Corrigé du brevet de maths 2003 : France, groupement Est, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2003 : France, groupement Est, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Est 2003
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Est 2003 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et puissances de 10 » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « PGCD et fraction irréductible » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Système : entrées du parc » (exercice 4). En outre, le corrigé explique « Triangle dans un repère » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, la correction reprend « Rectangle inscrit dans un cercle » (exercice 2 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Triangle rectangle et parallèles » (partie I). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Volumes de deux pyramides » (partie II). Enfin, le corrigé explique « Volume et fonction affine » (partie III).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Est 2003 sont les puissances de 10, le calcul littéral, les diviseurs communs, les équations et les angles inscrits, rédigées comme sur une copie.
Corrigé des activités numériques (Est 2003)
Corrigé de l’exercice 1 : deux calculs qui valent un demi
Pour A, la multiplication est prioritaire :
\[\text{A}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5\times 1}{3\times 10}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{30}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\]
Pour B, on regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre, au numérateur puis au dénominateur. Ensuite, on utilise \(\left(10^{-2}\right)^5=10^{-10}\) et \(2^2=4\).
Numérateur : \(4\times 3\times 10^{-10+5-1}=12\times 10^{-6}\).
Dénominateur : \(6\times 4\times 10^{-10}\times 10^{4}=24\times 10^{-6}\).
\[\text{B}=\dfrac{12\times 10^{-6}}{24\times 10^{-6}}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}\]
Puis on a bien \(\text{A}=\text{B}=\dfrac{1}{2}\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer et factoriser C
1. D’abord, on développe chaque morceau. Avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) : \((3x-5)^2=9x^2-30x+25\).
Par double distributivité : \((3x-5)(2x+3)=6x^2+9x-10x-15=6x^2-x-15\).
Attention au signe moins devant ce produit : il change tous les signes.
\[C=9x^2-30x+25-(6x^2-x-15)=9x^2-30x+25-6x^2+x+15=3x^2-29x+40\]
Donc \(C=3x^2-29x+40\).
2. Le facteur \((3x-5)\) est commun aux deux termes :
\[C=(3x-5)\big[(3x-5)-(2x+3)\big]=(3x-5)(3x-5-2x-3)=(3x-5)(x-8)\]
Donc \(C=(3x-5)(x-8)\). Contrôle : \((3x-5)(x-8)=3x^2-24x-5x+40=3x^2-29x+40\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(3x-5=0\) donne \(x=\dfrac{5}{3}\), et \(x-8=0\) donne \(x=8\).
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{5}{3}\) et 8.
Corrigé de l’exercice 3 (Est 2003) : PGCD et fraction irréductible
1. On applique l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.
| Division | Reste |
|---|---|
| \(3\,640=1\times 1\,950+1\,690\) | 1 690 |
| \(1\,950=1\times 1\,690+260\) | 260 |
| \(1\,690=6\times 260+130\) | 130 |
| \(260=2\times 130+0\) | 0 |
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(1 950 ; 3 640) = 130.
2. Alors on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(1\,950\div 130=15\) et \(3\,640\div 130=28\).
\[\dfrac{a}{b}=\dfrac{1\,950}{3\,640}=\dfrac{15}{28}\]
Comme on a divisé par le PGCD, la fraction obtenue est irréductible : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{15}{28}\).
Corrigé de l’exercice 4 : les entrées du parc d’attractions
1. La seconde équation donne \(y=225-x\). On substitue dans la première :
\[6x+9(225-x)=1\,776 \quad\text{donc}\quad 6x+2\,025-9x=1\,776 \quad\text{donc}\quad -3x=-249 \quad\text{donc}\quad x=83\]
Puis \(y=225-83=142\). Vérification : \(6\times 83+9\times 142=498+1\,278=1\,776\). La solution est \(x=83\) et \(y=142\).
2. Notons \(x\) le nombre d’enfants et \(y\) le nombre d’adultes. Il y a 225 entrées, donc \(x+y=225\) ; le prix total est \(6x+9y=1\,776\). On retrouve le système de la question 1.
83 enfants sont allés au parc d’attractions (avec 142 adultes).
