \dfrac{EC}{EB} = \dfrac{CD}{AB} \quad \text{soit} \quad \dfrac{6}{10} = \dfrac{EC}{16} = \dfrac{CD}{20}\]
Alors on en tire \(CD = \dfrac{6 \times 20}{10} = 12\) : CD = 12 cm. (On obtiendrait aussi EC = 9,6 cm.)
2. Ensuite, on se place dans le triangle BAE. Le point F est sur [BC] avec BF = 12,8 < BE = 16, donc F est sur [BE] ; G est sur [BA]. Les points B, F, E d’une part et B, G, A d’autre part sont alignés dans le même ordre. Puis on compare les rapports :
\[\dfrac{BF}{BE} = \dfrac{12{,}8}{16} = 0{,}8 \qquad \dfrac{BG}{BA} = \dfrac{16}{20} = 0{,}8\]
Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (AE) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 (Lyon 2003) : le cône et sa réduction
1. La hauteur [SO] est perpendiculaire au rayon [OA] : le triangle SOA est rectangle en O, d’hypoténuse [SA]. D’après le théorème de Pythagore :
\[OA^2 = SA^2 – SO^2 = 10^2 – 8^2 = 100 – 64 = 36\]
donc OA = 6 cm.
2. Le volume d’un cône est \(V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}\), et la base est un disque d’aire \(\pi \times OA^2\) :
\[V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 8 = \dfrac{36 \times 8}{3}\pi = \dfrac{288}{3}\pi = 96\pi\ \text{cm}^3\]
Ensuite, on a bien \(V = 96\pi\) cm³. À la calculatrice, \(96\pi \approx 301{,}592\,9\) cm³, soit \(V \approx 301{,}593\) cm³, c’est-à-dire 301 593 mm³ (1 mm³ = 0,001 cm³).
3. Dans le triangle SOA rectangle en O, pour l’angle \(\widehat{ASO}\), [OA] est le côté opposé, [SO] le côté adjacent et [SA] l’hypoténuse :
\[\sin \widehat{ASO} = \dfrac{OA}{SA} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\]
La calculatrice donne \(\widehat{ASO} \approx 36{,}87^\circ\), soit \(\widehat{ASO} \approx 37^\circ\) au degré près (même résultat avec \(\cos \widehat{ASO} = \dfrac{8}{10}\) ou \(\tan \widehat{ASO} = \dfrac{6}{8}\)).
4. a. Le petit cône de sommet S et de hauteur SI est une réduction du grand cône. Le rapport est celui des hauteurs :
\[k = \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\]
De même, le rapport de réduction est \(k = \dfrac{1}{4}\).
b. Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[V^{\prime} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 \times V = \dfrac{V}{64} = \dfrac{96\pi}{64} = 1{,}5\pi\ \text{cm}^3\]
donc \(V^{\prime} = \dfrac{V}{64}\). Comme \(1{,}5\pi \approx 4{,}712\,39\) cm³, on obtient \(V^{\prime} \approx 4{,}712\) cm³, soit 4 712 mm³ au mm³ près.
Corrigé de l’exercice 3 : constructions sur les hexagones
Rappel utile : un hexagone régulier est formé de six triangles équilatéraux ; tous ses côtés ont la même longueur et ses côtés opposés sont parallèles.
1. L’égalité \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) signifie, d’après la règle du parallélogramme, que ABMC est un parallélogramme : M est le quatrième sommet, opposé à A. Pour le construire, on trace la parallèle à (AC) passant par B et la parallèle à (AB) passant par C ; elles se coupent en M. On peut aussi dire \(\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AB}\) : on part de C et on fait « le même déplacement » que de A à B. Sur le pavage, M est le sommet de l’hexagone du haut situé juste après C, entre C et H (le point où cet hexagone touche l’hexagone de droite).
2. Pour construire le symétrique d’un point par rapport à une droite, on trace la perpendiculaire à (BE) passant par H ; elle coupe (BE) en un point K ; on place Q sur cette perpendiculaire, de l’autre côté, avec KQ = KH. On peut aussi reporter au compas deux distances : BQ = BH et EQ = EH.
Sur le pavage, on remarque que la droite (BE) passe aussi par G, et que [BH] est une grande diagonale de l’hexagone du haut. Le symétrique Q tombe sur un sommet : Q est le sommet opposé à B dans l’hexagone qui a pour sommets A, B et G, c’est-à-dire le point le plus à gauche de cet hexagone, commun avec les deux hexagones de la colonne de gauche (on a BQ = BH, deux grandes diagonales).
3. P est l’image de C par la rotation de centre E et d’angle 60° dans le sens des aiguilles d’une montre : on a donc EP = EC et \(\widehat{CEP} = 60^\circ\). Le triangle CEP est alors isocèle en E avec un angle de 60°, donc équilatéral.
