Corrigé du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Bordeaux)

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Bordeaux). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé étrangers Bordeaux

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers Bordeaux suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 10 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et racines carrées » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Factorisation et équation » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Système : CD et livres » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Racine de 7 et triangle » (exercice 4). En outre, le corrigé explique « Bassin conique » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, la correction reprend « Transformations dans un repère » (exercice 2 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Dimensions du losange » (partie I). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Le segment MN » (partie II). En outre, le corrigé explique « Le segment MP » (partie III). Enfin, la correction reprend « Médiatrices et cercle » (partie IV).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers Bordeaux sont les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations, les agrandissements et réductions et le théorème de Pythagore, rédigées comme sur une copie.

Corrigé des activités numériques (étrangers Bordeaux)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions et racines carrées

1. Pour A, on met 2 sous forme de fraction de dénominateur 5 :

\[\text{A}=\dfrac{10}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{6}{5}\]

6 et 5 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : \(\text{A}=\dfrac{6}{5}\).

Pour B, la division est prioritaire sur la soustraction. On calcule d’abord \(\dfrac{2}{3} : \dfrac{6}{5}\) en multipliant par l’inverse :

\[\dfrac{2}{3} : \dfrac{6}{5}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}\]

\[\text{B}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{9}=\dfrac{15}{9}-\dfrac{5}{9}=\dfrac{10}{9}\]

Donc \(\text{B}=\dfrac{10}{9}\), fraction irréductible.

2. Ensuite, on cherche le plus grand carré parfait qui divise chaque nombre sous la racine :

\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}\), donc \(2\sqrt{18}=6\sqrt{2}\) ; et \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}\).

\[\text{C}=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(6-3+2)\sqrt{2}=5\sqrt{2}\]

Donc \(\text{C}=5\sqrt{2}\).

Corrigé de l’exercice 2 : identité remarquable et équation produit

1. Avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\[D=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2-9=9x^2-12x+4-9=9x^2-12x-5\]

Donc \(D=9x^2-12x-5\).

2. On reconnaît une différence de deux carrés, car \(9=3^2\). Avec \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), où \(a=3x-2\) et \(b=3\) :

\[D=\big[(3x-2)-3\big]\big[(3x-2)+3\big]=(3x-5)(3x+1)\]

Donc \(D=(3x-5)(3x+1)\). Contrôle : \((3x-5)(3x+1)=9x^2+3x-15x-5=9x^2-12x-5\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\(3x-5=0\), soit \(x=\dfrac{5}{3}\) ; ou \(3x+1=0\), soit \(x=-\dfrac{1}{3}\).

L’équation a deux solutions : \(\dfrac{5}{3}\) et \(-\dfrac{1}{3}\). Ce sont aussi les nombres pour lesquels \(D=0\).

Corrigé de l’exercice 3 (étrangers Bordeaux) : système, CD et livres

1. La première équation donne facilement \(y\) : \(y=41-2x\). On substitue dans la seconde :

\[3x+2(41-2x)=64 \quad\text{donc}\quad 3x+82-4x=64 \quad\text{donc}\quad -x=-18 \quad\text{donc}\quad x=18\]

Puis \(y=41-2\times 18=41-36=5\).

Vérification : \(2\times 18+5=41\) et \(3\times 18+2\times 5=54+10=64\). La solution est \(x=18\) et \(y=5\).

2. Soit \(x\) le prix d’un CD et \(y\) le prix d’un livre, en euros. L’achat de Louis s’écrit \(2x+y=41\) et celui de Loïc \(3x+2y=64\) : c’est le système de la question 1.

Un CD coûte 18 euros et un livre de poche coûte 5 euros.

Corrigé de l’exercice 4 : un calcul avec √7 et un triangle rectangle

1. Attention, l’énoncé comporte une coquille : il écrit \(\left(\sqrt{7}-1\right)\) sans exposant, alors qu’il parle ensuite de « développer les carrés ». Tel qu’il est écrit, on obtiendrait \(\text{E}=8+2\sqrt{7}+\sqrt{7}-1=7+3\sqrt{7}\approx 14{,}94\), qui n’est pas entier. Le nombre voulu est donc \(\text{E}=\left(\sqrt{7}+1\right)^2+\left(\sqrt{7}-1\right)^2\).

Puis on développe chaque carré avec les identités remarquables, en utilisant \(\left(\sqrt{7}\right)^2=7\) :

\[\left(\sqrt{7}+1\right)^2=7+2\sqrt{7}+1=8+2\sqrt{7}\]

\[\left(\sqrt{7}-1\right)^2=7-2\sqrt{7}+1=8-2\sqrt{7}\]

\[\text{E}=8+2\sqrt{7}+8-2\sqrt{7}=16\]

Les termes en \(\sqrt{7}\) s’annulent : \(\text{E}=16\), qui est bien un nombre entier.