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Est 2003) : un triangle dans un repère
1. Les points sont placés sur la figure ci-dessous.
![Repère avec les points A(-4 ; -2), B(-1 ; -5), C(4 ; 0), le milieu M(0 ; -1) de [AC], le segment [BM] en rouge et le cercle de centre M passant par A, B et C ; le triangle ABC est rectangle en B](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2003-france-groupement-est-septembre/gen-geo1-repere-abc.webp)
2. Dans un repère orthonormé, \(\text{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\) :
\[\text{AC}=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-(-2))^2}=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}=\sqrt{4\times 17}=2\sqrt{17}\]
Ensuite, on a bien \(\text{AC}=2\sqrt{17}\) cm.
3. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[x_M=\dfrac{-4+4}{2}=0 \qquad y_M=\dfrac{-2+0}{2}=-1\]
Donc M(0 ; −1).
4. \(\text{BM}=\sqrt{(0-(-1))^2+(-1-(-5))^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\). On a bien \(\text{BM}=\sqrt{17}\).
Comme M est le milieu de [AC], \(\text{MA}=\text{MC}=\dfrac{\text{AC}}{2}=\sqrt{17}\). Donc \(\text{MA}=\text{MB}=\text{MC}\) : les points A, B, C sont sur le cercle de centre M et de rayon \(\sqrt{17}\), dont [AC] est un diamètre.
Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle : le triangle ABC est rectangle en B. (Autre façon de le dire : dans ABC, la médiane issue de B mesure la moitié du côté opposé.)
Corrigé de l’exercice 2 : un rectangle inscrit dans un cercle
1. Trace le cercle de centre O et de rayon 4 cm, place A sur le cercle, puis B tel que \(\widehat{\text{AOB}}=70°\) au rapporteur. La droite (AO) recoupe le cercle en C.
![Cercle de centre O et de rayon 4 cm avec le diamètre [AC], le point B tel que l'angle AOB mesure 70°, l'angle ACB de 35°, et le point D qui complète le rectangle ABCD inscrit dans le cercle](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2003-france-groupement-est-septembre/gen-geo2-cercle-rectangle.webp)
2. Les points A, B, C sont sur le cercle \(\mathcal{C}\) et [AC] est un diamètre de ce cercle. Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle au sommet opposé à ce côté. Le triangle ABC est rectangle en B.
3. OB = OC (rayons), donc le triangle OBC est isocèle en O. Les points A, O, C sont alignés, donc \(\widehat{\text{BOC}}=180°-70°=110°\). Les deux angles à la base du triangle isocèle sont égaux :
\[\widehat{\text{OCB}}=\dfrac{180°-110°}{2}=\dfrac{70°}{2}=35°\]
Donc \(\widehat{\text{ACB}}=35°\). On peut aussi le voir avec l’angle inscrit \(\widehat{\text{ACB}}\), qui intercepte le même arc que l’angle au centre \(\widehat{\text{AOB}}\) et mesure sa moitié.
4. Dans le triangle ABC rectangle en B, l’hypoténuse est [AC], de longueur 8 cm, et [AB] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\) :
\[\sin\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} \quad\text{donc}\quad \text{AB}=8\times\sin 35°\approx 4{,}589\]
Arrondi au millimètre : AB ≈ 4,6 cm.
5. D est l’image de C par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{BA}}\), donc \(\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{BA}}\), ce qui revient à \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}\). Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.
Ce parallélogramme a un angle droit en B (question 2) : c’est un rectangle.
Les diagonales d’un rectangle ont le même milieu et la même longueur. Le milieu de [AC] est O, donc O est aussi le milieu de [BD], et \(\text{BD}=\text{AC}=8\) cm. Ainsi \(\text{OD}=\dfrac{8}{2}=4\) cm : D est à 4 cm de O, il est donc sur le cercle \(\mathcal{C}\).
Corrigé du problème : triangle 9-12-15 et pyramide
Corrigé de la partie I (Est 2003) : triangle rectangle et droites parallèles
1. Trace [BC] de 15 cm. Trace un arc de cercle de centre B et de rayon 12 cm, puis un arc de centre C et de rayon 9 cm : ils se coupent en A. Laisse les deux arcs visibles.
2. Le plus grand côté est [BC]. Puis on compare :
\[\text{BC}^2=15^2=225 \qquad \text{AB}^2+\text{AC}^2=12^2+9^2=144+81=225\]
Ensuite, on a \(\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
3. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont une base et la hauteur correspondante :
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AB}\times\text{AC}}{2}=\dfrac{12\times 9}{2}=54\]
L’aire vaut bien 54 cm².