Construction : au compas, on trace l’arc de centre E et de rayon EC, et l’arc de centre C et de même rayon ; on choisit le point d’intersection situé à droite de (EC), car on tourne de C vers la droite dans le sens des aiguilles d’une montre. Sur le pavage, P est le sommet situé à droite de D, sur le côté horizontal [DP] commun aux deux hexagones de droite.
Corrigé du problème : réaménagement du CDI
Partie 1
Mettons d’abord en place les longueurs. ABCD est un rectangle (angles droits en B, C et D), donc DC = AB = 9 m et AD = BC = 8 m. De même MBCF est un rectangle, donc MF = 8 m et FC = MB = 9 − \(x\). Enfin EF = ED + DF = 6 + \(x\), car DF = AM = \(x\).
1. Pour \(x = 1\) : le trapèze AMFE a pour bases AM = 1 m et EF = 6 + 1 = 7 m, et pour hauteur AD = 8 m.
\[\text{Aire}(AMFE) = \dfrac{8 \times (1 + 7)}{2} = \dfrac{64}{2} = 32\ \text{m}^2\]
Le rectangle MBCF mesure MB = 9 − 1 = 8 m sur BC = 8 m : \(\text{Aire}(MBCF) = 8 \times 8 = 64\ \text{m}^2\).
Pour \(x = 1\), la salle de recherche mesure 32 m² et la salle de travail 64 m².
2. a. Les bases du trapèze sont \(x\) et \(6 + x\), sa hauteur 8 :
\[\text{Aire}(AMFE) = \dfrac{8\big(x + (6 + x)\big)}{2} = 4(2x + 6) = 8x + 24\]
L’aire de la salle de recherche est \(8x + 24\) (en m²).
b. \(\text{Aire}(MBCF) = MB \times BC = 8(9 – x)\), soit \(72 – 8x\) (en m²).
Puis on reconnaît \(g(x) = 8x + 24\) (salle de recherche) et \(f(x) = -8x + 72\) (salle de travail). Contrôle avec \(x = 1\) : \(g(1) = 32\) et \(f(1) = 64\).
3. \(f\) et \(g\) sont affines : leurs représentations sont des droites, deux points suffisent. Pour \(f\) : \(f(0) = 72\) et \(f(9) = 0\), donc la droite passe par (0 ; 72) et (9 ; 0). Pour \(g\) : \(g(0) = 24\) et \(g(9) = 96\), donc la droite passe par (0 ; 24) et (9 ; 96). Avec les unités imposées, l’axe des abscisses mesure 18 cm et l’axe des ordonnées 24 cm (96 ÷ 4).
4. a. Les deux salles ont la même aire quand \(f(x) = g(x)\), c’est-à-dire au point d’intersection des deux droites. Alors on lit ses coordonnées en traçant les pointillés vers les axes : \(x = 3\) et l’aire correspondante vaut 48 m².
b. Ensuite, on résout \(f(x) = g(x)\) :
\[-8x + 72 = 8x + 24\]
\[72 – 24 = 8x + 8x\]
\[48 = 16x \quad \text{donc} \quad x = 3\]
Et \(g(3) = 8 \times 3 + 24 = 48\). On retrouve \(x = 3\) m et une aire de 48 m² pour chaque salle, ce qui est bien la moitié de l’aire totale du CDI (\(\dfrac{8 \times (9 + 15)}{2} = 96\) m²).
Partie 2
1. Avec \(x = 3{,}5\), MB = 9 − 3,5 = 5,5 m et BC = 8 m. En centimètres, la salle de travail mesure 550 cm sur 800 cm.
2. a. Pour recouvrir la salle sans couper de dalle, le côté \(c\) doit être contenu un nombre entier de fois dans 800 et dans 550 : \(c\) est un diviseur commun de 800 et 550. Comme on veut \(c\) le plus grand possible, \(c\) est le plus grand diviseur commun, le PGCD de 800 et 550.
b. Avec l’algorithme d’Euclide :
\[800 = 1 \times 550 + 250\]
\[550 = 2 \times 250 + 50\]
\[250 = 5 \times 50 + 0\]
Le dernier reste non nul est 50 : \(c = 50\) cm.
c. Dans la longueur : \(800 \div 50 = 16\) dalles ; dans la largeur : \(550 \div 50 = 11\) dalles. Il faut \(16 \times 11 =\) 176 dalles.
3. Les 176 dalles recouvrent exactement la salle, dont l’aire est \(5{,}5 \times 8 = 44\) m² (ou \(176 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 44\) m²). Le prix est \(44 \times 13{,}50 = 594\) : on paiera 594 euros.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Lyon 2003
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. En ce qui concerne les puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Quant au calcul littéral, repère d’abord la forme de l’expression (produit, carré, différence de deux carrés), puis choisis l’identité adaptée. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de racine carrée, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Lyon 2003, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Lyon 2003
Faut-il lire le corrigé corrigé Lyon 2003 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2003. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les racines carrées, les puissances de 10, le calcul littéral et les systèmes d’équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Lyon 2003
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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