2. Le plus grand côté est celui de 4 cm, car \(\sqrt{7}+1\approx 3{,}65\) et \(\sqrt{7}-1\approx 1{,}65\). On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres :

\[\left(\sqrt{7}+1\right)^2+\left(\sqrt{7}-1\right)^2=\text{E}=16 \qquad\text{et}\qquad 4^2=16\]

L’égalité de Pythagore est vérifiée. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle, et son hypoténuse est le côté de 4 cm.

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (étrangers Bordeaux) : le bassin conique

1. a. La base est un disque de rayon 3 m, d’aire \(\pi\times 3^2=9\pi\) m². Avec la formule donnée :

\[V=\dfrac{9\pi\times 6}{3}=\dfrac{54\pi}{3}=18\pi\ \text{m}^3\]

Alors on a bien \(V=18\pi\) m³, et \(18\pi\approx 56{,}55\), soit environ 57 m³ arrondi au m³.

b. Ensuite, on sait que 1 m³ = 1 000 L. Donc \(V=18\pi\times 1\,000\approx 56\,549\) L. Comme \(56\,549\gt 10\,000\), le volume représente plus de 10 000 litres (plus de cinq fois plus).

2. a. La pompe débite 15 L chaque seconde. La durée de remplissage est :

\[t=\dfrac{18\,000\pi}{15}=1\,200\pi\approx 3\,769{,}9\ \text{s}\]

Arrondi à la seconde : environ 3 770 secondes.

b. Une heure vaut \(60\times 60=3\,600\) secondes. Comme \(3\,770\gt 3\,600\), la durée n’est pas inférieure à une heure : elle la dépasse de 170 s, soit environ 1 h 2 min 50 s.

3. a. Le cône d’eau a une hauteur de 4 m, le bassin 6 m. Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs :

\[k=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\]

De même, le coefficient de réduction est \(\dfrac{2}{3}\).

b. Dans une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :

\[V^{\prime}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\times 18\pi=\dfrac{8}{27}\times 18\pi=\dfrac{144\pi}{27}=\dfrac{16\pi}{3}\ \text{m}^3\]

Le volume d’eau exact est \(V^{\prime}=\dfrac{16\pi}{3}\) m³, soit environ 16,76 m³. (Vérification directe : le rayon de la surface de l’eau vaut \(3\times\dfrac{2}{3}=2\) m, et \(\dfrac{\pi\times 2^2\times 4}{3}=\dfrac{16\pi}{3}\).)

Corrigé de l’exercice 2 : parallélogramme et transformations

1. Les points sont placés dans le repère ci-dessous (quadrilatère noir, figure ①).

2. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent par « extrémité moins origine » :

\[\overrightarrow{\text{AB}}\,(1-(-3)\ ;\ 4-0) \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{\text{AB}}\,(4\ ;\ 4)\]

\[\overrightarrow{\text{DC}}\,(5-1\ ;\ 3-(-1)) \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{\text{DC}}\,(4\ ;\ 4)\]

3. De même, les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{DC}}\) ont les mêmes coordonnées, donc ils sont égaux. Or \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}\) signifie que ABCD est un parallélogramme. ABCD est un parallélogramme.

4. Pour construire le symétrique d’un point par rapport à B, on prolonge le segment qui le relie à B d’une même longueur de l’autre côté : B est le milieu du segment [point, image]. B est sa propre image. Puis on obtient A₂(5 ; 8), B(1 ; 4), C₂(−3 ; 5), D₂(1 ; 9) : c’est la figure ② en bleu.

5. La droite (CD) passe par C(5 ; 3) et D(1 ; −1) : c’est la diagonale des carreaux, d’équation \(y=x-2\). C et D sont sur l’axe, ils sont donc invariants. Pour A et B, on trace la perpendiculaire à (CD) et on reporte la même distance de l’autre côté : A₃(2 ; −5) et B₃(6 ; −1). C’est la figure ③ en vert.

6. a. \(\overrightarrow{\text{AC}}\,(8\ ;\ 3)\) : chaque point est décalé de 8 unités vers la droite et 3 vers le haut. A a pour image C(5 ; 3), B a pour image (9 ; 7), C a pour image (13 ; 6) et D a pour image (9 ; 2). C’est la figure ④ en rouge.

b. Les figures ① et ④ ont le point C en commun et semblent « retournées » l’une par rapport à l’autre autour de C. Vérifions la symétrie de centre C : le symétrique de A par rapport à C est (13 ; 6), celui de B est (9 ; 2), celui de D est (9 ; 7), et C reste en place. On retrouve exactement les quatre sommets de la figure ④ (car un parallélogramme a un centre de symétrie).

La symétrie de centre C permet aussi de passer de la figure ① à la figure ④.

Corrigé du problème : le losange et le triangle MNP

Corrigé de la partie I (étrangers Bordeaux) : dimensions du losange

1. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Donc le triangle ABO est rectangle en O, et \(\text{AO}=\dfrac{\text{AC}}{2}=3\) cm.