4. Puis on compare les rapports :
\[\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3} \qquad \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\]
Les rapports sont égaux, et les points A, M, B d’une part, A, N, C d’autre part, sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
5. M est sur [AB] et N sur [AC], donc le triangle AMN est lui aussi rectangle en A :
\[\mathcal{A}_{\text{AMN}}=\dfrac{\text{AM}\times\text{AN}}{2}=\dfrac{8\times 6}{2}=24\]
L’aire du triangle AMN vaut bien 24 cm².
Corrigé de la partie II : volumes des deux pyramides
1. Le volume d’une pyramide est le tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur. La base est ABC (54 cm²) et la hauteur AS = 18 cm :
\[\text{V}=\dfrac{54\times 18}{3}=\dfrac{972}{3}=324\]
Alors on a bien V = 324 cm³.
2. \(\text{AR}=\dfrac{2}{3}\times 18=12\). Donc AR = 12 cm.
3. La pyramide RAMN a pour base le triangle AMN (24 cm²) et pour hauteur [AR], car (AR) est la droite (AS), perpendiculaire au plan de la base :
\[\text{V}^{\prime}=\dfrac{24\times 12}{3}=96\]
Donc V’ = 96 cm³.
4. Ensuite, on calcule le quotient demandé :
\[\dfrac{\text{V}}{\text{V}^{\prime}}=\dfrac{324}{96}=\dfrac{27}{8} \qquad\text{alors que}\qquad \left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}\]
L’égalité de l’énoncé est fausse : il y a une coquille, le quotient est inversé. La relation correcte est :
\[\dfrac{\text{V}^{\prime}}{\text{V}}=\dfrac{96}{324}=\dfrac{8}{27}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \qquad\text{ou encore}\qquad \dfrac{\text{V}}{\text{V}^{\prime}}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^3\]
On vérifie donc \(\dfrac{\text{V}^{\prime}}{\text{V}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\). C’est logique : chaque dimension de RAMN vaut les \(\dfrac{2}{3}\) de celle de SABC (AR = \(\dfrac{2}{3}\) AS, AM = \(\dfrac{2}{3}\) AB, AN = \(\dfrac{2}{3}\) AC), et dans une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\).
Corrigé de la partie III : volume en fonction de SR
1. R est sur le segment [SA], de longueur 18 cm, et SR = \(x\). Donc \(\text{A}R=18-x\).
2. La pyramide RAMN a toujours pour base AMN (24 cm²), et sa hauteur est maintenant \(\text{A}R=18-x\) :
\[\text{V}^{\prime}^{\prime}=\dfrac{24\times(18-x)}{3}=8(18-x)\]
Puis on a bien \(\text{V}^{\prime}^{\prime}=8(18-x)\).
3. a. \(f(0)=8\times(18-0)=8\times 18=144\) et \(f(8)=8\times(18-8)=8\times 10=80\).
Donc \(f(0)=144\) et \(f(8)=80\).
b. \(f\) est une fonction affine (\(f(x)=-8x+144\)) : sa représentation est une droite. Les deux points de la question a suffisent : (0 ; 144) et (8 ; 80). On trace la droite pour \(x\) allant de 0 à 18 ; elle atteint l’axe des abscisses en (18 ; 0), car \(f(18)=0\).
c. On résout \(8(18-x)=96\) : \(18-x=\dfrac{96}{8}=12\), donc \(x=18-12=6\).
\(f(x)=96\) pour \(x=6\). Vérification graphique : on part de 96 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la droite, puis on descend verticalement : on arrive bien à l’abscisse 6. Ensuite, on retrouve la situation de la partie II : SR = 6 cm, AR = 12 cm et V » = 96 cm³.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Est 2003
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Quant au calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Dans les questions sur les diviseurs communs, cherche le plus grand diviseur commun, car c’est lui qui donne le nombre maximal de lots identiques. Au besoin, la définition de la notion de notation scientifique sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Est 2003 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Est 2003
Faut-il lire le corrigé corrigé Est 2003 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2003. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les puissances de 10, le calcul littéral, les diviseurs communs et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Est 2003
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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Tous les sujets classés par année : brevet de maths.
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