Sujet du brevet de maths 2003 : France, groupement Ouest, septembre

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Sommaire

Voici le sujet de mathématiques du brevet de septembre 2003 du groupe Ouest. La partie numérique commence par le PGCD de 1 356 et 4 972 pour simplifier une fraction, puis deux écritures du nombre \(\dfrac{1}{7}\), une expression à développer et à factoriser, les universités françaises par académie (moyenne et médiane) et la lecture graphique d’une fonction affine. En géométrie, on étudie un triangle isocèle d’angle 120° à l’aide d’un tableau de valeurs trigonométriques, puis le volume d’une bobine en bois formée de deux troncs de cône et d’un cylindre. Le problème porte sur un quadrilatère aux diagonales perpendiculaires, puis sur une boîte en forme de prisme droit. Essaie chaque question avant d’ouvrir le corrigé.

Diplôme national du brevet · Session 2003

Groupe Ouest · septembre 2003

Épreuve de mathématiques · Durée : 2 heures

Activités numériques 12 points

Exercice 1

1. Calculer le PGCD des nombres 1 356 et 4 972.

(Faire apparaître les calculs intermédiaires sur la copie.)

2. Donner la forme irréductible de la fraction \(\dfrac{1\,356}{4\,972}\).

Exercice 2

On a : \(A = \dfrac{1 – \dfrac{5}{6}}{1 + \dfrac{1}{6}}\) ; \(\qquad B = \dfrac{4 \times 10^{-12} \times 2{,}5}{7 \times 10^{-11}}\).

Démontrer que A et B sont deux écritures du même nombre \(\dfrac{1}{7}\).

Exercice 3

On donne l’expression \(E = (5x+1)^2 – (x-3)(5x+1)\).

1. Développer et réduire l’expression \(E\).

2. Factoriser l’expression \(E\) sous forme d’un produit de facteurs du premier degré.

3. Résoudre l’équation : \((5x+1)(x+1) = 0\).

Exercice 4

Lors d’un travail en classe en octobre 2002, des élèves de troisième ont étudié le nombre d’universités françaises par académie. Ils ont récupéré sur internet le tableau suivant :

Caractère étudié : nombre d’universités par académie	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Effectifs : nombre d’académies	2	5	9	1	5	6	1	0	1

Par exemple, on lit dans la deuxième colonne du tableau (en gras) que cinq académies possèdent une seule université.

1. Quelle est la valeur moyenne du nombre d’universités par académie ?

2. Donner la valeur médiane de la série statistique ci-dessus.

Exercice 5

On donne la représentation graphique \((d)\) d’une fonction affine \(g\) dans le repère orthonormé (O ; I, J) :

En utilisant le graphique, donner une valeur approchée au dixième près :

1. de l’image du nombre 1 par la fonction affine \(g\).

2. de l’image du nombre \((-0{,}5)\) par la fonction affine \(g\).

3. du nombre qui a pour image 0 par la fonction affine \(g\).

4. du nombre qui a pour image \(\dfrac{1}{3}\) par la fonction affine \(g\).

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

L’unité de longueur est le centimètre.

1. Construire un triangle DOS tel que DS = DO = 6 et \(\widehat{ODS} = 120^\circ\).

Quelle est la nature du triangle DOS ? Justifier.

2. Dans le triangle DOS, tracer la hauteur issue de D. Elle coupe [OS] en H.

On donne le tableau suivant :

\(x\)	\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\tan x\)
30°	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
45°	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	1
60°	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)

a. Calculer la valeur exacte de OH.

b. En déduire que \(OS = 6\sqrt{3}\).

3. Placer le point M de [DS] tel que SM = 5. Tracer la parallèle à (OS) passant par M ; elle coupe [DO] en N. Calculer la valeur exacte de MN.

Exercice 2

Dans le fond d’un vieux tiroir, on a trouvé la bobine en bois ci-dessous (figure B). Elle est constituée de deux troncs de cône identiques et d’une partie cylindrique. Chaque tronc de cône pourrait être obtenu (figure A) en sectionnant, parallèlement à sa base et à 1 cm de hauteur, un grand cône \(C_1\) de base 9 cm² et de hauteur 3 cm et en retirant le petit cône \(C_2\).

1. Quel est le volume du cône \(C_1\) ?

2. a. Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du cône \(C_1\) au cône \(C_2\) ?

b. En déduire l’aire de la base du cône \(C_2\), puis le volume de la partie cylindrique de la bobine.

3. Déduire des questions précédentes le volume de la bobine (en donner une valeur arrondie au cm³ près).

Problème 12 points

Partie A

ABCD est un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en O.

On a : AC = 20,4 cm ; AO = 12 cm ; OB = 5 cm ; OD = 3,5 cm.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. a. Démontrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

b. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{DAB}\) arrondie au dixième de degré.

En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{OCD}\).

3. a. Calculer l’aire du triangle AOB.

b. Calculer la longueur AB.

c. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par O. Elle coupe [AB] en P et [DC] en N. Des questions 3 a et 3 b déduire la valeur exacte de la longueur AB.

4. En utilisant la même démarche que dans la question 3 on trouve : AD = 12,5 cm ; DC = 9,1 cm ; BC = 9,8 cm (valeur arrondie au mm) ; \(ON = \dfrac{42}{13}\) cm.

a. Calculer la valeur arrondie au millimètre du périmètre du quadrilatère ABCD.

b. Montrer que l’aire du quadrilatère ABCD est 86,7 cm².

Partie B

On fabrique des boîtes cartonnées qui ont la forme d’un prisme droit dont chacune des deux bases est le quadrilatère ABCD étudié dans la partie A.

1. Faire un schéma à main levée qui représente une telle boîte en perspective cavalière et repérer par des couleurs les arêtes parallèles.

2. La hauteur de la boîte est 13 cm.

Calculer l’aire totale du carton utilisé pour fabriquer la boîte.

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