D’après le théorème de Pythagore dans ABO, d’hypoténuse [AB] :

\[\text{BO}^2=\text{AB}^2-\text{AO}^2=5^2-3^2=25-9=16 \quad\text{donc}\quad \text{BO}=4\ \text{cm}\]

O est aussi le milieu de [BD], donc BO = 4 cm et BD = 2 × 4 = 8 cm.

2. Dans le triangle ABO rectangle en O, [AO] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{ABO}}\) et [AB] l’hypoténuse :

\[\sin\widehat{\text{ABO}}=\dfrac{\text{AO}}{\text{AB}}=\dfrac{3}{5}=0{,}6\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{ABO}}\approx 36{,}87°\), soit environ 37° au degré près. (Avec la tangente, \(\tan\widehat{\text{ABO}}=\dfrac{3}{4}\), on obtient le même résultat.)

3. L’aire d’un losange est le demi-produit de ses diagonales :

\[\mathcal{A}=\dfrac{\text{AC}\times\text{BD}}{2}=\dfrac{6\times 8}{2}=24\]

L’aire du losange est 24 cm². On peut le vérifier : le losange est formé de 4 triangles rectangles égaux à ABO, d’aire \(\dfrac{3\times 4}{2}=6\) cm² chacun.

Corrigé de la partie II : le segment [MN]

1. Dans le triangle ABD, M est sur [AB], N est sur [AD] et (MN) est parallèle à (BD). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{A}M}{\text{AB}}=\dfrac{\text{A}N}{\text{AD}}=\dfrac{MN}{\text{BD}}\]

ABCD est un losange, donc AD = AB = 5 cm. Avec AM = 3 : \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{\text{A}N}{5}=\dfrac{MN}{8}\).

Ensuite, on en déduit \(\text{A}N=\dfrac{3\times 5}{5}=3\) et \(MN=\dfrac{3\times 8}{5}=\dfrac{24}{5}=4{,}8\).

AN = 3 cm et MN = 4,8 cm.

2. Le même raisonnement avec AM = \(x\) donne \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{MN}{8}\), donc :

\[MN=\dfrac{8x}{5}=1{,}6x\]

Puis on a bien \(MN=1{,}6x\). (Pour \(x=3\), on retrouve \(1{,}6\times 3=4{,}8\).)

Corrigé de la partie III : le segment [MP] et le triangle isocèle

1. M est sur le segment [AB] de longueur 5 cm, donc \(\text{B}M=5-x\).

Dans le triangle BAC, M est sur [BA], P est sur [BC] et (MP) est parallèle à (AC). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{B}M}{\text{BA}}=\dfrac{MP}{\text{AC}} \quad\text{donc}\quad \dfrac{5-x}{5}=\dfrac{MP}{6}\]

\[MP=\dfrac{6(5-x)}{5}=\dfrac{30-6x}{5}=6-1{,}2x\]

Alors on a bien \(MP=6-1{,}2x\).

2. Le triangle \(MNP\) est isocèle en \(M\) lorsque \(MN=MP\) :

\[1{,}6x=6-1{,}2x \quad\text{donc}\quad 2{,}8x=6 \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{6}{2{,}8}=\dfrac{60}{28}=\dfrac{15}{7}\]

Le triangle \(MNP\) est isocèle en \(M\) pour \(x=\dfrac{15}{7}\) cm, soit environ 2,14 cm. Vérification : \(1{,}6\times\dfrac{15}{7}=\dfrac{24}{7}\) et \(6-1{,}2\times\dfrac{15}{7}=\dfrac{42-18}{7}=\dfrac{24}{7}\).

Corrigé de la partie IV : médiatrices et cercle circonscrit

1. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires : (AC) ⊥ (BD). Or (MN) est parallèle à (BD). Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre : (AC) est perpendiculaire à (MN).

D’après la partie II, \(\dfrac{\text{A}M}{\text{AB}}=\dfrac{\text{A}N}{\text{AD}}\) et AB = AD (côtés du losange). Les deux fractions ont le même dénominateur et sont égales, donc AM = AN.

Le point A est donc à égale distance de M et de N : il appartient à la médiatrice de [MN]. Cette médiatrice est la perpendiculaire à (MN) passant par A. La droite (AC) passe par A et est perpendiculaire à (MN) : (AC) est la médiatrice de [MN].

2. Le point O est l’intersection de (AC) et (BD). C’est donc le point d’intersection de la médiatrice de [MN] et de celle de [MP]. Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre de son cercle circonscrit, donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle \(MNP\).

Remarque : comme (MN) est parallèle à (BD) et (MP) parallèle à (AC), les côtés [MN] et [MP] sont perpendiculaires. Le triangle \(MNP\) est donc rectangle en \(M\), et O est le milieu de son hypoténuse [NP].

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Bordeaux).

Comment utiliser le corrigé corrigé étrangers Bordeaux

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Dans les questions sur les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé étrangers Bordeaux parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers Bordeaux

Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers Bordeaux en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2004. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et les agrandissements et réductions. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers Bordeaux

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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